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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):3.3三角函数的图像和性质

时间:2013-08-20

课时跟踪检测(二十) 三角函数的图像和性质

1.函数 y= π π A.?-3,3? ? ?

1 cos x- 的定义域为( 2

)

π π B.?kπ-3,kπ+3?,k∈Z ? ? π π C.?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z ? ? D.R π 2.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? C.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 πx π 3.(2012· 山东高考)函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ? ? A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 ) )

π 4.(2011· 安徽高考)已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤?f?6??对 x∈R ? ? ?? π 恒成立,且 f?2?>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( ? ? π π A.?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) ? ? π B.?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? π 2π C.?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ? π D.?kπ-2,kπ?(k∈Z) ? ? 5.(2012· 聊城模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”,而 “平行曲线”具有性质: 任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交, 被截得的线段 π 相等. 已知函数 f(x)=tan?ωx+3?(ω>0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线 y=2 012 相交 ? ? 于 A,B 两点,且|AB|=3π,则 f(π)=( A.2+ 3 ) B.- 3 )

C. 3

D. 3- 2

π π 6.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ? ? ( ) 2 A. 3 C.2 3 B. 2 D.3

π 7.函数 y=cos?4-2x?的单调减区间为________. ? ? 4π 8.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点 ? 3 ,0? 中心对称,那么|φ|的最小值为 ? ? ________. π 9.(2012· 安庆模拟)若函数 f(x)=2tan(kx+ )的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然数 k 的 3 值为________. 10.已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ?

?sin x-cos x?sin 2x 11.(2012· 北京高考)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期;

(2)求 f(x)的单调递增区间.

2π 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. ? ? (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图像过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ?

π π 1.(2012· 新课标全国卷)已知 ω>0,函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?单调递减,则 ω 的 ? ? ? ? 取值范围是( 1 5 A.?2,4? ? ? 1 C.?0,2? ? ? ) 1 3 B.?2,4? ? ? D.(0,2]

?sin x,sin x≤cos x, ? 2.(2012· 潍坊模拟)对于函数 f(x)=? 给出下列四个命题: ? ?cos x,sin x>cos x

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π ③该函数的图像关于 x= +2kπ(k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .其中正确命题的序号是________.(请 2 2 将所有正确命题的序号都填上) π π 3.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. ? ? ? ? (1)求常数 a,b 的值; π (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?





课时跟踪检测(二十) A级 1 1 1.选 C ∵cosx- ≥0,得 cos x≥ , 2 2 π π ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 3 3 π 2.选 D ∵y=sin?x-2?=-cos x, ? ? π ∴T=2π,在?0,2?上是增函数,图像关于 y 轴对称,为偶函数. ? ?

πx π π πx π 7π 3 3.选 A 当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin ? 6 -3?≤1,所以函数的最大 ? ? 3 6 3 6 2 值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3. π π π 4.选 C 因为当 x∈R 时,f(x)≤?f?6??恒成立,所以 f?6?=sin?3+φ?=± ? ? ?? ? ? ? ? 1,可得 φ= π π 5π 2kπ+ 或 φ=2kπ- .因为 f?2?=sin(π+φ)=-sin φ>f(π)=sin(2π+φ)=sin φ,故 sin φ<0,所 ? ? 6 6 5π 5π π 5π π 以 φ=2kπ- , 所以 f(x)=sin?2x- 6 ?, ? ? 函数的单调递增区间为-2+2kπ≤2x- 6 ≤2+2kπ, 6 π 2π 所以 x∈?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? π 5.选 B 设 f(x)=tan?ωx+3?与 x 轴的两个交点为 C、D,由“平行曲线”的性质可知 ? ? π 1 |CD|=3π,所以函数 f(x)的最小正周期为 3π,由 =3π 可得 ω= , ω 3 π π 2π 则 f(π)=tan?3+3?=tan =- 3. ? ? 3 π π π π π π 6.选 B ∵x∈?-3,4?,则 ωx∈?-3ω,4ω?,要使函数 f(x)在?-3,4?上取得最小值 ? ? ? ? ? ? π π π 3π 3 3 -2,则- ω≤- 或 ω≥ ,得 ω≥ ,故 ω 的最小值为 . 3 2 4 2 2 2 π π π 7.解析:由 y=cos?4-2x?=cos2x- 得 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), ? ? 4 4 π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) ? ? π 5π 答案:?kπ+8,kπ+ 8 ?(k∈Z) ? ? π 8.解析:∵y=cos x 的对称中心为?kπ+2,0?(k∈Z), ? ? 4π π ∴由 2× +φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 13π 得 φ=kπ- (k∈Z). 6 π ∴当 k=2 时,|φ|min= . 6 π 答案: 6 π 9.解析:由条件得最小正周期为 T= , k π π 故有 1< <2,解得 <k<π.又 k∈N, k 2

所以 k=2 或 k=3. 答案:2 或 3 10.解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x =2sin xcos x=sin 2x, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π. π π (2)∵- ≤x≤ , 6 2 π 3 ∴- ≤2x≤π,则- ≤sin 2x≤1. 3 2 π π 3 所以 f(x)在区间?-6,2?上的最大值为 1,最小值为- . ? ? 2 11.解:(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π = 2sin?2x-4?-1, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z). ? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ? ? ? 12.解:∵由 f(x)的最小正周期为 π, 2π 则 T= =π,∴ω=2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得 sin 2xcos φ=0, 由已知上式对任意 x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ=0,∵0<φ< ,∴φ= . 3 2

π 3 (2)f(x)的图像过点? , ?时, 6 2? ? π 3 sin?2×6+φ?= , ? ? 2 π 3 即 sin?3+φ?= . ? ? 2 2π π π 又∵0<φ< ,∴ < +φ<π. 3 3 3 π 2π π ∴ +φ= ,φ= . 3 3 3 π ∴f(x)=sin?2x+3?. ? ? π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 5π π ∴f(x)的递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? B级 π π 1. A 函数 f(x)=sin?ωx+4?的图像可看作是由函数 f(x)=sin x 的图像先向左平移 个 选 ? ? 4 π 1 单位得 f(x)=sin?x+4?的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标不变 ? ? ω π π 5π π π 得到的, 而函数 f(x)=sin?x+4?的减区间是?4, 4 ?, 所以要使函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π? ? ? ? ? ? ? ? ?

?4×ω≤2, 上是减函数,需满足? 5π 1 ? 4 ×ω≥π,
1 2.解析:画出函数 f(x)的图像.

π

π

1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4

由图像可得函数的最小正周期为 2π,故①错误;当 x=π+2kπ(k∈Z)或 x= Z)时,函数取得最小值,故②错误;结合图像可得③④正确. 答案:③④ π 3.解:(1)∵x∈?0,2?, ? ? π π 7π ∴2x+ ∈?6, 6 ?. ? 6 ?

3π +2kπ(k∈ 2

π 1 ∴sin?2x+6?∈?-2,1?, ? ? ? ? π ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a]. ? ? ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, π ∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? π 7π g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 ? ? ? ? π =4sin?2x+6?-1, ? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π ∴4sin?2x+6?-1>1, ? ? π 1 ∴sin?2x+6?> , ? ? 2 π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 2 π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 π ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z ? ? π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ?


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