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2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修1_1

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抛物线的简单几何性质 学习目标:.掌握抛物线的几何性质.(重点).掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相 关问题.(重点).能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点) [自 主 预 习·探 新 知] .抛物线的几何性质 标准方程 =(>) =-(>) =(>) =-(>) 图形 焦点 性 准线 =- 质 范围 ≥,∈ = ≤,∈ =- ≥,∈ = ≤,∈ 对称轴 性 顶点 质 离心率 轴 轴 () = .焦点弦 直线过抛物线=(>)的焦点,与抛物线交于(,)、(,)两点,由抛物线的定义知,=+, =+,故=++. .直线与抛物线的位置关系 直线=+与抛物线=(>)的交点个数决定于关于的方程组(\\(=+,=)) 解的个数, 即二次方程+(-)+=解的个数. 当≠时,若 Δ >,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若 Δ =时,直线与抛物线有一 个公共点;若 Δ <时,直线与抛物线没有公共点. 当=时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点. 思考:直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗? [提示] 可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物 线相交且只有一个公共点. [基础自测] .思考辨析 ()抛物线关于顶点对称.( ) ()抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( ) ()抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( ) [答案] ()× ()√ ()√ .过抛物线=的焦点作直线交抛物线于(,),(,)两点,若+=,则=( ) . . . . [=++=+=.] .已知过抛物线=的焦点的直线交该抛物线于,两点,=,则=. [(),由抛物线定义得点横坐标为. ∴⊥轴,∴==.] [合 作 探 究·攻 重 难] 【导学号:】 抛物线几何性质的应用 ()已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴且与圆+=相交的公共弦长等于 ,则抛物线的方程为. ()已知双曲线-=(>,>)的两条渐近线与抛物线=(>)的准线分别交于,两点,为坐标 原点.若双曲线的离心率为,△的面积为,求抛物线的标准方程. [解] ()根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为±,交点横坐标为±,则抛物线 过点(,)或(-,),设抛物线方程为=或=-(>) 则=,从而抛物线方程为=或=-. [答案]=或=- ()由已知得=,所以=,解得=, 即渐近线方程为=±. 而抛物线准线方程为=-, 于是,, 从而△的面积为··=,可得=.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为=. [规律方法] 抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂 直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为 . [跟踪训练] .边长为的等边三角形,为坐标原点,⊥轴,以为顶点且过,的抛物线方程是( ) .= .=- .=± .=± [设抛物线方程为=(≠).又(取点在轴上方),则有=±,解得=±,所以抛物线方 程为=±.故选.] 与中点弦、焦点弦有关的问题 ()过点()作抛物线=的弦,恰被点所平分,则所在直线的方程为. ()已知过抛物线=(>)的焦点,斜率为的直线交抛物线于(,),(,)(<)两点,且=. ①求该抛物线的方程; ②为坐标原点,为抛物线上一点,若=+λ ,求 λ 的值. [思路探究] ()法一:设(,),(,),用点差法求;法二:设直线的方程,建立方程求 解. ()①设出直线方程,直线方程与抛物线方程联立,根据焦点弦长公式求解. ②根据()求出点、的坐标,设出点的坐标,由=+λ ,可用 λ 表示点的坐标,最后根 据点在抛物线上求出 λ 值. [解] ()法一:设以为中点的弦的端点坐标为(,),(,),则有=,=, ∴(+)(-)=(-). 又+=,∴-=(-), 即=,∴=. ∴所求弦所在直线的方程为-=(-), 即--=. 法二:设弦所在直线的方程为=(-)+.联立(\\(=,= - +,)) 消去,得-- +=, 此方程的两根就是线段端点,两点的纵坐标, 由根与系数得+=. 又+=,∴=. ∴所求弦所在直线的方程为--=. ()①直线的方程是=·,与=联立,从而有-+=,所以:+=, 由抛物线定义得:=++=, 所以=,从而抛物线方程是=. ②由=-+=可简化为-+=,从而=,=,=-,=,从而(,-),(); 设=(,)=(,-)+λ ()=(λ +λ -), 又=,即[(λ -)]=(λ +),即(λ -)=λ +, 解得 λ =或 λ =. [规律方法] 直线与抛物线相交的弦长问题 直线和抛物线相交于(,),(,)两点,直线的斜率为. ()一般的弦长公式:=-. ()焦点弦长公式:当直线经过抛物线=(>)的焦点时,弦长=++. ()“中点弦”问题解题策略两法 [跟踪训练] .()已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,直线=与抛物线交于,两点.若() 为的中点,则抛物线的方程为. = [设抛物线的方程为=(>),(,),(,). 则(\\(\()= ①\()= ②)) ,②-①整理得= 又=,+=,所以=. 因此抛物线的方程为=.] ()直线过抛物线=的焦点,与抛物线交于,两点,若=,求直线的方程. 【导学号:】 [解] 因为抛物线=的焦点坐标为(), 若直线与轴垂直,则直线的方程为=, 此时=,不合题意, 所以可设所求直线的方程为=(-), 由(\\(= - ,=,)) 得-(+)+=, 则由根与系数的关系,得+=. 又过焦点,由抛物线的定义可知=++=+=, 所以=,解得=±. 所以所求直线的方程为+-=或--=. 直线与抛物线的位置关系 ()已知直线=-及抛物线=(>),则( )

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