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浙江省高三数学(理)下学期六校联考试题(含答案)

时间:

20xx 届浙江省六校联考数学(理科)试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为120 分钟。

参考公式:

柱体的体积公式V ? Sh

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

锥体的体积公式V ? 1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

台体的体积公式V

?

1 3

h(S1

?

S1S2 ? S2 )

其中 S1, S2 分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式 S ? 4? R2

其中 R 表示球的半径, h 表示台体的高

球的体积公式V ? 4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的.
? ? ? ? 1.已知集合 A= x x2 ? 4x ? 3 ? 0 , B ? x 2 ? x ? 4 ,则 A B ?

A.(1, 3 )

B.(1, 4 )

C.( 2 , 3 )

D.( 2 , 4 )

2.已知直线 l1 : (3 ? m)x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 ,则“ l1 // l2 ”是“ m ? ?7 ”



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知空间两条不同的直线 m , n 和平面? ,则下列命题中正确的是

A.若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n

B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n

C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n

D.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

4.将函数 y ? sin(4x ? π ) 的图像上各点的横坐标伸 长为原来的 2 倍,再向右平移 π 个单

3

6

位,得到的函数的图像的一个对称中心为

A.( π , 0 ) 16

B.( π , 0 ) 9

C.( π , 0 ) 4

D.( π , 0 ) 2

5.等差数列{an} 的公差为 d ,关于 x 的不等式 dx2 ? 2a1x ? 0 的解集为[ 0 , 9 ],则使数列

{an} 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

6.已知

O

为坐标原点,双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1 (a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F

,以 OF

为直径作

圆交双曲线的渐近线于两点 A , B (异于原点),若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离

心率 e 为

A. 3

B. 2

C. 3

D. 2

7.设 m 为不小于 2 的正整数,对任意 n ? Z ,若 n ? qm ? r (其中 q , r ?Z ,且 0 ≤ r ? m ), 则记 fm (n) ? r ,如 f2 (3) ? 1, f3 (8) ? 2 .下列关于该映射 fm : Z ? Z 的命题中,不.正.
确.的是
A.若 a , b ? Z ,则 fm (a ? b) ? fm (a) ? fm (b) B.若 a , b , k ? Z ,且 fm (a) ? fm (b) ,则 fm (ka) ? fm (kb) C.若 a , b , c , d ?Z ,且 fm (a) ? fm (b) , fm (c) ? fm (d ) ,则 fm (a ? c) ? fm (b ? d ) D.若 a , b , c , d ?Z ,且 fm (a) ? fm (b) , fm (c) ? fm (d ) ,则 fm (ac) ? fm (bd )

8.如图,在等腰梯形 ABCD中, AB ? 2 , CD ? 4 , BC ? 5 ,点 E , F 分别为 AD , BC 的中点。如果对于常数 ? ,在等腰梯形 ABCD的四条边上,有且只有 8 个不同的点 P

使得 PE ? PF ? ? 成立,那么 ? 的取值范围是

A

B

A.( ? 5 , ? 9 ) 4 20
C.( ? 9 , ? 1 ) 20 4

B.( ? 9 , 11 ) 20 4
D.( ? 5 , 11 ) 44
非选择题 部分(共 110 分)

E

F

D

P

C

(第 8 题图)

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36

分.

9.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为______,表面积为

______.

10.已知 f (x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ,则 f (x) 的最小正周期为

22

2

______,单调递减区间为______.

11. 设 函 数

? 2x , x ?[?1,2] f (x) ? ?



?8 ? 2x, x ? (2,4]

f (log2 3)

=______ , 若

2
2
正视11 图
俯视图

1 1侧视1图1 (第 9 题图)

f ( f (t)) ?[ 0 ,1],则实数 t 的取 值范围是______.

12.动直线 l : (3? ?1)x ? (1? ?) y ? 6 ? 6? ? 0 过定点 P ,则点 P 的坐标为______,若直

? x?0

线l 与

不等式组

? ?

y?0

表示的平面区域有公共点,则实数 ? 的取值范围是_____.

??2x ? y ? 2

13.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ? 2 BC ,点 E 是线段 AD 上的一个动点(不含端点), 3

若 BE ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? 1 =______. ?

D

EC

14.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E 为正方形边上的动点,

现将△ ADE 所在平面沿 AE 折起,使点 D 在平面 ABC 上的射

影 H 在直线 AE 上,当 E 从点 D 运动到 C ,再从 C 运动到 B , 则点 H 所形成轨迹的长度为______.

A

B

(第 14 题图)

15.设 a , b , c ?R ,对任意满足 x ? 1的实数 x ,都有 ax2 ? bx ? c ? 1 ,则 a ? b ? c

的最大可能值为______.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2?B ,且 AD ?1, CD ? 3 , cos B ? 3 . 3

A

(I)求△ ACD 的面积;

D

(II)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

B

C

17.如图(1),在等腰梯形 CDEF 中, CB, DA 是梯形的高 , AE ? BF ? 2, AB ? 2 2 ,

现将梯形沿 CB , DA 折起,使 EF // AB 且 EF ? 2AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如

图(2)示,已知 M , N 分别为 AF , BD 的中点.

C

D

C

D

N

F

B 图(1) A

E

(I)求证: MN // 平面 BCF ;

B M

A

F

E

图(2)

(II)若直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 ,求平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角大
2 小.

18.已知函数

f

(x)

?

ax x2 ? b

(a

?

0, b

? 1) ,满足:

f

(1)

? 1,且

f

(x)



R

上有最大值

32 4



(I)求 f (x) 的解析式;

(II)当

x ? [1, 2 ]时,不等式

f

(x)

?

(x2

3m ? 2) x ? m

恒成立,求实数 m

的取值范围.

19.如图,椭圆 C1 :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

?

0) 和圆 C2 : x2

?

y2

? b2

,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分,

且圆 C2 的面积为 π 。椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相

交于点 A , B ,直线 EA , EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P , M .

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)求△EPM 面积最大时直线 l 的方程.
M

y
P A

O

x

B E

20.已知数列{an}满足:

an?1

?

1 2

(an

?

4 an

)



(I)若

a3

?

41 20

,求

a1 的值;

(II)若 a1

?

4

,记 bn

?|

an

?

2

|

,数列{bn}的前

n

项和为 Sn

,求证: Sn

?

8 3

一、选择题 1.C 2.C 3.A 4.D

20xx 届浙江省六校联考 数学(理科)答案
5.B 6.D 7.A 8.C

二、填空题(第 9,10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分,共 36 分)

9. ? , 2 ? 1? 5 ?

3

2

10. 2? , (2k? ? 2? , 2k? ? 5? ) k ? Z

3

3

11. 3 , 13. 1
2

79

[log2

2

,

] 4

14. ?

12. (0, ?6)

1?? ? 7 3

15. 3

三、解答题
16. 解:(Ⅰ) cosD ? cos2B ? 2cos2 B ?1 ? ? 1 ………………………(2 分) 3
因为 ?D ??0,? ? ,所以 sin D ? 2 2 ,…………………………(4 分)
3 所以△ACD 的面积 S ? 1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 .………………(7 分)
2 (Ⅱ)解法一:在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2AD? DC ? cosD ? 12 ,

所以 AC ? 2 3 .……………………………………………………(9 分)

在△ABC 中, AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2AB? BC ? cosB ? 12 ……………(12 分)

把已知条件代入并化简得: AB2 ? 4AB ? 0 因为 AB ? 0 ,所以 AB ? 4 ……(15 分)

解法二:在△ACD 中,在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2AD? DC ? cosD ? 12 ,

所以 AC ? 2 3 .…………………………………………………………(9 分)

因为 BC ? 2

3



AC sin B

?

AB sin ?ACB

,所以

2 sin

3 B

?

AB
sin ?? ?

2B?

,………(12

分)

得 AB ? 4 .………………………………………………………………………… (15 分) 17. 解:(Ⅰ)证明:连 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点,
∴ N 为 AC 中点. 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF . ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,?MN // 平面 BCF .……………………(4 分)
(Ⅱ)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB AE ? A

∴ AD ? 平面 ABFE ,过点 E 作 EH ? AB于点H ,连接 DH ?DE 在面 ABCD 上的射影是 DH . 所以 ?EDH 为 DE 与平面 ABCD 所成的角。……………………………(6 分)

所以: tan ?EDH ? HE ? 2 DH 2

所以: DH ? 2, DA ? 2

设 P?EF 且 AP ? EF ,分别以 AB, AP, AD 所在 的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

则 A(0, 0, 0), D(0, 0, 2), E(? 2, 2, 0), F(3 2, 2, 0)

AD ? (0, 0, 2), AE ? (? 2, 2, 0), DE ? (? 2, 2, ? 2), DC ? (2 2, 0, 0)
………………………………(9 分)
设 m ? (x, y, z), n ? (r, s,t) 分别是平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量



??m ?

AD ? 0

,

??n ?

DC ? 0



??m AE ? 0 ??n DE ? 0



?? ?

2z ? 0

,

??2 ?

2x ? 0

??? 2x ? 2 y ? 0 ??? 2x ? 2 y ? 2z ? 0

取 m ? (1,1, 0), n ? (0,1,1) ………… ……………………(13 分)

则 cos ? m, n ?? m n ? 1 mn 2

? 平面 ADE 与平面 CDFE 所成锐二面角的大小为 π . 3
18. 解:(1)因为 f (1) ? 1,得: a ? b ?1,

……………………(15 分) …………………2 分

又因为

f

( x) max

?

a 2b

?

3 4

2,

…………………4 分

解得:

?a ?? b

? ?

3 2



???a ? ???b

? ?

3 2 1 2

(舍)

即: f (x) ? 3x x2 ? 2

…………………6 分

(2)解法一:因为

3m

(x2 ? 2) x ? m

在 x ?[1, 2] 恒有意义,?m?(??,1) U(2, ??)

…8 分

则问题为

3x x2 ?

2

?

(x2

?

3m 2) x

?

m



x

?

|

x

m ?m

|



x

?[1, 2]恒成立,

即 x x ? m ? m ? 0 对 x ?[1,2] 恒成立

令 g ? x? ? x x ? m ? m, g ? x? ? 0 对 x ?[1,2] 恒成立,



?? ? ??

g
g?

?1? ? 1? m ? m ? 0 2? ? 2 2 ? m ? m ? 0

得4 ?m?4 3

…………10 分

整理得

g

(

x)

?

? x2 ??? x

? mx ? m, ( 2 ? mx ? m,

x ? m) (x ? m)

问题转化为:求 g(x) 在[1,2]上的最大值 g(x)max ? 0





4 3

?

m

?

2

时,

g ( x) m ax

?

max ?g (1),

g(2)?

g(1) ? ?1, g(2) ? 4 ? 3m

4 ? m ? 5 时 , g(2) ? g(1)

3

3

5 ? m ? 2 时, g(1) ? g(2) ,? 4 ? m ? 2 成立

3

3



当2

?

m

?

4

时,

g(x)max

?

g?? ?

m 2

?? ?

?

m2 4

?m?0

?2 ? m ? 4

又 m?(??,1) U(2, ??)

…………12 分 …………14 分

综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4

………………15 分

解法二:

因为
(x2

3m ? 2) x ? m

在 x ?[1, 2] 恒有意义,?

m ?(??,1) (2, ??) ……8 分

问题即为

3x x2 ?

2

?

(x2

?

3m 2) x

?m



x ?[1, 2]恒成立,即

x

?

|

x

m ?m

|



x ?[1, 2]恒成立,

x?m ? m x

?m ? x?m? m

x

x

① x ?1显然成立

…………………10 分

当 x ? 1时, m ? x2 x ?1

m? 4



对于 m

?

x2 对 x ?1

x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m

?

x2

(

x

?

) 1

max



令 t ? x ?1, x ? (1, 2] ,则 x ? t ?1, t ? (2,3] ,

x2 ? (t ?1)2 ? t ? 1 ? 2 , t ? (2,3] 递增,

x ?1 t

t

?

(

x2 x?

1)max

?

4 3



即m ?

4, 3

综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4

…………………15 分

19. 解:(1)由题意得: b ?1,则 a ? 3b ,所以椭圆方程为: x2 ? y2 ? 1………………5 分 9

(2)由题意得:直线 PE, ME 的斜率存在且不为 0, PE ? EM ,

不妨设直线 PE 的斜率为 k (k ? 0) ,则 PE : y ? kx ?1

由:

? ? ? ??

y x2 9

? ?

kx y2

?1 ?1

,得:

? ?? ? ? ??

x y

? ?

18k 9k 2 ?1 9k 2 ?1 9k 2 ?1



? ? ?

x?0 y ? ?1

所以:

P

:

(

18k 9k 2 ?1

,

9k 9k

2 2

?1) ?1

同理得:

M

:

?18k (k2 ?9

,

9?k2 k2 ?9)

k2 ?1 kPM ? 10k

………………8 分



? ? ?

y x2

? ?

kx y2

?1 ?1

,得:

A

:

( 1

2k ?k

2

,

k2 1?

? k

1 2)



所以: kAB

?

k2 ?1 2k

所以: S?EPM

?1 2

PE ? EM

?

162(k ? k3) 9k 4 ? 82k 2 ? 9

?

162(k ? 1) k

9k

2

?

82

?

9 k2

设t ? k ? 1 , k

则 S?EPM

?

162t 9t2 ? 64

?

162 9t ? 64

?

27 8

t

当且仅当 t ? k ? 1 ? 8 时取等号,所以 k ? 1 ? ? 2 7

k3

k3

………………12 分 ……13 分

则直线 AB : y ? k 2 ?1 x ? 1 (k ? 1 )x 2k 2 k

所以所求直线 l 方程为: y ? ? 7 x 3

………………15 分

20.

解:(1)Q 41 20

?

1 2

(a2

?

4) a2

?a2

?

5 2

或a2

?

8 5

.........2 分



a2

=

5 2

时,解得

a1

=1或4

.........4 分



a2

=

8 5

时,无解

所以, a1=1或4

.........6 分

(2)方法

1:Q an?1

?

2

?

1 2

(an

?

4 an

?

4)

?

1 2an

(an2

?

4an

?

4)

?

1 2an

(an

?

2)2



an?1

?

2

?

1 2

(an

?

4 an

?

4)

?

1 2an

(an2

?

4an

?

4)

?

1 2an

(an

?

2)2



①/②得,因为

an?1 an?1

? ?

2 2

?

(an (an

? ?

2)2 2)2

.........9 分

? (an ? 2) ? (an?1 ? 2)2 ? (an?2 ? 2)4 ? .... ? ( (a1 ? 2) )2n?1 ? (1)2n?1

(an ? 2) (an?1 ? 2)2 (an?2 ? 2)4

(a1 ? 2)

3

1? (1)2n?1

? an

?

2? 3 1? (1)2n?1

3

.........12 分

| an

1? (1)2n?1 ? 2 |? 2 ? 3
1? (1)2n?1

?2?

4 32n?1 ?1 ?

4 3n

3

? Sn ?| a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? 2 |

? 2?

4 32

?

...

?

4 3n

?

2?

4

1 (

?

1 3n?1

)

9 1? 1

?

2?

2 3

(1

?

1 3n?1

)

?

8 .........14 分 3

3

方法

2:因为 a1

?

4,

an?1

?

2

?

1 2an

(an

?

2)2

?

0

又因为 a1 ? 4 ,所以 an ? 2

所以 an?1

? an

?

4 ? an2 2an

?

0 ,所以{an} 为单调递减数列

所以 2 ? an ? 4

an ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 2an 2 an 4

an?1

?

2

?

an ? 2 2an

(an

?

2)

?

1 4

(an

?

2)



所以:

an

?

2

?

(

1 4

)n?1

(a1

?

2)

?

2

?

(

1 ) n?1 4

Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ... ? an ? 2

? 2 ? 2 ? 2 ? (1 )2 ? ... ? 2 ? ( 1)n?1 ? 2 ? 2 (1? ( 1)n ) ? 8

44

4

34 3


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