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2015年北京高考数学(文)试题及答案word版

时间:2015-06-16


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合 A ? x ?5 ? x ? 2 , B ? x ?3 ? x ? 3 , 则 A ( A )

?

?

?

?

B?(

) ( D )

? x ?3 ? x ? 2?
2 2

( B )

? x ?5 ? x ? 2?

2

( C )

? x ?3 ? x ? 3?

? x ?5 ? x ? 3?

(2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( (A) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 (C) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

(B) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2

(D) ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

(3)下列函数中为偶函数的是( (A) y ? x2 sin x

) (C) y ? ln x (D) y ? 2? x

(B) y ? x2 cos x

(4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样 本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年人数为( (A)90 (B)100 (C)180 (D)300 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 900 1800 1600 4300 ) )

(5) 执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( (A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

(6) 设 a, b 是非零向量, “ a ?b ? a b ” 是 “ a // b ” 的 ( (A) (B) (C) (D) 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件



(7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( (A) 1 (B) (B) (D) 2



(8) 某辆汽车每次加油都把油箱加满, 下表记录了该车相邻两次加油 时的情况。在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( ) 加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35000 35600 (D)12 升

注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 (A)6 升 (B)8 升 (C)10 升

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)复数 i ?1 ? i ? 的实部为
1

. .

(10) 2?3 ,32 ,log 2 5 三个数中最大数的是 (11)在 ?ABC 中, a ? 3, b ? (12)已知 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ?
2

6, ?A ?

2? , 则 ?B ? 3



y2 ? 1? b ? 0 ? 的一个焦点,则 b ? b2



(13)如图, ?ABC 及其内部的点组成的集合记为 D, P ? x, y ? 为 D 中任意一点,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值 为 .

(14) 高三年级 267 位学生参加期末考试, 某班 37 位学生的语文成绩, 数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为 该班三位学生。

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是

. .

三、解答题(共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ?0,
2

x . 2

? 2? ? 上的最小值。 ? 3 ? ?

(16) (本小题 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10, a4 ? a3 ? 2. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ;问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

(17) (本小题 13 分)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况, 整理成如下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买。 商品 顾客人数 100 217 200 300 85 98 甲 √ × √ √ √ × 乙 × √ √ × × √ 丙 √ × √ √ × × 丁 √ √ × × × ×

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?

(18) (本小题 14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中,平面 VAB ⊥平面 ABC , ?VAB 为等边三角形,

AC ? BC ,且 AC ? BC ? 2 , O, M 分别为 AB, VA 的中点。
(Ⅰ)求证: VB //平面 MOC ; (Ⅱ)求证:平面 MOC ⊥平面VAB ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ABC 的体积。

x2 (19) (本小题 13 分)设函数 f ? x ? ? ? k ln x, k ? 0 。 2
(I)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (II)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点。

?

?

(20)(本小题 14 分)已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 ,过点

且不过点

的直线与椭圆 交于

两点,

直线

与直线

.

(1)求椭圆 的离心率; (II)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (III)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (2)D (3)B (4)C 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?1 (10) log2 5 (11) (5)B (12) 3 (6)A (13) 7 (7)C (8)B

? 4

(14)乙

数学

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (13 分)解: (Ⅰ)

f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 3

?? ? ? 2sin ? x ? ? ? 3 3? ?
? f ? x ? 的最小正周期为 2? .
2? ? ? , ? ? x ? ? ?. 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值. 3 3
(Ⅱ)

0? x?

所以 f ? x ? 在 ?0,

? 2? ? ? 2? 上的最小值为 f ? ? ? 3 ? ? 3

? ? ? ? 3. ?

(16)(共 13 分)解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .

a4 ? a3 ? 2,? d ? 2.


a1 ? a2 ? 10,? 2a1 ? d ? 10,? a1 ? 4.

?an ? 4 ? 2 ? n ?1? ? 2n ? 2 ? n ? 1,2,
(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q .

?.

b2 ? a3 ? 8, b3 ? a2 ? 16,

? q ? 2, b1 ? 4.

?b6 ? 4 ? 26?1 ? 128.
由 128 ? 2n ? 2,? n ? 63.

? b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等.

(17) (共 13 分)解: (Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 1000

(Ⅱ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品。 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 (Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

100 ? 200 ? 0.3 1000

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 ? 0.6 , 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 1000 100 ? 0.1 , 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大。 (18) (共 14 分)解: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB, VA 的中点, 所以 OM VB 又因为 VB ? 平面 MOC , OM ? 平面 MOC 所以 VB 平面 MOC

(Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 VAB ? 平面 ABC ,且 OC ? 平面 ABC , 平面 VAB 平面 ABC ? AB 所以 OC ? 平面 VAB ,又因为 OC ? 平面 MOC 所以平面 MOC ? 平面 VAB (Ⅲ)在等腰直角 ?ABC 中, AC ? BC ? 2,

所以 AB ? 2, OC ? 1.

所以正 ?VAB 的面积 S?VAB ? 3. 又因为 OC ? 平面 VAB ,

所以 VC ?VAB ?

1 3 OC ? S?VAB ? , 3 3 3 . 3

又因为 VV ? ABC ? VC ?VAB , 所以 VV ? ABC ?

(19) (共 13 分)

x2 ? k ln x ? k ? 0 ? 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2
所以 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ???

f '? x? ? x ?
令 f ' ? x ? ? 0,

k x2 ? k ? . x x
解得 x ?

k

f ? x ? 与 f ' ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上的情况如下:

x
f '? x? f ? x?

? 0, k ?
?


k
0

?

k , ??

?

?


k ?1 ? ln k ? 2

所以, f ? x ? 的单调减区间为 0, k ,单调增区间为

?

?

?

k , ?? ;

?

f ? x ? 在 x ? k 处取得极小值 f

? k??

k ?1 ? ln k ? . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上的最小值为 f

? k??

k ?1 ? ln k ? . 2

因为 f ? x ? 存在零点,所以

k ?1 ? ln k ? ? 0 ,所以 k ? e . 2

① 当 k ? e 时, f ? x ? 在区间 1, e ? 上单调递减,且 f

?

?

? e? ? 0 .
1 ? 0, f 2 k ? 0. ? e? ? e? 2

所以 x ?

e 是 f ? x ? 在区间 1, e ? ? 上的唯一的零点.

?

② 当 k ? e 时, f ? x ? 在区间 0, e ? 上单调递减,且 f ?1? ?

?

?

所以 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

综上可知:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点。

?

?

(20) (共 14 分)

解: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

所以 a ? 3, b ? 1, c ? 2.

所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 6 ? . a 3

(Ⅱ)因为直线 AB 过点 D ?1,0? 且垂直于 x 轴, 所有可设 A?1, y1 ? , B ?1, ? y1 ? . 直线 AE 的方程为 y ?1 ? ?1 ? y1 ?? x ? 2? . 令 x ? 3 , 得 M ? 3, 2 ? y1 ? .

所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行,证明如下: ①当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 kBM ? 1 .

又因为 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1. 2 ?1

所以 BM DE

②当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ? x ?1?? k ? 1? .

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ? x ? 2? . x1 ? 2

令 x ? 3 , 得点 M ? 3,

? ?

x1 ? y1 ? 3 ? ?. x1 ? 2 ?

由?

? x2 ? 3 y2 ? 3 ? ? ? y ? k ? x ? 1?

2 2 2 2 得 3k ? 1 x ? 6k x ? 3k ? 3 ? 0.

?

?

所以

? 6k 2 x ? x ? ? ? 1 2 3k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 3k ? 3 1 2 ? 3k 2 ? 1 ?
x1 ? y1 ? 3 ? y2 x1 ? 2 . ? 3 ? x2

直线 BM 的斜率 k BM

因为 kBM ? 1 ?

x1 ? k ? x1 ? 1? ? 3 ? k ? x2 ? 1?? x1 ? 2 ? ? ? 3 ? x2 ?? x1 ? 2 ? ?3 ? x2 ?? x1 ? 2?

?

? k ? 1? ? ? ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 3? ? 3 ? x x ? 2 ? 2 ?? 1 ?

? ?3k 2 ? 3 12k 2 ? ? k ? 1? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? 3k ? 1 3k ? 1 ? ? 0 ? ? 3 ? x2 ?? x1 ? 2 ?
所以 kBM ? 1 ? kDE , 所以 BM DE 综上所述,直线 BM 与直线 DE 平行.


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