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2013高中数学选修2-2测试题一

时间:2013-04-18


高中数学选修 2-2 综合测试题一
金丙建
一、选择题(共 8 题,每题 5 分) 1.复数 z ? (2 ? i )i 在复平面内的对应点在( A.第一象限 2.定积分 B.第二象限 ) ) C.第三象限 D.第四象限

2013

3

1 1 ? 01 ? x dx 的值为(
B.ln2

A.1

C.

2 1 ? 2 2

D.

1 1 ln 2 ? 2 2

3.某班一天上午安排语、数、外、体四门课,其中体育课不能排在第一、第四节,则不同排法的 种数为 ( ) A.24 B.22 C.20 D.12 4. 已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c 5.曲线 y ? A. [ B.c>a>b C.c>b>a ) D.b>c>a ) D. [? 3, ??) ) D.0

x3 ? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是(
B. (

3 , ??) 3

3 , ??) 3

C. (? 3, ??)

6. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? 3 , an?2 ?| an?1 ? an | ,则 a2009 =( A.1 B.2 ) y C.3

7. 函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为( y

y

y

o o A 1 x B

1

x o C A1 1 x D1

o

1

x

D C1 B1

8. ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体, 黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA1→A1D1,?,黑蚂蚁爬行的路线是 AB→BB1,?,它们都遵 循如下规则: 所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线 * (i∈N ) ,设黑白蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个 顶点处,则此时黑白蚂蚁的距离是( ) A. 2 B.1 C.0
1

D A B

C

D. 3

二、填空题(共 6 题,30 分) 9. 已知 f ( x) ? ln( x 2 ? ax ? 2a ? 2)(a ? 0) ,若 f ( x ) 在 [1, ?) 上是增函数,则 a 的取值范围是 ? . 10.若复数 z ?

1? i 1? i ? ,则复数 z= ___ 1? i 1? i

11.质点运动的速度 v ? (18t ? 3t 2 ) m/ s ,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是 . 12. 若 a,b ? R ,且 (a ? i)2 ? (1 ? b i)2 ? 3 ? 2i ,则

a 的值等于 b



13. 为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有 3 种不同颜色可供选择,则共有 _______种不同涂色方案(要求用具体数字作答). 14.若在区间[-1, 1]上,函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值 范围是_________________ 三、解答题(共 6 题,80 分) 15.已知复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 9m ? 18)i 在复平面内表示的点 为 A,实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数? (2)A 位于第三象限? 13 题

16. 观察给出的下列各式:

tan tan tan10 ? 1 ; (1) tan10 ? 20 ? tan 20 ? 60 ? tan 60 ?
? ? ? ? ? ?

tan15 ? tan15 ?tan 70 ? tan 70 ?tan 5 ? 1 . (2) tan 5 ?
? ? ? ? ? ?

由以上两式成立,你能得到一个什么样的推广?证明你的结论.

2

17.设 f ( x) ? ?

? x2 ?cos x ? 1

( x ≤ 0), ( x ? 0),

试求

?

π 2 ?1

f ( x ) dx .

18. 如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥ AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上距点 B 为 x 的 点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; C (2)如何选点 M 才使总运费最小?

A

M

B

2 19. 已知函数 f(x) ax ? bx ? cx(a ? 0) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数取极 ? 3

值 1. (1)求 a,b,c 的值;

, (2)若对任意的 x1,x2 ? ?? 1 1? ,均有

f x1 ? f x2 ? s 成立,求 s 的最小值; () ( )

3

20.已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,且 O 是 坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z .

21.已知各项为正的数列 {an } 的首项为 a1 ? 2sin ?( ? 为锐角) 4 ? an ? an ?1 ? 2 , , 数列 {bn } 满
2 2

足 bn ? 2n?1 an . (1)求证:当 x ? (0,

?
2

) 时, sin x ? x

(2)求 an ,并证明:若 ? ?

?
4

,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?

(3)是否存在最大正整数 m,使得 bn ? m sin ? 对任意正整数 n 恒成立?若存在,求出 m;若不存在, 请说明理由.

4

高中数学选修 2-2 测试题一答案
一、 选择题(每题 5 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

B

B

D

C

D

A

A

C

9.

1? a≤2 ;

10. -1 ;

11。 108 m .; 12: ?2

13.

18;

14. [0,

33 2 ] 2

三、解答题 15.解: (1)当 m ? 9m ? 18 =0 即 m=3 或 m=6 时,z 为实数; …………………………3 分
2

当 m ? 8m ? 15 ? 0 , m ? 9m ? 18 ? 0 即 m=5 时,z 为纯虚数.…………………………6 分
2 2

(2)当 ?

? m 2 ? 8m ? 15 ? 0 ?m ? 9m ? 18 ? 0
2
?

即?
?

?3 ? m ? 5 即 3<m<5 时,对应点在第三象限. ……………12 分 ?3 ? m ? 6
? ? ? ? ? ?

16. 解:可以观察到:10 ? 20 ? 60 ? 90 , 5 ? 15 ? 70 ? 90 ,故可以猜想此推广式为:若

? ? ? ?? ?
t

π 2





?, , ?

? 都







kπ ?

π (k ? Z) 2







?? n a

? t ?

a ?? n

? t? a ?n . ? t ?
π π ,得 ? ? ? ? ? ? , 2 2

a? n

t

a

n

t

a

n

1

证明如下:由 ? ? ? ? ? ? 所以 tan(? ? ? ) ? tan ?

?π ? ? ? ? ? cot ? , ?2 ?

又因为 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? , 1 ? tan ? tan ?

所以 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? cot ? (1 ? tan ? tan ? ) ,

tan tan tan 所以 tan ? ? ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? ? ? tan ? tan ? ? tan ? (tan ? ? tan ? ) ? tan ? tan ? ? tan ? cot ? (1 ? tan ? tan ? ) ? 1 .
17. 解:

?

π 2 ?1

f ( x)dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? x dx ? ? (cos x ? 1) dx
2 ?1 ?1

0

π 2 0

0

π 2 0

1 ? x2 3

0 ??

?(sin x ? x) 2
0

π

1 π 4 π ? ?1? ? ? . 3 2 3 2
5

18.解:(1)依题,铁路 AM 上的运费为 2(50-x) ,公路 MC 上的运费为 4 100 ? x2 ,则由 A 到 C 的总运费为 y ? 2(50 ? x) ? 4 100 ? x 2 ?(0 ? x ? 50) 分 (2) y? ? ?2 ? …………………………… 6

4x 100 ? x
2

?(0 ? x ? 50) ,令 y? ? 0 ,解得 x1 ?

10 10 , x2 ? ? (舍)……9 分 3 3

当0 ? x ?

10 10 时, y? ? 0 , y ? ;当 50 ? x ? 时, y? ? 0 , y ? 3 3
……………………………12 分

故当 x ?

10 时,y 取得最小值. 3

即当在距离点 B 为

10 时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省. 3

……………………13 分

19.解:(1)函数 f(x) ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 是定义在 R 上的奇函数, ?

? f( ? x) ? f(x), bx2 ? 0 对于 x ? R 恒成立,?b ? 0 . ? 即

f(x) ax3 ? cx , f ? x) 3ax2 ? c ? ( ?
1 3 ? ? x ? ?1 时,函数取极值 1. ∴3a ? c ? 0, a ? c ? 1 ,解得: a ? ,c ? ? . 2 2 1 3 c 故 a ? ,b= 0, ? ? ?????????????????6 分 2 2 ? (2) f(x) 1 3 3 3 3 3 x ? x , f ?( x) ? x 2 ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , 2 2 2 2 2
?????8 分

(x ? x ? ?? 1, 时 f ? ) 0 ,? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上是减函数, 1?

故? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上最小值为 f (1) =-1,最大值为 f (?1) ? 1 ,

, 因此当 x1,x2 ? ?? 1 1? 时, f x1 ? f x2 ? f Max ( x) ? f min ( x) ? 2 .?12 分 () ( )

f x1 ? f x2 ? s ? f Max ( x) ? fmin ( x) ? s ,故 s 的最小值为 2 ???14 分 () ( )

6

20. 解:设 z ? x ? y i( x,y ? R) . 由 OA ∥ BC , OC ? AB ,得 kOA ? kBC , zC ? zB ? z A ,

?2 y ? 6 , ? ? 即 ?1 x ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 32 ? 42, ?

? OA ? BC ,? x ? ?3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .
21.解: (1)令 f ( x) ? sin x ? x?(0 ? x ? ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 sinx<x (2)由 4 ? an ? an ?1 ? 2 得 an?1 ?
2 2

?
2

) ,则 f ?( x) ? cos x ? 1?? 0(0 ? x ?

?
2

) 故 f ( x) ? ,

??????????3 分
2 2 ? 4 ? an (an ? 0) 又 a1 ? 2sin ? ,

∴a2 ?

2 ? 4 ? a12 ? 2 ? 2 cos ? ? 2sin

?
2

, a3 ?

2 2 ? 4 ? a2 ? 2 ? 2cos

?
2

? 2sin

?
4



猜想: an ? 2sin

?
2n ?1

????????????5 分

下面用数学归纳法证明: ①n=1 时, a1 ? 2sin ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 ak ? 2sin

?
2k ?1

,则 n=k+1 时,

2 ak ?1 ? 2 ? 4 ? ak ? 2 ? 4 ? (2sin

?
2
k ?1

) 2 ? 2 ? 2 cos

?
2
k ?1

= 2sin

?
2k



即 n=k+1 时命题成立.由①②知 an ? 2sin 由(1)知 an ? 2sin

?
2n ?1

对 n?N*成立.??????????8 分

?
2
n ?1

?

?
2n ? 2

, n?N*

故 a1 ? a2 ? ? ? an ?

?
2?1

?? ?

?
2

???

?
2n ? 2

1 2? [1 ? ( ) n ] 2 ? 4? [1 ? ( 1 ) n ] ? 4? ? 1 2 1? 2
????????????11 分

因此 ? ?

?
4

时, a1 ? a2 ? ? ? an ? ?

(3) bn ? 2

n ?1

an ? 2n ? 2 sin

?
2n ?1

2sin n 2sin n b 1 2 ? 2 ,故 n ?1 ? ? ? 1 ,{bn } 为递 ? ? ? ? bn sin n ?1 2sin n cos n cos n 2 2 2 2

?

?

增数列,因此要使 bn ? m sin ? 对任意正整数 n 恒成立,只需 b1 ? m sin ? 成立,而 b1 ? 8sin ? ,
7

因此 m ? 8 ,故存在最大自然数 m=8 满足条件。

?????????? 14 分

另 证: 由于 b1 ? m sin ? , 可得 m ? 8 , 因此 可猜想 m 的 最大 值 m ? 8 , 下面 证明

bn ? 8sin ? ,即证 2n sin

?
2n ?1

? 2sin ? 恒成立.

①n=1 时, b1 ? 2sin ? ? 2sin ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 2 sin
k

?
2k ?1

? 2sin ? ,则 n=k+1 时,

2k ?1 sin

?
2
k

? 2k 2sin

?
2
k

? 2k

2sin

?
2
k

cos

?
2 ? 2k
k

sin

cos
n

?
2k

2k ?1 ? 2sin ? ? 2sin? , ? ? cos k cos k 2 2

?

即 n=k+1 时命题成立.由①②知 2 sin

?
2n ?1

? 2sin ? 对 n?N*成立.

即 bn ? 8sin ? 对 n?N*成立,由 m ? 8 知正整数 m 的最大值为 8?????????14 分

8


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