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函数单元测试试题(含答案)

时间:2014-02-13


函数单元测试卷
(满分:150 分,时间:120 分钟)
一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知集合 M={(x, y)|x+ y =3}, N ={(x,y)|x- y =5}则集合 M∩N=( A.x = 4, y =-1 B.{(4,-1)} 2.如图阴影部分表示的集合是 A.A∪( UB) C . UB B.A∩( UB) D.(
U A)∩( UB)



C.(4,-1) ( )

D.{4 ,-1} U

B

A

3.下列四组函数中,表示同一个函数的是( A. y ? x 与 y ?

) D. y ?| x | 与 y ?

x 2 B. y ? x与y ?

x2 C. y ? 4lg x与y ? 2lg x 2 x

5 6

x2

4.用分数指数幂表示
6 5

a2 a ? 3 a2
B. a
5 6

(a>0)的结果是(

A. a

C. a

?

D. a

?

5 3

5. 一位学生离家去学校, 因怕迟到, 所以一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程. 用纵坐 标表示他离学校的距离 , 横坐标表示他出发后的时间 , 则符合该学生走法的图象大致是 ( )

6.函数 f ( x) ? ( x ? ) ?
0

1 2

x 的定义域为 x?2





A. (?2, )

7. 设集合 A= {x|0≤x≤6} , B= {y|0≤y≤2} , 从 A 到 B 的对应法则为 f, 则对应 f : A ? B 不是映射的是( A.f:x→y= 8.三个数 a ? 3
0.7

1 2

B. (-2,+∞) C. (?2, ) ? ( , ??)

1 2

1 2

D. ( , ??)

1 2



1 x 2

B.f:x→y=
3

1 x 3

C.f:x→y=

1 x 4

D.f:x→y= ) D. c ? b ? a

1 x 6

. b ? 0.7 . c ? log 3 0.7 的大小顺序为( B. b ? a ? c C. c ? a ? b

A. b ? c ? a

9.函数 y = f (x)在 上为减函数,又 f (x)为偶函数,则 f (-3)与 f (2.5)的大小关系是 (-?, 0) ( ) A.f (-3) > f (2.5) B.f (-3) < f (2.5) C.f (-3) = f (2.5) D.无法确定 10.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1, 2)

2 的零点所在的大致区间是( x
B. (2, e) C. (e,3)

) D. (3, ??)

二、填空题: (本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷上) 11.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ?1 ? x ? 0? , 则 f [ f(-1)] 的值是 2 ? ? x ? 1 ? x ? 0?
.

.

12.函数 y ? log 1 x 在[2,4]上的最大值与最小值的差为
2
2

13 . 若 函 数 y ? x ? 2(a ? 2) x ? a ? 1 在 (??,4) 上 单 调 递 减 , 则 a 的 取 值 范 围 为 .
2

14. 已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} , B ? {x | x ? 3 ? 0} ,则( RA)∩( RB)= 15.计算 e
ln 2

.

1 ? log 3 2 ? log 8 27 ? log 6 8 ? 2 log 1 3 = 3 6

.

三、解答题: (本大题共 6 题,满分 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 求函数 y = 4 ? 3 ? 2 ? 2 在 x ∈[-1,3] 上的值域.
x x

17. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

(1)求 f ( x) 在 R 上的解析式; (2)画出函数 y= f ( x) 图象的示意图; (3)根据图象写出函数 y= f ( x) 的单调递增(减)区间(不需要证明).

18.(本小题满分 12 分)某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品,规定试销时销售单 价不低于成本单价,又不高于 800 元/件,经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x (元/ 件),可近似看做一次函数 y ? kx ? b 的关系(如右图所示). (1)根据图象,求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价 -成本总价)为 S 元, ①求 S 关于 x 的函数表达式; ②求该公司可获得的最大毛利润,并求出相应的销售单价. y
400

300 200

100

o

200

400

600 700

800

x

19、 设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数, 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。

?

?1? ?3?

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log a (1)求 m 的值;

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. x ?1

(2)判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并用定义证明; (3)当 a ? 1 , x ? (r , a ? 2) 时,函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 r 的值

21. (本小题满分 12 分)函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .
2 2

(1)若 k ? 2 ,求函数 f ( x) 的零点; (2)若函数 f ( x) 在 (0, 2) 有两个不同的零点,求 k 的取值范围,并证明:

1 1 ? ? 4. x1 x2

参考答案
一.选择题: 题号 答案 1 B 2 B ; 12. 3 D 1 4 B ; 5 D 6 C 7 A 8 D 9 A 10 B 15. 4 .

二.填空题: 11. 1 13. (??, ?2] ; 14. {x|x≥1} ;

三.解答题 16. 解:y =(2 x )2 – 3 · 2 x +2,令 u = 2 x 则 y = u 2 – 3u +2=(u – ∴ u∈ ? , 8? , 2

3 2 1 ) – 2 4

∵ x ∈[-1,3]

?1 ?

? ?

∴当 u=

3 时, 2
y

ymin= –

1 ,当 u=8 时,ymax= 42 4 1 ,42 ] 4
2

函数在 x ∈[-1,3] 上的值域为: [–

4
3 ο

17.解: (1)当 x<0 时,-x>0,∴ f (? x) ? x ? 2 x ? 3 又 ∵ f ( x) 是 奇 函 数 , ∴ f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3
2

∴ f ( x ) ? ? f ( ? x) ,

-1 ·? 1 -3 · o -3ο -4

3

x

x2-2x-3 (x>0) ∴ f ( x) = 0 (x=0) (x<0)

-x2-2x+3

(2)函数 y ? f ( x) 的示意图如右图: (3)单调递增区间为: (??, ?1) , (1, ??) ;单调递减区间为: (?1,0) , (0,1)

18. 解: (1)由图象知,当 x=600 时,y=400,当 x=700 时,y=300,代入 y ? kx ? b 中,

得?

? 400=600k ? b ? k ? ?1 ,解得 ? .∴ y ? ? x ? 1000(500 ? x ? 800) ?300 ? 700k ? b ?b ? 1000
(2)依题意得, S ? xy ? 500 y ? x(? x ? 1000) ? 500(? x ? 1000)

? ?( x ? 750)2 ? 62500(500 ? x ? 800) .∴当 x ? 750 时, ymax ? 62500
答:该公司可获得的最大毛利润是 62500 元,相应的销售单价为 750 元.

19、解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1) ,∴ f (1) ? 0 (2)∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1? ?3?

?1? ?9?

1 1 3 3

?1? ? 3?

?1? ?3?

∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? ,又由 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,


?1? ?9?

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? 2 2 ? 2 2? ?。 , 1 ? 得: ? x ? 0 解之得: x ? ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ?2 ? x ? 0 ? ?
20. 解: (1)∵ f ( x) 是奇函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x) 在其定义域内恒成立

1 ? mx 1 ? mx x ?1 ? ? log a ? log a ?x ?1 x ?1 1 ? mx 1 ? mx x ?1 2 2 2 ∴ 恒成立,即 1 ? m x ? 1 ? x 恒成立 ? ? x ? 1 1 ? mx ∴ m ? ?1 或 m ? 1(舍去) ,∴ m ? ?1
即 log a (2)由(1)得, f ( x) ? log a

x ?1 (a ? 0, a ? 1) ,定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

任取 x1 , x2 ? (1, ??) ,且 x1 ? x2 令 u ( x) ?

x ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) x ?1 ? ? ,则 u ( x1 ) ? u ( x2 ) ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x ?1

∵ x1 ? 1, x2 ? 1, x1 ? x2 , ∴ x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x2 ? x1 ? 0

∴ u ( x1 ) ? u ( x2 ) ? 0 ,即

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1

∴当 a ? 1 时, log a

x1 ? 1 x ?1 ? log a 2 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x ?1 ? log a 2 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. x1 ? 1 x2 ? 1

当 0 ? a ? 1时, log a

(3)当 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,

x ?1 x ?1 (1 ? a) x ? a ? 1 ? 1 ? log a a ,∴ ? a ,即 ?0 x ?1 x ?1 x ?1 a ?1 x? a ? 1 ? 0 , ∴ ( x ? 1)( x ? a ? 1) ? 0 即 1 ? x ? a ? 1 而 a ? 1 ,∴ a ?1 a ?1 x ?1 x ?1 2 又 f ( x) ? log a ? log a (1 ? ) x ?1 x ?1
即 f ( x) ? log a ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 因而,要使函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,必须 x ? 1 ,而 f ( x) 在 x ? 1 时单调递减, 所以当且仅当 1 ? x ?

a ?1 时,函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) . a ?1

r ?1 ? ? a ?1 ? ∴依题意得 ? a ? 2 ? ,解得, r ? 1, a ? 2 ? 3 . a ?1 ? a ?1 ? ?
21.解: (1)当 x ? 1或x ? ?1 时, 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x ?

?1? 3 2

当 ? 1 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? 0, x ? ?

?1? 3 1 1 ,? . ,所以函数 f ( x) 的零点为 2 2 2

(2) f ( x ) ? ?

?k x ? 1, x ? (0,1]
2 ?2 x ? k x ? 1, x ? (1,2)

① 两零点在 (0,1], (1,2) 各一个: 当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? kx ? 1, f (1) ? 0 ? k ? ?1 当 x ? (1,2) 时, f ( x) ? 2 x2 ? kx ? 1 , ?

? f (1) ? 0 7 ? ? ? k ? ?1, 2 ? f ( 2) ? 0

两零点都在(1,2)上时,显然不符( x1 x 2 <-1<0), 综上, ? ② 下面证明:

7 ? k ? ?1, 2

1 1 ? ? 4 ,不妨设 x1 ? (0,1], x2 ? (1,2) , x1 x2

1 ? k ? k2 ? 8 则 x1 ? ? , x 2 ? k 4

设 g (k ) ?

1 x1

?

1 x1

? ?k ?

4 ? k ? k2 ? 8

?

2 7 k ?8 ?k ,易证明 (? ,?1), g (k ) 是减函数 2 2

因此, g (k ) ?

1 x1

?

7 ? f (? ) ? 4 2 x1

1


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