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2013年高考数学(理科)一轮复习课件第40讲:数列的求和

时间:2012-11-01


考纲要求

考纲研读

1.掌握等差数列、等比数列的求 对等差、等比数列的求和以考查
和公式. 公式为主,对非等差、非等比数

2.了解一般数列求和的几种方 列的求和,主要考查分组求和、
法. 裂项相消、错位相减等方法.

数列求和常用的方法 1.公式法

?n?a1+an? , ? 2 (1)等差数列{an}的前 n 项和公式:Sn=? ?na1+n?n-1?d. 2 ?

na1 (2)等比数列{an}的前n项和Sn:①当q=1时,Sn=_____;
a1-anq a1?1-qn? 1-q 1-q ②当 q≠1 时,Sn=__________=_________.

2.分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和. 4.裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消 去中间项,只剩有限项再求和.

1 1. 数列{an}的前 n 项和为 Sn, an= 若 , S5 等于( B ) 则 n?n+1?

A.1

5 B. 6

1 C. 6

1 D. 30

2.若等差数列{an}中,a3+a4+a5=2,a4+a5+a6=5,则
a8+a9+a10=( B ) A.16 B.17 C.18 D.19

3.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则 a5=____, 16
255 前 8 项的和 S8=_____(用数字作答).
? 1? 1 1 1 4.数列 12,24,38,?,?n+2n?,?的前 n 项和 Sn=______ ? ? 1 1 n(n+1)+1-2n __________________. 2

5. 数列{an}的通项公式 an=
120 则项数 n=________.

, 若前 n 项的和为 10, n+ n+1

1

考点1 利用公式或分组法求和 例1:(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,

a3=a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}

的前n项和Sn.

解析:(1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2·n-1=2n(n∈N*). 2 2?1-2n? n?n-1? (2)Sn= +n×1+ 2 ×2=2n+1+n2-2. 1-2
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成,以 考查公式为主,可先分别求和,再将各部分合并,这就是我们说 的分组求和.

【互动探究】 1.(2010 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1, 且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 2 an}的前 n 项和 Sn. (2)求数列{
解:(1)由题设知公差 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1 = , 1+2d 解得 d=1,d=0(舍去). 故{an}的通项公式 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an =2n,由等比数列前 n 项和公式得 2?1-2n? n+1 Sn=2+22+23+?+2n= =2 -2. 1-2

考点2

裂项相消法求和

例 2:(2011 年全国)已知等比数列{an}各项均为正数,且 2a1 +3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 n 项和.
?1? bn=log3a1+log3a2+log3a3+?+log3an, 求数列?b ?的前 ? n?

解析: (1)设等比数列{an}的公比为 q, a2=9a2a6.得 a2=9a2. 由 3 3 4 1 1 ∴q =9,由条件可知 q>0,故 q=3.
2

1 ∵2a1+3a2=1,∴2a1+3a1q=1,代入解得:a1=3. 1 故数列{an}的通项公式为 an=3n. (2)bn=log3a1+log3a2+log3a3+?+log3an n?n+1? =-(1+2+3+?+n)=- 2 .

?1 1 ? 1 2 ? 故b =- =-2?n-n+1?. ? n?n+1? n ? ?

1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 b1+b2+?+bn= ?2 ??1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ?? 2n =- . n+1
?1? 所以数列?b ?的前 ? n?

2n n 项和为- . n+1

在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对
称性,即前面剩多少项则后面也剩多少项.常见的拆项公式:

1 ? 1 1 1 1 1? 1 ? =n- ; =2?2n-1-2n+1?; ? n?n+1? n+1 ?2n-1??2n+1? ? ? = n+1- n. n+ n+1 1

【互动探究】
2n 1 1 1 n+1 2.求和 1+ + +?+ =_____. 1+2 1+2+3 1+2+3+?+n

n?n+1? 1 解析:∵1+2+3+?+n= 2 ,∴ = 1+2+3+?+n
?1 ?1 ? ?1 1? ?1 1? 1 ? 1 ? 1? ? ? ? 2 ?n-n+1?.∴原式=2 ?1-2?+2?2-3?+2 ?3-4?+?+2 ?n-n+1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2n = . n+1

考点3

错位相减法求和

例 3:(2011 年辽宁)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=- 10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 ? ?

n 项和.

解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得
?a1+d=0, ? ? ?2a1+12d=-10, ? ?a1=1, ? 解得? ?d=-1. ?

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.

? an ? (2)设数列?2n-1?的前 ? ?

n 项和为 Sn,

a2 a3 an 则 Sn=a1+ 2 + 4 +?+ n-1, ① 2 Sn a1 a2 a3 an 2 = 2 + 4 + 8 +?+2n. ②

a2-a1 a3-a2 an-an-1 an Sn ①-②得 2 =a1+ 2 + 4 +?+ n-1 -2n 2
?1 1 ? 1 ? 2-n 1 ? 2-n n ? ? ? =1-?2+4+?+2n-1?- 2n =1-?1-2n-1?- 2n =2n. ? ? ? ? ?

所以 Sn=

. 2n-1

n

若an=bn·n,数列{bn}是等差数列,{cn}是等比 c 数列,采用错位相减法求数列{an}的和,要注意首先要乘以 公比,相减时,一定要错位对齐,且最后一项为负.

【互动探究】
3.已知:数列{an}满足a1+2a2+2 a3+??+2 N*). (1)求数列{an}的通项; n (2)若bn=a ,求数列{bn}的前n项的和Sn. n
2 n-1

n an= 2 (n∈

1 解:(1)n=1时,a1=2, n≥2时,a1+2a2+2 a3+?+2 a1+2a2+2 a3+?+2 ①-②得 2
n-1 2 n-2 2 n -1

n an=2,

① ②

n-1 an-1= 2 ,

1 1 an=2,an=2n,

1 1 又a1=2适合上式,∴an=2n.

(2)bn=n·n, 2 Sn=1· 2+2·2+3·3+?+n·n, 2 2 2 2Sn=1·2+2·3+?+(n-1)·n+n·n+1, 2 2 2 2 ∴(1-2)Sn=2+22+?+2n-n·n+1 2 2?1-2n? = -n·n+1=2n+1-2-n·n+1. 2 2 1-2 ∴Sn=(n-1)2n+1+2.

思想与方法

14.分类讨论思想在数列中的应用
例题:已知点 Pn(an,bn)都在直线 l:y=2x+2 上,P1 为直线 l 与 x 轴的交点,数列{an}成等差数列,公差为 1(n∈N*). (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)若
?an?n为奇数?, ? f(n)=? ?bn?n为偶数? ?

,问是否存在 k∈N*,使得 f(k+

5)=2f(k)-2 成立;若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由; 1 1 1 2 (3)求证:|P P |2+|P P |2+?+|P P |2<5(n≥2,n∈N*). 1 2 1 3 1 n

解析:(1)P1(-1,0),an=n-2,bn=2n-2.
?n-2,?n为奇数?, ? (2)f(n)=? ?2n-2,?n为偶数?. ?

假设存在符合条件. ①若 k 为偶数,则 k+5 为奇数. 有 f(k+5)=k+3,f(k)=2k-2. 如果 f(k+5)=2f(k)-2,则 k+3=4k-6?k=3 与 k 为偶数矛 盾.故不符(舍去). ②若 k 为奇数,则 k+5 为偶数, 有 f(k+5)=2k+8,f(k)=k-2. ∴2k+8=2(k-2)-2 这样的 k 也不存在. 综上所述:不存在符合条件的 k.

(3)证明:∵Pn(n-2,2n-2),P1(-1,0), ∴|P1Pn|= 5(n-1)(n≥2). 1 1 1 ? 1 1 1 1? ? ∴|P P |2+|P P |2+?+|P P |2=5?1+22+32+?+?n-1?2? ? 1 2 1 3 1 n ? ?
? 1 1 1 1? ? <5?1+1×2+2×3+?+?n-2??n-1?? ? ? ?

1 ? 1? 1 ? 2 1? ? ? ? =5?1+1-?n-1??=5?2-?n-1??<5. ? ? ? ? ?

求 k 的值要分为偶数和奇数两种情况讨论.求和
1 1 1 + +?+? 一般都是从等比数列或裂项相消法两 ? P1P2?2 ?P1P3?2 P1Pn?2 ? ? ? ? ? ?

种途径去思考,如果两种方法都行不通,考虑利用放缩法进行适 当变形转化.

1.对于一般数列的求和,通常化归为等差、等比数列的求和,
以考查公式为主.由于数列求和是由通项公式决定的,因此,从 寻找数列的通项公式入手,通过研究它的特点确定使用的方法是 解决求和问题的关键. 2.数列求和常见类型及方法 (1)an=kn+b型,利用等差数列的前n项和公式直接求解. (2)an=a1·n-1型,利用等比数列的前n项和直接求解,但要 q 注意对q分q=1与q≠1两种情况进行讨论.

(3)an=bn± n,数列{bn}、{cn}是等比数列或是等差数列,采用 c 分组求和. (4)an=bn·n,数列{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,采用错 c 位相减法求和. (5)对于通项可化为 an=f??n??-f(n-1)形式的数列,采用裂项相 消法求和. (6)对于 an-k+ak=c(c 为常数),可考虑采用倒序相加求和. (7)an = ??-1?? nf ??n?? ,可采用相邻两项合并求解,即采用“并项 法”求和.
? ?

直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如等比数列
公比 q=1 的情形;在应用错位相减法时,一定要错位对齐,并注 意观察未合并项的正负号;在应用裂项相消法时,要注意消项的 规律具有对称性,即前面剩多少项则后面也剩多少项.


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