nbhkdz.com冰点文库

相似三角形判定综合复习_图文

时间:2018-06-30

方伟良

三角形相似的判定方法有哪些?
三个角对应相等 方法1:通过定义 三边对应成比例 方法2:平行于三角形一边的直线与其它两边

?

相交,所得三角形与原三角形相似 方法3:三组对应边的比相等,两个三角形相似 方法4:两组对应边比相等且夹角相等, 两个三角形相似

方法5:两组角分别对应相等,两个三角形相似

相似三角形的判定定理:
定理1:三组对应边的比相等,两三角形相似。 AB BC CA A' ? ? △ABC∽△ A'B'C' ? A'B' B'C' C'A' 定理2:两组对应边的比相等且夹角相等, 两三角形相似。 B' AB BC ? A A' B ' B ' C ' ? △ABC∽△A'B'C'
∠B= ∠B'

C'

定理3:两角对应相等,两三角形相似。

∠A= ∠A' ?△ABC∽△A'B'C' ∠B= ∠B'

B

C

直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等,两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ? Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o

A'

B'

C

B

A
1 2

A O

C

B
A

C
C
D E

B D

D O

A D E
B

B

C

A

B

C

定理应用

如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC= 6, AD=2。问当AB的长为多少时,这两个直角三 角形相似?
A

D



B

C

要使这两个直角三角形相似,有两种情况: (1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有
AC AB ? AD AC

AC 2 AB ? ?3 AD
A

(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有
AC AB ? CD AC

AC 2 AB ? ?3 2 CD
D



故当AB的长为3或

3 2

B

C

时,这两个直角三角形相似。

如图:∠ABC=∠CDB=90°, AC=a, BC=b, 当BD=
A

时,
C

△ABC与△CDB相似.

B

D

如图:已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a, BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系式时, 两三角形相似 a C
解:⑴∵ ∠1=∠D=90° A

b a b 1 ? AC BC ? ∴当 时,即当 b B D 时, B BC BD b2 △ABC∽ △CDB,∴ B D ? a
⑵∵ ∠1=∠D=90° a AC AB ∴当 B C ? B D 时,即当 b ?

D

△ABC∽ △BDC, ∴ B D ? b a ? b
2

a2 ? b2 时, BD
2

答:略.

a

基本图形应用 (1)

已知:如图,△ABC中,P是AB边上的一点,连 结CP.满足什么条件时△ ACP∽△ABC?
解:⑴∵∠A= ∠A,∴当∠1= ∠ACB

(或∠2= ∠B)时,△ ACP∽△ABC A
⑵ ∵∠A= ∠A,
P 1 4
2 C

∴当AC:AP=AB:AC时, B
△ ACP∽△ABC 答:当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B

或AC:AP=AB:AC时,△ ACP∽△ABC.

在△ABC中,AB=9,AC=6, D 是边AB上一点 且 AD=2,E是AC 上 4 的点 ,则AE= 3 或3 时, △ADE 思 与△ABC相似?
△ADE∽△ABC?
A D D E E B C A

维 要 严 密

B

C

练习
已知,△ABC中,D为AB上一点,画一条过 点D的直线(不与AB重合),交AC于E,使所得 三角形与原三角形相似,这样的直线最多能 画出多少条? A
A
D
E

D
E

B

C

B

C

在△ABC中,AB>AC,过AB上一点D作 直线DE (不与AB重合),交另一 边于E,使所得三角形与原三角形相 似,这样的直线最多能画出多少条? 画出满足条件的图形.
A D E D E CB A A

A

D
E CB

D E C

B

CB

在直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,4), C(0,3)。过点C作直线交x轴于点D,使以 D、O、C为顶点的三角形与ΔAOB相似,这样 的直线最多可以作( )条 A .2 B .3 C.4 D. 6
B C

D

AD

OD

D

动点与相似三角形

? 在平面直角坐标系中,四边形OABC为等腰梯形, OA∥BC, OA=7, BC=3, ∠COA=60°,点P 为线段OA上的一个动点,点P不与O、A重合, 连结CP. y ? (1)求点B的坐标。 ? (2)点D为AB上一点, C B ? 且AD:BD=3:5,连结PD, D ? 在OA上是否存在这样的 A x O P ? 点P,使∠CPD= ∠BAO? ? 若存在,求出直线PB的 ? 解析式,若不存在,请说明理由。

B(5,2 3 )
2)提示,AD:BD=3:5, A B=OC=4∴AD=3/2 又△OPC∽ADP 设OP=X,由X:AD=OC:AP 列出方程,解得X=1或6

3 3 y? x ? 或y ? ?2 3x ? 12 3 2 2

如图:在⊿ABC中, ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发,沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发,沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发,问: ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA; ② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与 A ⊿ABC相似? A
Q B C B Q C

P

P

? ? ? ?

提示 ①只有一种情况,t=12/5 ②除上面一种外还有一种情况,t=32/11 (0﹤t﹤4)

基本图形应用
(2)

将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图 的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面 内,则图中有相似(不包括全等)三角形吗?如 有,把它们一 一写出来. 解:有相似三角形,它们是: △ADE∽ △BAE, B △BAE ∽ △CDA , △ADE∽ △CDA ( △ADE∽ △BAE ∽ F △CDA)
A

D E G
C

已知:如图,△PQR是等边三角形, ∠APB = 120 ° 求证:(1)PAQ∽△BPR

(2) AQ ? RB=QR 2

Q

R

B

如图点C、D在线段AB上,△PCD是等 边三角形. (1)当AC、CD、DB满足怎样的关 系式时,△ACP∽△PDB (2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB 的度数

C

D

B

^ ※如图,已知EM
F
C

AM,交AC于D, CE=DE 求证:2ED · DM=AD · CD。
证法一: 要 证 2ED? DM ? AD ? CD成 立 ,
E
D

应把积的形式转化成比 例式 (还应考虑系数2), 2ED CD ? ,要 得 出 2ED, AD DM 可 延 长 DE到 F, 使F E ? DE,
A

又 知 CE? DE ? EF, 可 得 Δ CDF是 RtΔ ,
M



由条件得 Δ AMD 结论成立。 ∽Δ FCD,

如图,已知EM ^ AM,交AC于D,CE=DE 求证:2ED · DM=AD · CD。
证法二:过点E作EG ^ CD,

C G

E
D

根据等腰三角形的性质 , 得CD ? 2DG, 2ED AD 只需证明 ? 即 CD DM ED AD ? , 由题易证得 DG DM ΔDEG ∽ ΔDAM, 故结论成立。



M

A

综合运用

※已知如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平 分线,EF⊥AD于点F,AF=FD。 求证:DE? =BE· CE
A

F B D C E

? 解:连接AE,∵EF垂直平分AD
∵∠ADE=∠B+∠BAD, ∠DAE=∠CAD+∠CAE。

? ∴ AE=DE。∴∠ADE=∠DAE。

AD是∠BAC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD。 ∴∠B=∠CAE。 又∠AEB=∠AEC(公共角)。 ∴△ABE∽△CAE,∴AE/CE=BE/AE, ∴AE? =BE × CE。

∵AE=DE,∴DE? =BE×CE。

※如图,已知点P是边长为4的正方形

ABCD内一点,且PB=3 BF⊥BP,垂足为 . B,请在射线BF上找一点 M,使以点B、 M、C为顶点的三角形与△ABP相似
A
D

则BM=

3或

16 3

P

B

C F

提示
? 由条件:∠ABP=∠CBM, (1)M1B:BP=BC:AB, 即M1B:3=4:4,∴M1B=3(此时全等)
? (2)M2B:AB=BC:BP, 即M2B:4=4:3,M2B=16/3. ∴MB有二解:3或16/3.

※正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动
点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直. (1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此 时x的值. A D

N B M C

? 提示 ? (2)已知了这两个三角形中相等的对应角是 ∠ABM和∠AMN,如果要想使 RT△ABM∽RT△AMN,那么两组直角边就 应该对应成比例,即AM/MN=AB/BM,根 据(1)的相似三角形可得出 AM/MN=AB/MC,因此BM=MC,M是BC的 中点,即X=2

※已知,如图,D为△ABC内一点,连接BD、

AD,以BC为边在△ABC作 ∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD,BE、 CE交于E,连接DE。 求证:△DBE∽△ABC

分析:由已知条件∠ABD=∠CBE,

∠DBC公用.所以∠DBE=∠ABC, 要证的△DBE和△ABC, 有一对角相等,要证两个 三角形相似,或者再找一 对角相等,或者找夹这个 角的两对应边的比相等。 从已知条件中可看到 △CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有 对应边的比相等,问题就可以得到解决。

证明:在△CBE和△ABD中,
∵∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD, ∴△CBE∽△ABD. ∴ AB:BC=BD:BE ∴ AB:BD=BC:BE . 又∵∠CBE=∠ABD, ∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC. 即∠DBE=∠ABC ∴△DBE∽△ABC 点评:本题应用综合分析法,既用到了相似
三角形的性质,又用到了相似三角形的判定, 要求同学们对四种判定方法和 基本图形要熟 练掌握。

? ※已知,在△ABC中, ∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的 中点,ED交AB的延长线于F, ? 求证:AB:AC=DF:AF

? 分析:
? 欲证AB:AC=DF:AF,虽然这四条线段可分 配于△ABC和△DFA中,但这两个三角形明 显不相似,且图中又没有相等的线段来代换, 故需借助中间比牵线搭桥。 ? 易证RT△BAC∽RT△BDA,得到 AB:AC=BD:AD, ? 于是只需证 ? DF:AF=BD:AD ? 进而证出△DFB∽△AFD ? 即可

? 证明:在RT△ABC和RT△DBA中,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∠BAD=∠C,∠ABC=∠DBA, ∴RT△ABC∽RT△DBA ∴AB:AC=BD:AD 又在RT△ADC中,E是AC的中点,∴DE=CE ∴∠C=∠EDC=∠FDB ∵∠C=∠BAD ∴∠BAD=∠FDB ∵∠F=∠F ∴△DFB∽△AFD ∴DF:AF=BD:AD ∴AB:AC=DF:AF

再 见


相似三角形判定综合复习_图文.ppt

相似三角形判定综合复习 - 方伟良 三角形相似的判定方法有哪些? 三个角对应相等

相似三角形判定综合复习PPT课件_图文.ppt

相似三角形判定综合复习PPT课件 - 方伟良 三角形相似的判定方法有哪些? ?

相似三角形判定复习公开课_图文.ppt

相似三角形判定复习公开课 - 回顾与反思 判定两个三角形相似的方法: 1.定义:

相似三角形的判定复习课_图文.ppt

相似三角形判定复习课 - 相似三角形判定 你学习了哪些判定两个三 角形相似的

对相似三角形的判定的复习_图文.ppt

相似三角形判定复习 - 复习相似三角形判定知识, 体现分类讨论的基本骨架 1.相似三角形 相等 ,对应边的___ 比相等 的两个三角形 (1)定义:...

相似三角形的判定复习_图文.ppt

相似三角形判定复习 - <<相似三角形判定>> 复习课 D C E A 40° A D DE ∥BC B B 80° E C 80° 60 ° D 36 48 ...

相似三角形判定复习(二)_图文.ppt

相似三角形判定复习(二) - 复习(二) 三、探索题 1、条件探索型 1.已知:

相似三角形判定复习(一)_图文.ppt

相似三角形判定复习(一) - 复习(一) 一、相似三角形的判定定理: A'

相似三角形的判定复习ppt 人教版_图文.ppt

相似三角形判定复习ppt 人教版 - <<相似三角形判定>> 复习课 卅铺初中 李伟 一、复习: 1、相似三角形的定义是什么? 对应边成比例 对应角相等, 答: 的...

相似三角形的判定和性质复习_图文.ppt

相似三角形判定和性质复习 - 2 0 0 6. 0 4 .2 0. 相似三角形复习(2) 比例式、等积式的几种常见证明方法 许河中学 周美华 1.已知:如图, ∠ACB...

相似三角形判定、性质复习_图文.ppt

相似三角形判定、性质复习 - 如图,在△ABC中,AB>AC,D为AC边上

相似三角形判定复习精选课件_图文.ppt

相似三角形判定复习精选课件 - 卢氏县文峪乡第一初级中学 李卫国 三角形相似的判

相似三角形专题复习(精品)_图文.ppt

相似三角形专题复习(精品) - 1.相似三角形的定义: 对应角相等、对应边成比例的三角形叫 做相似三角形。 2.相似比: 相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的...

相似三角形的判定_复习课件_图文.ppt

相似三角形判定_复习课件 - <<相似的判定三角形>> 复习课 一、复习: 1、相似三角形的定义是什么? 对应边成比例 对应角相等, 答: 的两个三角形叫做相似...

第22章相似三角形判定复习_图文.ppt

第22章相似三角形判定复习 - 第22章 相似三角形判定复习 赵集镇中心学校 冷怀义 一、复习引入 三角形相似的判定定理有哪些? 1、定义 2、平行定理 3、判定1...

相似三角形的判定复习(叶茂顺)_图文.ppt

相似三角形判定复习(叶茂顺) - 1.相似三角形的定义: 对应角相等、对应边成比例的三角形叫 做相似三角形。 2.相似比: 相似三角形的对应边的比,叫做相似...

人教版《相似三角形判定》复习课件_图文.ppt

人教版《相似三角形判定复习课件 - 一、再现知识 (一)画一画: 如图,在△A

相似三角形的判定(小结与复习)30分钟版_图文.ppt

相似三角形判定(小结与复习)30分钟版 - 小结与复习 相似三角形的定义: ∠

相似三角形的判定复习课_图文.ppt

相似三角形判定复习课 - 九年级数学多媒体课件 新课程 新思想 新理念 相似三角形判定 主要内容讲解: 1.相似三角形的定义: 2.三角形相似的预备定理: 3....

27.2.1_相似三角形的判定(复习)_图文.ppt

27.2.1_相似三角形判定(复习) - 一、知识回顾 相似三角形判定定理: