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2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:67 几何概型含答案

时间:2015-02-07


课时跟踪检测(六十七)
第Ⅰ组:全员必做题

几何概型
)

1.用一平面截一半径为 5 的球得到一个圆面,则此圆面积小于 9π 的概率是( A. 4 5 1 B. 5
2

1 C. 3

1 D. 2

2.函数 f(x)=x -x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概率 是( ) A.1 2 B. 3 3 C. 10 2 D. 5 N,

3.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点 连接 MN,则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是( A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. ) 1 2

4.如图, 长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C(0,2), 线 y= x经过点 B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机 入长方形 OABC 中,则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( A. C. 5 12 2 3 1 B. 2 3 D. 4
2 2

曲 落

)

x y 5.(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程 2+ 2=1 a b 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 A. 1 2 B. 15 32 3 的椭圆的概率为( 2 17 32 D. 31 32
2

)

C.

6.(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数 a,使得不等式 2x -ax+8≥0 在(0, +∞)上恒成立的概率为________. 7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图, 边长为 2 的正方形内有一个半径为 的半圆.向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能 的),则该点落在半圆内的概率为________. 8.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方 形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长 1 体的平面展开图内的概率是 ,则此长方体的体积是 4 方 1) 1

-1-

________. 9.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的 小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概 1 率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的 小球标号为 b. (ⅰ)记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; (ⅱ)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a-b) 恒成立”的概率.
2 2 2

10. 创新题 设 f(x)和 g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意 x∈[1,2], b 都有|f(x)+g(x)|≤8,则称 f(x)和 g(x)是“友好函数”,设 f(x)=ax,g(x)= . x (1)若 a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求 f(x)和 g(x)是“友好函数”的概率; (2)若 a∈[1,4],b∈[1,4],求 f(x)和 g(x)是“友好函数”的概率.

第Ⅱ组:重点选做题
?0≤x≤2, ? 1.设不等式组? ? ?0≤y≤2

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ) C. π 6 D. 4-π 4

坐标原点的距离大于 2 的概率是( A. π 4 B. π -2 2

V 2.在体积为 V 的三棱锥 S?ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 S?APC 的体积大于 的概 3

-2-

率是________.

答 第Ⅰ组:全员必做题



1.选 B 依题意得截面圆面积为 9π 的圆半径为 3,球心到该截面的距离等于 4,球的截 5-4 1 面圆面积小于 9π 的截面到球心的距离大于 4,因此所求的概率等于 = . 5 5 2.选 C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解,当 x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0,则所 2- - 求概率 P= 5- - 3 = . 10

π 2× 2 1 π 3.选 D 由题意知,当 MN= 2R 时,∠MON= ,所以所求概率为 = . 2 2×π 2
4 2 16 4 4.选 C 图中阴影部分是事件 A 发生的区域,其面积 S 阴=? ?0 xdx=3x 2 |0= 3 ,S

3

长方形

16 3 2 S阴 =4×2=8,∴P= = = .故选 C. S长方形 8 3 x y 3 5.选 B 方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆, a b 2 a >b , ? ? 2 2 故? c a -b 3 e= = < , ? a 2 ? a
?a >b , ? 即? 2 2 ? ?a <4b ,
2 2 2 2 2 2

?a>b, ? 化简得? ? ?a<2b,

又 a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不等式组的平面区

15 S阴影 15 域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为 ,故所求的概率 P= = . 4 2×4 32 8 2 2 6.解析:要使 2x -ax+8≥0 在(0,+∞)上恒成立,只需 ax≤2x +8,即 a≤2x+ 在 x 8 (0, +∞)上恒成立. 又 2x+ ≥2 16=8, 当且仅当 x=2 时等号成立, 故只需 a≤8, 因此 0≤a≤8. x 8-0 4 由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 = . 10-0 5 4 答案: 5 S半圆 π 7.解析:由题知该点落在半圆内的概率为 = . S正方形 8
-3-

π 答案: 8 8.解析:设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面 展开图内的概率 P= 2+4h + + 1 1 = ,解得 h=3 或 h=- (舍去), 4 2

故长方体的体积为 1×1×3=3. 答案:3 n 1 9.解:(1)依题意 = ,得 n=2. n+2 2 (2)(ⅰ)记标号为 0 的小球为 s,标号为 1 的小球为 t,标号为 2 的小球为 k,h,则取出 2 个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k, t),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k),共 12 种,其中满足“a+b=2”的有 4 种:(s,k), 4 1 (s,h)(k,s),(h,s).所以所求概率为 P(A)= = . 12 3 (ⅱ)记“x +y >(a-b) 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立”,(x, y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为 Ω ={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2, x,y∈R},而事件 B 构成的区域为 B={(x,y)|x +y >4,(x,y)∈Ω }.所以所求的概率为 π P(B)=1- . 4 10.解:(1)设事件 A 表示 f(x)和 g(x)是“友好函数”, 则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有: 1 1 4 1 1 4 x- ,x+ ,x+ ,4x- ,4x+ ,4x+ , x x x x x x 共 6 种且每种情况被取到的可能性相同. b ? 又当 a>0,b>0 时 ax+ 在?0, x ? 1 1 x- 和 4x- 在(0,+∞)上递增, x x 1 1 4 1 ∴对 x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8 恒成立的有 x- ,x+ ,x+ ,4x- , x x x x 故事件 A 包含的基本事件有 4 种, 4 2 2 ∴P(A)= = ,故所求概率是 . 6 3 3 (2)设事件 B 表示 f(x)和 g(x)是“友好函数”, ∵a 是从区间[1,4]中任取的数,b 是从区间[1,4]中任取的数,∴点(a,b)所在区域是长 为 3,宽为 3 的矩形区域. 要使 x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8 恒成立,
-42 2 2 2 2 2 2

b? ? ?上递减,在? a? ?

b ? ,+∞?上递增; a ?

b 需 f(1)+g(1)=a+b≤8 且 f(2)+g(2)=2a+ ≤8, 2 ∴事件 B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分. 1 ? 11? ×?2+ ?×3 4? 2 ? 19 ∴P(B)= = , 3×3 24 19 故所求的概率是 . 24 第Ⅱ组:重点选做题 1.选 D 根据题意作出满足条件的几何图形求解. 如图所示,正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D,且区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域,易 4-π 知该阴影部分的面积为 4-π ,因此满足条件的概率是 . 4 VS?APC 1 2.解析:由题意可知 > ,三棱锥 S?ABC 的高与三棱锥 S?APC 的高 VS?ABC 3 相同.作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N,则 PM,BN 分别为△APC 与△ABC 的 VS?APC S△APC PM 1 PM AP AP 1 2 高,所以 = = > ,又 = ,所以 > ,故所求的概率为 (即 VS?ABC S△ABC BN 3 BN AB AB 3 3 为长度之比). 2 答案: 3

-5-


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