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【金版优课】2016-2017高中数学人教A版选修1-1课时作业:2.1.1 椭圆及其标准方程(1).doc

时间:2017-04-01

课时作业 10

一、选择题 1.已知命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a,其中 a 为大于 0 的 常数;命题乙:P 点的轨迹是椭圆.命题甲是命题乙的( A. 充分不必要条件 C. 充分且必要条件 )

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

解析:若 P 点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数).所以甲是乙的必 要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数),P 点的轨迹不一定是椭圆,所以甲不是 乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件. 答案:B x2 y2 2. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1, F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 )

解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8. 又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2 16-12=4,∴△PF1F2 为直角三角形. 答案:B 3.[2014· 西安交大附中月考]椭圆 25x2+16y2=1 的焦点坐标是( A. (± 3,0) 3 C. (± ,0) 20 1 B. (± ,0) 3 3 D. (0,± ) 20 )

x2 y2 1 1 解析:椭圆的标准方程为 + =1,故焦点在 y 轴上,其中 a2= ,b2= ,所以 c2 1 1 16 25 25 16 1 1 9 3 3 =a2-b2= - = ,故 c= .所以所求焦点坐标为(0,± ). 16 25 400 20 20 答案:D x2 y2 4.若方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则锐角 α 的取值范围是( 4 8sinα π π A. ( , ) 3 2 π π B. [ , ) 3 2 )

π π C. ( , ) 6 2

π π D. [ , ) 6 2

x2 y2 解析:∵方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 4 8sinα 1 ∴8sinα>4,sinα> . 2 π π ∵α 为锐角,∴ <α< . 6 2 答案:C 二、填空题 5.一个焦点坐标是(0,4),过点 B(1, 15)的椭圆的标准方程为__________. y2 x2 解析:设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∴a2-b2=16, 又过点 B(1, 15), ∴ 15 1 + =1, a2 b2 ② ①

∴由①②知,a2=20,b2=4, y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 20 4 y2 x2 答案: + =1 20 4 6.[2014· 云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距 离和为 8,焦距为 2 15,则此椭圆的标准方程为________. 解析:本题考查椭圆的标准方程.由已知,2a=8,2c= y2 2 15,∴a=4,c= 15,∴b2=a2-c2=16-15=1,∴椭圆的标准方程为 +x2=1. 16 y2 答案: +x2=1 16 x2 y2 7.已知椭圆的标准方程为 + =1(m>0)并且焦距为 6,则实数 m 的值为__________. 25 m 解析:∵2c=6,∴c=3. 当焦点在 x 轴上时,a2=25,∴m=16. 当焦点在 y 轴上时,b2=25,∴m=34. 答案:16 或 34 三、解答题 8.求经过点 A( 3,-2)和点 B(-2 3,1)的椭圆的标准方程. x2 y2 解法一:(1)当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

? 3? ?-2? ? ? a + b =1, 依题意有? ?-2 3? 1 ? ? a +b =1,
2 2 2 2 2 2 ? ?a =15, 解得? 2 ?b =5. ?

2

2

x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 15 5 y2 x2 (2)当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ?-2? ? 3? ? ? a + b =1, 依题意有? 1 ?-2 3? ?a + b =1, ?
2 2 2 2 2 2 2

?a2=5, ? 解得? 2 ?b =15. ?

因为 a<b,所以方程无解. x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 15 5 解法二:设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
? ?3m+4n=1, 依题意有? 解得 ?12m+n=1, ?

?m=15, ? 1 ?n=5.

1

x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 15 5 9.如图,圆 C:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,求点 M 的轨迹方程.

解:由垂直平分线性质可知 |MQ|=|MA|, ∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|, 又|CQ|=4, ∴|CM|+|MA|=4. 又|AC|=2,∴M 点轨迹为椭圆. 由椭圆的定义知:a=2,c=1,

∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴所求轨迹方程为: + =1. 4 3


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