nbhkdz.com冰点文库

2011暑期.第3讲.函数的基本性质.学生版

时间:2016-05-16


函数的基本性质

【高考要求】

集合与映射
要求层次 重点 ①概念和图象特 征 ②熟知函数的性 质和图象 简单函数奇偶性 的判断和证明 难点 ①函数单调性的 证明和判断 ②简单函数单调 区间的求法 ①复合函数的奇 偶性判断与证明 *② 抽 象 函 数 的 奇偶性 ①复合函数的周 期性判断与证明 *② 抽 象 函 数 的 周期性

单调性

C

函数的性质

奇偶性

B

周期性

B

简单函数周期性 的判断和证明

【知识精讲】
板块一:函数的单调性 (一)知识内容
1. 函数单调性的定义:

①如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的任意 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 f ? x ? 在
D 内是增函数;当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在 D 内时减函数.

②设函数 y ? f ( x) 在某区间 D 内可导,若 f ? ? x ? ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的增函数;若
f ? ? x ? ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的减函数.

2. 单调性的定义①的等价形式:
2011 年· 暑假 高一数学· 第 3 讲· 学生版 page 1 of 11

设 x1 , x2 ??a, b? ,那么
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b? 是增函数;

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b? 是减函数;

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? ? 0 ? f ( x) 在 ? a, b? 是减函数.
3. 复合函数单调性的判断:“同增异减” 4. 函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.

即若 f ( x) 在区间 D 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D ) ; 若 f ( x) 在区间 D 上递递减且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 . ( x1 , x2 ? D ) . ①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等

(二)主要方法
1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定 义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有: ⑴用定义 用定义法证明函数单调性的一般步骤: ①取值:即设 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值,且 x1 ? x2 ②作差变形:通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. ③定号:确定差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (或 f ( x2 ) ? f ( x1 ) )的符号,若符号不确定,可以进行分类讨 论. ④下结论:即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间. ⑵用已知函数的单调性; ⑶利用函数的导数; ⑷如果 f ( x) 在区间 D 上是增 (减) 函数, 那么 f ( x) 在 D 的任一非空子区间上也是增 (减) 函数; ⑸图象法; ⑹复合函数的单调性结论:“同增异减” ; 复合函数的概念: 如果 y 是 u 的函数,记作 y ? f (u ) , u 是 x 的函数,记为 u ? g ( x) ,且 g ( x) 的值域与
f (u ) 的定义域的交集非空,则通过 u 确定了 y 是 x 的函数 y ? f [ g ( x)] ,这时 y 叫做 x 的

复合函数,其中 u 叫做中间变量, u ? f (u ) 叫做外层函数, u ? g ( x) 叫做内层函数.
注意:只有当外层函数 f (u ) 的定义域与内层函数 g ( x) 的值域的交集非空时才能构成复合函 数 f [ g ( x)] .

⑺在公共定义域内,增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 2 of 11

函数;增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数.
? ? ? b ? ? b? ? b b? b ⑻函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) 在 ? 上单调递增; 在 ?? ,0 ? ??, ? ? 或 ? , ?? ? 或? 0, ? ? ? ? ? a? ? a a? x ? ? ? a ? ?

上是单调递减.

(三)典例分析
【例1】根据函数单调性的定义,证明函数 f ( x) ? ? x3 ? 1在 (?? , ? ?) 上是减函数.

【例2】证明函数 f ( x) ? ? x 在定义域上是减函数.

【例3】讨论函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在 (?2, 2) 内的单调性.

【例4】函数 y ?

x2 ( x ? R , x ≠ 1 )的递增区间是( x ?1
B. x ≤ 0 或 x ≥ 2 C. x ≤ 0


D . x ≤1 ? 2 或

A. x ≥ 2
x≥ 2

【例5】求下列函数的单调区间:
⑴ y ?| x ? 1| ;⑵ y ? x ?

1 (x?0) . x

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 3 of 11

【例6】作出函数 y ?| x2 ? x | 的图象,并结合图象写出它的单调区间.

【例7】若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A(0 ,3) 和点 B(3 ,? 1) ,则不等 式 | f ( x ? 1) ? 1|? 2 的解集为(
3) A. (?? , D. (?1 ,2)


3) C. (0 ,

B. (?? ,2)

【例8】求函数 f ( x) ? x ?

1 , x ? 0 的最小值. x

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 4 of 11

【例9】已知 f ( x) 是定义在 R ? 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . ⑴求证: f (1) ? 0 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; ⑵若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f (
1 )?2. x ?3

x y

【例10】已知给定函数 f ( x) 对于任意正数 x , y 都有 f ( xy ) = f ( x) ·f ( y ) ,且 f ( x) ≠0, 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 .试判断 f ( x) 在 (0, ? ?) 上的单调性,并说明理由.

板块二:函数的奇偶性 (一) 主要知识:
x) ? ? fx () 1. 奇函数: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域 D 内任意一个 x , 都有 ? x ? D , 且 f (? , 那么函数 f ( x) 就叫做奇函数; 2 . 偶 函 数 : 如 果 对 于 函 数 y ? g ( x) 的 定 义 域 D 内 任 意 一 个 x , 都 有 ? x ? D , 都 有
2011 年· 暑假 高一数学· 第 3 讲· 学生版 page 5 of 11

g (? x) ? g ( x) ,那么函数 g ( x) 就叫做偶函数.

3.图象特征:如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心 对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称 图形,则这个函数是奇函数; 如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,反 之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数.

4.奇偶函数的性质: ⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; ⑵ f ( x) 是偶函数 ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点 对称; ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. ⑷ f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . ⑸若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

(二)主要方法:
1.判断函数的奇偶性的方法: ⑴定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数; 若对称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; ⑵图象法; ⑶性质法: ①设 f ( x) ,g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 , 那么在它们的公共定义域 D ? D1 ? D2 上:奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇; ②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 . f (? x)

(三)典例分析:
【例11】判断下列函数的奇偶性:
f ( x) ? ( x ? 1) 1? x 1? x

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 6 of 11

【例12】⑴ 若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) =__________;
? 2 ⑵ 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , f ( 3 ) ,且对一切实数 x 都有
f ( x? 4 ) ? f ( x,则 ) f (25) =__________;

⑶ 设 函 数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0 ) 对 任 意 非 零 实 数 x1 , x2 满 足
f( 1 x?
2

x) ?

f ( 1 x) ?

y ? f ( x) 是___________(指明函数的奇偶性) ,则函数 f ( 2 x)

【例13】设 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? [0, ? ?) 时 , f ( x) ? x(1 ,那么当 ?3 x)
x ? (?? , 0) 时, f ( x) =_________.

【例14】 y ? f ( x) 图象关于 x ? 1 对称,当 x ≤ 1 时, f ( x) ? x2 ? 1 ,求当 x ? 1 时 f ( x) 的表 达式.

【例15】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

【例16】设函数 f ( x) ? (
2011 年· 暑假

x3 ? | x | ?2 x 2 ? x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M 与 m 满足 2 x2 ? | x |

) .
高一数学· 第 3 讲· 学生版 page 7 of 11

A. M ? m ? 2 C. M ? m ? 2

B. M ? m ? 4 D. M ? m ? 4

【例17】函数 f ( x) ?

a2 ? x2 为奇函数,则 a 的取值范围是( | x ? a | ?a

) .

A . ?1 ≤ a ? 0 或 0 ? a ≤ 1 C. a ? 0

B. a ≤ ? 1 或 a ≥ 1 D. a ? 0

【例18】已知 y ? f ( x) 为 (??,? ?) 上的奇函数,且在 (0,? ?) 上是增函数.
0) 上也是增函数; ⑴求证: y ? f ( x) 在 (??,

1 ⑵若 f ( ) ? 1 ,解不等式 ?1 ? f (log 4 x) ? 0 , 2

【家庭作业】
2x 在区间 (0 , 1) 上的单调性. x ?1

习题1.

试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

习题2.

判断下列函数的奇偶性并说明理由:
⑴ f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x ;

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 8 of 11

⑵ f ( x) ? x2 ? 5 | x | .

习题3.

已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? x(1 ? x) .求函数 f ( x) 的解 析式.

习题4.

已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数并且 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,则求 f ( x) 与 g ( x) 的 表达式.

习题5.

设 函 数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0) 对 任 意 非 零 实 数 x1 , x2 , 恒 有
f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

⑴求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; ⑵求证: y ? f ( x) 是偶函数;
1 ⑶已知 y ? f ( x) 为 (0 , ??) 上的增函数,求适合 f ( x) ? f ( x ? ) ? 0 的 x 的取值 2 范围.

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 9 of 11

习题6.

函 数 f ( x) 在 R 上 有 定 义 , 且 满 足 ① f ( x) 是 偶 函 数 ; ② f (0) ? 2005 ; ③ g ( x) ? f ( x ? 1) 是奇函数;求 f (2005) 的值.

【月测备选】

习题1. 讨论函数 f ( x) ?

x (?1 ? x ? 1) 的单调性. x ?1
2

习题2.

已知函数 f ( x) ,当 x, y ? R 时恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) . ①求证:函数 f ( x) 是奇函数; ②若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (24) . ③如果 x ? R ? 时 f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? ?0.5 . 试判断 f ( x) 的单调性,并求它在区间 [?2,6] 上的最大值与最小值.

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 10 of 11

习题3. 已知 f ( x) 是定义在 (0, ? ?) 上的增函数, 且当 n ? N* 时,f (n) ? N* ,f [ f (n)] ? 3n , 则 f (1) ? f (2) ? .

2011 年· 暑假

高一数学· 第 3 讲· 学生版

page 11 of 11


2011暑期.第3讲.函数的基本性质.学生版_图文.doc

2011暑期.第3讲.函数的基本性质.学生版_高一数学_数学_高中教育_教育专区

高一秋季第3讲函数的基本性质(一)(学生版).doc

高一秋季第3讲函数的基本性质(一)(学生版)_数学_...(2 x ? 1)( x ? a ) ;;) ⑵(2011 浙江...暑期第3讲.函数基本性... 9页 2下载券 高一...

暑期班第3讲.函数基本性质.学生版_图文.doc

暑期第3讲.函数基本性质.学生版 - 第3讲 函数的基本性质 高考要求 要求层

函数的基本性质(学生版).doc

函数的基本性质(学生版) - 高一专题复习第二讲(201707) 第二讲 函数的基本性质 知识梳理: 1.函数的单调性(局部性质) (1)注意:函数的单调性是函数的局部性质...

第3讲[1].函数的基本性质.教师版.pdf

第3讲[1].函数的基本性质.教师版。2011高考数学专项 好学者智,善思者康 400-810-2680 第 3 讲 函数的基本性质 高考要求要求层次 单调性 函数的性质 奇偶性...

高一数学暑假课程第3讲-函数的基本性质.doc

高一数学暑假课程第3讲-函数的基本性质 - 寒假课程高一数学 第三讲 一、知识梳理 1.奇偶性 函数的基本性质 (1)定义:设函数 y = f ( x) 的定义域为 D...

第3讲_函数的基本性质.doc

函数的基本性质要点精讲 1.奇偶性 (1)定义:如果...文档贡献者 唐山小莫0822 贡献于2011-02-26 ...暑期第3讲.函数基本性... 9页 2下载券 第...

第3讲 函数的基本性质.doc

第3讲 函数的基本性质 - 普通高中课程标准实验教科书数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 3)函数的基本性质 一.课标要求 1.通过已学过的函数...

第二讲 20102011暑期辅导材料02函数的基本性质.doc

第二讲 20102011暑期辅导材料02函数的基本性质_...分班考试的重点材料,针对前面学的不好的学生进行...( ... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D...

2011g3wsyl003 第三讲 函数的基本性质.doc

2011g3wsyl003 第三讲 函数的基本性质2011届高三美术班数学教学案 高中新课标人教 A 版 文数必修 1函数 函数的基本性质 第三讲 函数的基本性质知 识要 ...

第三讲 函数的基本性质.doc

普通高中课程标准实验教科书数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 3)函数的基本性质一.课标要求 1.通过已学过的函数特别是次函数,理解函数的单调...

第三讲 20102011暑期辅导材料03基本初等函数(一).doc

第三讲 20102011暑期辅导材料03基本初等函数(一...分班考试的重点材料,针对前面学的不好的学生进行...r ?s ; r s ;(3)分数指数幂的运算性质: a ...

高考数学第一轮复习精品学案第3讲:函数的基本性质.doc

高考数学第一轮复习精品学案第3讲:函数的基本性质 - 普通高考数学科一轮复习精品学案 第3讲 一.课标要求 1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性...

高中数学一轮复习第3讲 函数的基本性质.doc

高中数学一轮复习第3讲 函数的基本性质 - 第3讲 一.课标要求 函数的基本性质 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶= 奇 2.单调性 ...

2013届高考数学第一轮复习教案第3讲 函数的基本性质.doc

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育 2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案第3讲一.课标要求 函数的基本性质 1.通过已学过的函数特别是二...

(学生版)高一数学必修1函数的基本性质.doc

(学生版)高一数学必修1函数的基本性质_数学_高中教育_教育专区。高一数学,必修1...、最值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用次函数的...

第四讲 20102011暑期辅导材料04基本初等函数(二).doc

第四讲 20102011暑期辅导材料04基本初等函数(二)_建筑/土木_工程科技_专业资料。20102011暑期辅导材料集合、函数的基本性质、基本初等函数(一)、基本初等...

函数的基本性质说课稿.doc

人教版《普通高中课程标准实验教科书 A》必修一第 1.3.1“函数 .教材地位和作用 的基本性质”是在学生系统地学习了第一章中的函数概念后对函数的性质展开研究的...

第3讲 函数的基本性质 教师版 2.doc

第3讲 函数的基本性质 教师版 2 - 第 3 讲 函数的基本性质 船在大海上触

2011届人教版高考数学第一轮复习课件之函数的基本性质_图文.ppt

2011届人教版高考数学第一轮复习课件之函数的基本性质 - 第3课时 函数的基本性质 基础知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,...