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专题11 函数 不等式 导(含答案)

时间:2012-11-30


专题二 集合 函数 不等式 导数 一 能力培养 1,函数与方程思想; 4,运算能力; 二 问题探讨 [问题 1] 已知 A ? { x x ? 3 ? a } , B ? { x x ? 7 x ? 8 ? 0} ,分别就下面条件求 a 的
2

2,数形结合思想; 5,转化能力.

3,分类讨论思想;

取值范围: (I) A ? B ? ? ;(II) A ? B ? B .

[问题 2]求函数 f ( x ) ? x ?

a x

的单调区间,并给予证明.

[问题 3]已知 f ( x ) ? e ? a x ? 1 .
x

(I)若 f ( x ) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (II)若 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ] 上单调递减,在 [0, ? ? ) 上单调递增,求 a 的值; (III)设 g ( x ) ? ? x ? 2 x ? 2 在(II)的条件下,求证 g ( x ) 的图象恒在 f ( x ) 图象的下方.
2

1

[问题 4]设 f ( x ) ?

1 x?2

? lg

1? x 1? x

.

(I)试判断 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 的反函数为 f
?1

( x ) ,证明 f
1 2 )] ?

?1

( x ) ? 0 只有一个解;

(III)解关于 x 的不等式 f [ x ( x ? 三 习题探讨 选择题 1 已知函数 f ( x ) ? 2 ,则 f
x ?1

1 2

.

( 4 ? x ) 的单调减区间是
2

A, [0 , ? ? )

B, ( ? ? , 0 ]

C, [ 0 , 2 )

D, ( ? 2, 0 ]

2 已知集合 M={ x 0 ? x ? 1} ,N={ x 0 ? x ? 1} ,下列法则不能构成 M 到 N 的映射的是 A, y ? x
2

B, y ? sin x
? x ( x ? 1) ? ? x ( x ? 1)

C, y ? ta n x

D, y ?

x

3 已知函数 f ( x ) ? ?

,奇函数 g ( x ) 在 x ? 0 处有定义,且 x ? 0 时,

g ( x ) ? x (1 ? x ) ,则方程 f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) · ( x ) 的解的个数有 g

A,4 个

B,2 个

C,1 个

D,0 个

4 如果偶函数 y ? f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上的图象如右图,则在
( ? ? , 0 ) 上, f ( x ) =

A, x ? 1

B, x ? 1

C, ? x ? 1

D, 1 ? x

? 1 x ( ) ? 1( x ? 0 ) ? 2 5 设函数 f ( x ) ? ? ,已知 f ( a ) ? 1 ,则 a 的取值范围为 1 ? 2 ? x ( x ? 0)

A, ( ? 1,1)

B, ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? )
3 2

C, ( ? ? , ? 2 ) ? (0 , ? ? )

D, (1, ? ? )

6 对于函数 f ( x ) ? x ? 3 x ,有下列命题:① f ( x ) 是增函数,无极值;② f ( x ) 是减函数, 无极值;③ f ( x ) 的增区间是 ( ? ? , 0 ) , ( 2 , ? ? ) , f ( x ) 的减区间是(0,2);④ f (0 ) ? 0 是极 大值, f ( 2 ) ? ? 4 是极小值.其中正确的命题有
2

A,一个 填空题

B,二个

C,三个

D,四个

7 函数 f ( 2 ) ? lo g 2 x 的定义域是
x

. . .
1 2

8 已知 f (1 ? co s x ) ? sin x ,则 f ( x ) ?
2

9 函数 y ? lo g x ( ? 2 x ? 5 x ? 2 ) 单调递增区间是
2

10 若不等式 x ? lo g a x ? 0 ( a ? 0 , a ? 1) 对满足 0 ? x ?
2

的 x 恒成立,则实数

a 的取值范围是

.
1 2? x

11 y ? ln x ? x ?
2

在点 M(1,0)处的切线方程是

.

解答题 12 函数 y ?
( 2 ? x )(3 ? x ) 的定义域为集合 A,函数 y ? lg ( kx ? 4 x ? k ? 3) 的定义域
2

集合 B,当 A ? B 时,求实数 k 的取值范围.

13 已知定点 A(0,1),B(2,3),若抛物线 y ? x ? a x ? 2 ( a ? R ) 与线段 AB 有两个不同的
2

交点,求 a 的取值范围.

14 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,满足: f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ,且 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,
f (1) ? ? 2 .

(I)求证: f ( x ) 是奇函数; (II)求 f ( x ) 在 [ ? 3, 3] 上的最大值和最小值.
3

15 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用 f ( x ) 表 示学生掌握和接受概念的能力( f ( x ) 值越大,表示接受的能力越强), x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分),可有以下公式:
? ? 0 .1 x ? 2 .6 x ? 4 3( 0 ? x ? 1 0 ) ? f ( x ) ? ? 5 9 (1 0 ? x ? 1 6 ) ? ? 3 x ? 1 0 7 (1 6 ? x ? 3 0 ) ?
2

(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (II)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些? (III)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

16 已知函数 f ( x ) ? x e
2

ax

,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数.

(I)讨论函数 f ( x ) 的单调性;(II)求函数 f ( x ) 在区间[0,1]上的最大值.

4

四 参考答案: 问题 1: (I) 解 :(1 ) 当 a< 0 时 ,A = ? , 有 A ? B = ? ,
( 2 ) 当 a ? 0 时 , 有 A = ?x - a + 3 ? x ? a + 3 } , B = ? x x < - 8 或 x > 1 }.

由 A ? B = ? ,有
??a ? 3 ? ?8 ?a ? 11 得? ? ?1 ? a ? 3 ?a ? ?2

与 a ? 0 ,矛盾!

故当 A ? B = ? 时, a 的取值范围是 ( ? ? , 0 ) ; (II)解: (1 ) 当 a< 0 时 ,A = ? , 有 A ? B = B ,
(2)当 a ? 0时 ,有 A= ?x -a+3 ? x ? a+3} , B = ?x x < - 8 或 x > 1 }

由 A ? B = B ,必有 A ? B ,得
a ? 3 ? ?8 或 ? a ? 3 ? 1

得 a ? ? 1 1 (舍去)或 a ? 2 得0 ? a ? 2 故当 A ? B = B 时, a 的取值范围是 ( ? ? , 2 ) . 温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 问题 2:解:(1)当 a ? 0 时, f ( x ) ? x ? 它的定义域是 x ? 0 ,
0 x

空集.
a

,

令 f ( x ) ? 0 ,得 ? a ? x ?
'

得 f ( x ) 的单调增区间是 ( ? ? , ? a ) , ( a , ? ? )

它分别在 ( ? ? , 0 ) , (0, ? ? ) 上为增函数. f ( x ) 的单调减区间是 ( ? a , 0 ), (0, a ) . (2)当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域是 x ? 0 ,
a x
2

(3)当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域是 x ? 0 ,
a x
2

f (x) ? 1 ?
'

?

x ?a
2

x

2

f (x) ? 1 ?
'

?

x ?a
2

x

2

?0

' 令 f ( x ) ? 0 ,得 x ?

a 或x ? ?

a

得 f ( x ) 的单调增区间是 ( ? ? , 0 ), (0, ? ? ) .

温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ② f ( x ) ? 0 ( f ( x ) ? 0 ) ? f ( x ) 为增(减)函数,反之不行;
' '

③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.
5

问题 3:解:(I) f ( x ) ? e ? a x ? 1 ,得 f ( x ) ? e ? a .
x
' x

f ( x ) 在 R 上单调递增,? f ( x ) ? e ? a ? 0 恒成立,即 a ? e , x ? R 恒成立
' x
x

又 a ? e 时, e ? (0, ? ? ) ,得 a ? 0 .
x

x

(II) f ( x ) ? e ? a ,
' x

而 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ] 上单调递减,得 e ? a ? 0 在 x ? ( ? ? , 0 ] 上恒成立,有 a ? e
x

x m ax

,

又当 x ? ( ? ? , 0 ] 时, e ? (0 ,1] ,得 a ? 1
x


x m in

又 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递增,得 e ? a ? 0 在 x ? [0, ? ? ) 上恒成立,有 a ? e
x

,

又当 x ? [0, ? ? ) 时, e ? [1, ? ? ) ,得 a ? 1
x



由①,②知 a ? 1 . (III)由(II)可知 f (0 ) 是 f ( x ) 的最小值,有 f ( x ) ? f (0 ) , 而 f (0 ) ? e ? 0 ? 1 ? 0 , g ( x ) ? ? ( x ? 1) ? 1 ? ? 1
0
2

故 f ( x ) ? g ( x ) ,即 g ( x ) 的图象恒在 f ( x ) 图象的下方. 温馨提示: f ( x ) ? g ( x ) 恒成立时,转化为 f ( x ) m in ? g ( x ) m ax 进行考虑,合情合理. 问题 4:(I)解: f ( x ) 的定义域是 ? 1 ? x ? 1 ,得 f ( x ) ? ?
'

1 ( x ? 2)
2

?

2 1? x
2

lg e ? 0

所以 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是减函数. (II)证明:假设存在 x 1 , x 2 且 x1 ? x 2 ,使 f
x1 ? 1 0?2
?1
?1

( x1 ) ? 0 , f

?1

( x 2 ) ? 0 ,则有
1 2

? lg

1? 0 1? 0

, x2 ?

1 0?2

? lg 1 2

1? 0 1? 0

,于是得 x1 ? x 2 ?

,与 x1 ? x 2 矛盾!

所以 f

( x ) ? 0 只有一个实根 x ?
?1

.

(III)解:由(II)得 f 又 f [x(x ?
1 2 )] ?

1 1 ( ) ? 0 ,即 f ( 0 ) ? , 2 2

1 2

= f (0 )
1 2

而 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是减函数,得 1 ? x ( x ?

)] ? 0 ,有

1? 4

17

? x ? 0或

1 2

? x ?

1? 4

17

.

6

即 f [x(x ?

1 2

)] ?

1 2

的解集是 (

1? 4
'

17

, 0) ? (

1 1 ? 17 , ). 2 4
'

温馨提示: f ( x ) 为增(减)函数 ? f ( x ) ? 0 ( f ( x ) ? 0 ),反之不行. 习题 1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B. 1, f
?1

( x ) ? lo g 2 x ,有 f
2

?1

( 4 ? x ) ? lo g 2 ( 4 ? x ) ,2,我们由映射的概念:每一个 x ,有唯一的
2 2

由 4 ? x ? 0 ,得 ? 2 ? x ? 2 函数 y ? lo g 2 x 为 (0, ? ? ) 上的增函数, 求 lo g 2 ( 4 ? x ) 的单调减区间,
2

一个 y 与它对应.知,A,B,D.都满足. 而在 C 中,M 中的 1 与 ta n 1 对应, 但 tan 1 ? 1 , ta n 1 在 N 中找不到了.选 C.

即求 u ? 4 ? x 的单调减区间,于是选 C.
2

3,设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,得 g ( ? x ) ? ? x (1 ? x ) = ? g ( x ) ,有 g ( x ) ? x (1 ? x ) , (1)当 x ? 0 时,由 f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,得
? x ? x (1 ? x ) ? ( ? x ) ? x (1 ? x ) ,解得 x1 ? ? 2 , x 2 ? 0 .

(2)当 0 ? x ? 1 时,由 f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,得 ? x ? x (1 ? x ) ? ( ? x ) ? x (1 ? x ) ,无解. (3)当 x ? 1 时,由 f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,得 x ? x (1 ? x ) ? x ? x (1 ? x ) ,无解.选 B. 4,由 f ( ? 1) ? f (1) ? 0 , f ( ? 2 ) ? f ( 2 ) ? ? 1 ,知只有 C 正确.
1

5,当 a ? ? ? 与 a ? ? ? 时,均合题意,而 a ? 1 时, 1 2 ? 1 ,不合题意,选 B.6,③④正确.选 B. 7,令 t ? 2 ,得 x ? lo g 2 t , f ( x ) ? lo g 2 (lo g 2 x ) ,得 x ? 1 .
x

8,令 t ? 1 ? co s x ,有 co s x ? 1 ? t , f ( t ) ? 1 ? co s x ? 1 ? (1 ? t ) ,得 f ( x ) ? 2 x ? x , x ? [0,2].
2 2 2

9,令 u ? ? 2 x ? 5 x ? 2 , u ? 0 ,得
2

1 2

? x ? 2 .而它在 (1,

5 4

] 上递增,在 (

5 4

, 2 ) 上递减,

而当 x ? ( ,1) 时, y ? lo g x u , x ↗, u ↗, y ↘;当 x ? (1, ] 时, x ↗, u ↗, y ↗;
2 4

1

5

当x?

5 4

, 2 ) 时, x ↗, u ↘, y ↘.于是得递增区间是 (1,
2

5 4

].

10,设 f ( x ) ? x , g ( x ) ? lo g a x ,由题意,当 0 ? x ?

1 2

时, f ( x ) 的图象总在 g ( x ) 的图象的
1 1 1 1 2 ? ( ) , 2 2

下方.当 a ? 1 时,显然不合题意;当 0 ? a ? 1 时,必有 g ( ) ? f ( ) , lo g a
2 2
7

得a ?

1 16

,又 0 ? a ? 1 ,于是

1 16

? a ? 1.

11, y ? (ln x ) ? ( x ) ? [( 2 ? x )
' ' 2 '

?

1 2

]=

'

1 x

? 2x ?

1 2

(2 ? x)

?

3 2

? (2 ? x) =
'

1 x

? 2x ?

1 2

(2 ? x)

?

3 2

,得 k ? y

' x ?1

? ?

1 2

,有 x+2y-1=0.

12,解: A ? { x ? 2 ? x ? 3} ,而 B ? ? ,
B ? { x kx ? 4 x ? k ? 3 ? 0, x ? R} ,
2

又由题意知 k ? 0 ,且 ? 2 ? 解得 ? 4 ? k ? ?
3 2

?2 ?

4 ? 3k ? k k

2

,
3 2

?2 ?

4 ? 3k ? k k

2

? 3,

,故 k 的取值范围是 ( ? 4 , ?

].

温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有? 13,解:过 A,B 两点的直线方程为 y ? x ? 1 ,令 x ? a x ? 2 ? x ? 1 ,则这方程有两相异实根
2

x 1 , x 2 ,且 x1 , x 2 ? [0, 2 ] .设 f ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? 1 ,则问题等价于
2

a ?1 ? 0? ? ? 2 ? 2 ? 3 3 ? 2 ? ? ? ( a ? 1) ? 4 ? 0 ,解得 ? ? a ? ? 1 .所以 a 的取值范围是 ? ? a ? ? 1 . 2 2 ? f (0 ) ? 0 ? ?(2) ? 0 ?

14,解:(I)由 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ,令 a ? ? b ,得 f (0 ) ? f ( a ) ? f ( ? a ) , 又令 a ? b ? 0 ,有 f (0 ) ? 2 f (0 ) ,得 f (0 ) ? 0 ,于是 f ( ? a ) ? ? f ( a ) , a ? R . 所以 f ( x ) 是奇函数. (II)又 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 设 0 ? x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) = ? f ( x 2 ? x1 ) 而 x 2 ? x1 ? 0 ,得 f ( x 2 ? x1 ) ? 0 ,有 ? f ( x 2 ? x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 得 f ( x ) 在 R 上是减函数,于是它在 [ ? 3, 3] 上有最大值 f ( ? 3) ,最小值 f (3) 而 f (3) ? f ( 2 ) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 3 f (1) ? ? 6 , f ( ? 3) ? ? f (3) =6. 所以 f ( x ) 在 R 上有最大值 6,最小值 ? 6 .

8

15,解:(I)当 0 ? x ? 1 0 时,
f ( x ) ? ? 0 .1 x ? 2 .6 x ? 4 2 ? ? 0 .1( x ? 1 3) ? 5 9 .9 ,得 f ( x ) 递增, 最大值为 f (1 0 ) ? 59.
2 2

当 1 6 ? x ? 3 0 时, f ( x ) 递减, f ( x ) ? ? 3 ? 1 6 ? 1 0 7 ? 5 9 因此,开讲后 10 分钟,学生达到最强的接受能力(值为 59),并维持 6 分钟. (II) f (5 ) ? ? 0 .1 ? (5 ? 1 3) ? 5 9 .9 ? 5 3 .5 , f ( 2 0 ) ? ? 3 ? 2 0 ? 1 0 7 ? 4 7 ? 5 3 .5
2

因此开讲后 5 分钟,学生的接受能力比开讲后 20 分钟强一些. 16,解:(I) f ( x ) ? x ( a x ? 2 ) e .
' ax

①当 a ? 0 时,令 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 .
'

若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增;
'

若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上单调递减;
'

②当 a ? 0 时,令 f ( x ) ? 0 ,得 x ( a x ? 2 ) =0,有 x1 ? 0 , x 2 ? ?
'

2 a

.

若x ? 0 或x ? ? 若0 ? x ? ?
2 a

2 a

,则 f ( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) , ( ?
' '

2 a

, ? ? ) 上单调递减;

,则 f ( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在 ( 0 , ?

2 a

) 上单调递增;

(II)①当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 [0 ,1] 上的最大值是 f (1) ? 1 ; ②当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x ) 在区间 [0 ,1] 上的最大值是 f (1) ? e ;
a

③当 a ? ? 2 时, f ( x ) 在区间 [0 ,1] 上的最大值是 f ( ?

2 a

)?

4 a e
2 2

.

9


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