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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节曲线与方程学案理北师大版(数学教案)

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第八节 曲线与方程 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何 的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求 曲线的轨迹方程. (对应学生用书第 146 页) [基础知识填充] 1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点 与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这条曲线叫作方程的曲线;这个方程叫作曲线的方程. 2.求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标. (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}. (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0. (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e. (1)当 0<e<1 时,圆锥曲线是椭圆. (2)当 e>1 时,圆锥曲线是双曲线. (3)当 e=1 时,圆锥曲线是抛物线. 4.两曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 f1(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 g(x,y)=0,则 (1)曲线 C1,C2 的任意一个交点坐标都满足方程组? ? ?f1(x,y)=0, ?g(x,y)=0. ? (2)反之,上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件.( (2)方程 x +xy=x 的曲线是一个点和一条直线.( 2 ) ) 1 (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( (4)方程 y= x与 x=y 表示同一曲线.( 2 ) ) [解析] 对于(2),由方程得 x(x+y-1)=0,即 x=0 或 x+y-1=0,所以方程表 示两条直线,错误;对于(3),前者表示方程,后者表示曲线,错误;对于(4),曲 线 y= x是曲线 x=y 的一部分,错误. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 1 ?1 ? 2.(教材改编)已知点 F? ,0?,直线 l:x=- ,点 B 是 l 上的动点.若过点 B 垂直于 y 轴 4 ?4 ? 的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A.双曲线 C.圆 D B.椭圆 D.抛物线 [由已知|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知,点 M 的轨迹是以点 F 为焦点,直 ) 2 线 l 为准线的抛物线.] 3.已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q, → → → → 且QP·QF=FP·FQ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为( A.x =4y C.x =2y A 2 2 ) B.y =3x D.y =4x 2 2 [设点 P(x,y),则 Q(x,-1). → → → → ∵QP·QF=FP·FQ, ∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2), 即 2(y+1)=x -2(y-1),整理得 x =4y, ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x =4y.故选 A.] 4.已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点 A 的轨迹方程为 __________. (x-10) +y =36(y≠0) [设 A(x,y), 2 2 2 2 2 ? ? 则 D? , ? ?2 2? x y ∴|CD|= ?x-5? +y =3, ?2 ? 4 ? ? 2 2 2 2 化简得(x-10) +y =36,由于 A,B,C 三点构成三角形, ∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0.] 5.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,则线段 MN 中点的轨 迹方程是________. 2 x2 y2 a b x2 4y2 x2 (2y)2 [设 MN 的中点为 P(x, y), 则点 M(x,2y), 又点 M 在椭圆上, ∴ 2+ 2 2+ 2 =1 a b a b =1,即所求的轨迹方程为 2+ x2 4y2 =1.] a b2 (对应学生用书第 147 页) 直接法求轨迹方程 → → → → 设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN=2MP,PM⊥PF,当点 P 在 y 轴上运 动时,求点 N 的轨迹方程. 【导学号:79140299】 [解] 设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), → → → → ∵PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0), ∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x0+y0=0. → → 由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0), ? ?x-x0=-2x0, ∴? ?y=2y0, ? 2 x0=-x, ? ? 即? 1 y0= y, ? 2 ? 2 ∴-x+ =0,即 y =4x. 4 故所求的点 N 的轨迹方程是 y =4x. [规律方法] 用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程, 但要注 意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但 最后的证明可以省略. [跟踪训练] (1)设点 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为( A.y =2x C.y =-2x 2 2 2 2 2 y2 ) B.(x-1) +y =4

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