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2012年沈阳市高三年级数学第一次质量监测理科试题

时间:2012-01-17


2012 年沈阳市高中三年级第一次质量监测 数学试题(理科)
命题:沈阳市 120 中学 魏明智 沈阳市 11 中学 王立华 沈阳市第 4 中学 孙泰 沈阳市回民中学 程绍臣 沈阳市东北中山 张鑫 沈阳市 36 中学 沈忠山 审题:沈阳市教育研究院 王恩宾 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: S球 = 4π R , V球 =
2

4 π R3 . 3

第Ⅰ卷 (共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知复数 z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + 4i ,则 A. ?

z1 为 z2

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 B. C. D. ? ? i + i ? i + i 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2. 若全集 U = R ,= B xx = 1, x ∈ R 且 A ∩ ? ? ,则满足条件的集合 A 的个数是 UB =

{

}

A.1 个

B.3 个

C.4 个

D.无限个

则 x 的取值范围是( ) 3. 若执行下面框图, 输出的 y 满足 y ≥ 2 ,

A. [ 2, +∞ ) C. ( ?∞, ?1] ? [ 2, +∞ )

B. ( ?∞, ?2] D. ( ?∞, ?2] ? [ 2, +∞ )

4.已知 m , n 是两个不重合的直线, α 、β是两个不重合的平 面,给出下列四个命题:①若 m ⊥ α , m ⊥β,则 α ∥β; ② m , n ? α , n ∥β, m ∥β,则 α ∥β; ③若 m ∥ n , m ⊥ α ,则 n ⊥ α ; ④若 m ⊥ α , m ? β ,则 α ⊥β . 其中,正确命题的个数为 A. 1 个 B. 2 个 ( C. 3 个 ) D. 4 个

1

5. 命题: ?x, y ∈ R ,如果 xy = 0, 则 x = 0 或 y = 0 的逆否命题是 A. ?x, y ∈ R ,若 x ≠ 0 或 y ≠ 0 ,则 xy ≠ 0

(

)

B. ?x, y ∈ R ,若 x ≠ 0 且 y ≠ 0 ,则 xy ≠ 0

C. ?x, y ∈ R ,若 x ≠ 0 或 y ≠ 0 ,则 xy ≠ 0 D. ?x, y ∈ R ,若 x ≠ 0 且 y ≠ 0 ,则 xy ≠ 0 6. 如图是函数 = f ( x ) A cos(ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0, ? < 解析式是 ( )

π
2

) 的图象中的一段,则该函数的
y

π? A. y 2 cos ? = ?x+ ? 3? ?

π? ? B. y 2 cos ? 2 x ? ? = 3? ?
?

2
π
3

π
6

5π 6

x

π? C. y 2 cos ? = ? 2x + ? 6? ?

π? ? D. y 2 cos ? 2 x ? ? = 6? ?

?2

7.在 ?ABC 中,若 a, b, c 分别是角A,B,C的对边,A= 60° ,b =1,三角形面积为

3 , 2
)



b?c+a = sin B ? sin C + sin A
A. 2 B.

(

2 21 3
2

C. 2 3
2

D. 2 7

8. 若过点 ( 2, 0 ) 的直线被圆 ( x ? 2 ) + ( y ? 3) = 9 截得的弦为 AB ,则长为正整数的弦

AB 的条数为
A.6 9.已知双曲线 B.10 C.11 D.12

(

)

x2 y2 点 , 且 ? 2 = 1 的两条渐近线与抛物线 y 2 = ?16 x 的准线分别交于 A, B 两 2 a b
( )

AB = 6 ,则此双曲线的离心率为
A.

5 4

B.

4 3

C.

5 3

D.

7 4

10. 2013 年第 12 届全国运动会将在沈阳举行, 某校 4 名大学生申请当 A, B, C 三个比赛项目 的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛 ( ) 项目,若甲要求不去服务 A 比赛项目,则不同的安排方案共有 A. 20 种 B. 24 种 C. 30 种 D. 36 种

2

11. 已知实数 x, y 满足 2 x + 2 + 4 y = 2 x + 2 y +1 ,则 2 x + 4 y 的最小值是 A.4 B.

( D.9

)

9 2

C. 6

12. 已知在实数 R 上的可导函数 f ( x ) , 满 足 f ( x + 1) 是奇函数, 且当 x ≥ 1 时, 则不等式 f ( x ) > x ? 1 的解集是 A. (? ∞,1) B. (1,+∞ ) C. (0,1)

1 > 1, f ' ( x)
( )

D. (? ∞,0 )

第Ⅱ卷 (共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 sin(α + = )

π

2

π 4 , α ∈ ( ? ,0), 则 tan 2α 等于 5 2
6

.

14. 若 a =

1 ? 1 ? 2011 a x? ? 展开式 中含 x 项的系数是 ∫?π2 ( x + cos x )dx ,则二项式 ? x? ?
2

π

.

15. 已知右图是一个空间几何体的三视图,正视图、俯视图和左视 图都是直角三角形,且该几何体的外接球的表面积为 8π ,则该几 何体的体积为 .
o

正(主)视图 2 2 俯视图 2

左视图

= ∠B 90 = , AB 2 ,点 M 是 16.已知等腰三角形 ?ABC 中, ???? ???? ? 则 AN ? AM 的 ?ABC 内部或边界上一动点,N 是边 BC 的中点,
. 最大值为 三、解答题:(共 6 小题,满分 70 分)

17. (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 各项均为正数, a1 = 1 ,前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为 等比数列, b1 = 2 ,且 b2 S2 = 16 , b3 S3 = 72 . (1)求数列 {an } 和数列 {bn } 的通项;(2)求数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn .

3

18.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD 底面是直角梯 形, PA ⊥ 平面ABCD , ∠ABC = 900 , BC ∥ AD ,且

P

PA = 2 ,= AD 2= BC 2,= AB
(1)求证:平面 PAE ⊥ 平面 PCD ; (2)求二面角 B ? PC ? E 的余弦值.

2 , DE = 2CE .
B

A E C

D

19. (本小题满分 12 分)某电视台综艺频道组织智力闯关游戏,游戏规定前两关至少过一关才 有资格闯第三关,选手闯第一关成功得 2 分,闯第二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分, 现有一位选手单独闯第一关、闯第二关、闯第三关成功的概率分别为

选手闯各关是相互独立事件,并且不主动放弃闯关机会,记该选手最后得分为 ξ . (1)求该选手有资格闯第三关的概率;(2)求 ξ 的分布列和数学期望.

2 1 1 、 、 ,已知该 3 2 3

20. (本小题满分 12 分)设 x, y ∈ R , i, j 为直角坐标平面内 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, 若向量 a = xi + ( y + 3) j , b = xi + ( y ? 3) j , 且 a + b = 4. (2)直线 l 与 y 轴交于点 P ( 0, m ) , 与曲 线 C 交于点 A, B , (1)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; 且 AP = 2 PB ,求实数 m 的取值范围.

??

?

?

? ?

?

?

?

?

??? ?

??? ?

4

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = a ln x ? x + (1)讨论 f ( x) 的单调性;

1 2 ?2 x ( a > 0 ), g ( x ) = x e . x

(2)当 0 < x < 1 时, f ( x ) > 0 恒成立,求实数 a 的范围; (3)当 0 < x < 1 时,求证: g ( x ) > g ?

?1? ?. ?x?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. A 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AD 是 ?ABC 的内角平分线,经过点 A 、 D 的圆 O 和 BC 切于 D ,且与 AB 、 AC 相交于 E 、 F ,连结 DF . (I)求证: EF // BC ;(II)求证: DF = AF ? BE .
2

O E B F C

D

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直线 l : ?

? x = a + 4t , π 且 (t为参数),圆C : ρ = 2 2 cos(θ + ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合, 4 ? y = ?1 ? 2t

单位长度相同). (I)当 a = 2 时,求圆心 C 到直线 l 的距离;(II)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

6 5 , 求a 的值. 5

5

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 x ,不等式 f ( x ) = 2 x ? a + 3 x ? a . (1)当 a = 1 时,解不等式 f ( x ) <

1 ; 2

(2)若不等式 f ( x ) ≥ a 2 (a > 0 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2012 年沈阳市高三年级第一次质量检测 数学试题答案(理科)
一.选择题:ACDCD DACAB BA 二.填空题:13. ? 三.解答题: 17.(1)∵ ?

24 7

14. 60

15.

2 3

16. 6

16 ? ?2q ( 2 + d ) = ,………2 分 2 72 ? ?2q ( 3 + 3d ) = ?q = 2 ,∴ a = 2n ? 1 , bn = 2n . n ?d = 2
………6 分

∴解方程组得 ?

(2)由题意得 Tn = a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + an bn 即 Tn = 1 × 2 + 3 × 2 + 5 × 2 + ... + (2n ? 1)2 ...... ①
2 3 n

6

2Tn = 1 × 22 + 3 × 23 + ... + (2n ? 3)2n + (2n ? 1)2n +1.....②
由①-②得 ?Tn = 1 × 2 + 2 2 2 + 23 + ? + 2 n ? ( 2n ? 1) 2 n +1 ,…… 9 分

(

)

6 ( 2n ? 3) 2 化简整理得 Tn =+

n +1

.

………12 分

18. 如图,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz . (1)证明:依题意有 B 由 DE = 2CE 得 E ?

(

2, 0, 0 , C

) (

2,1, 0 , D ( 0, 2, 0 ) , P 0, 0, 2 .

)

(

)

??? ? ??? ? ?2 2 4 ? ?2 2 4 ? ,则 CD = ? 2,1, 0 , AE = , , 0 ? ? 3 3 ? ? ? 3 , 3 ,0? ?. ? ? ? ?

(

)

??? ? ??? ? ? CD ? AE = 0,∴ CD ⊥ AE ,
又∵ PA ⊥ 平面ABCD ,∴ PA ⊥ CD ,且 PA ∩ AE = A,

.………3 分

∴ CD ⊥ 平面PAE , CD ? 平面PCD ,∴平面 PAE ⊥ 平面 PCD .………6 分
(2)依题意 = PB

??? ?

(

??? ? 2, 0, ? 2 , BC = ( 0,1, 0 ) .

)

?? ??? ? ?? ? ? 2 x1 ? 2 z1 = 0 0 ? n1 ? PB = ? 设 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 PBC 的法向量,则 ? ?? ??? ,即 ? , ? y = 0 n ? BC = 0 ? ? ? 1 ? 1 ?? ..………8 分 因此可取 n1 = (1, 0,1) . ?? ? ??? ? 设 n2 = ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PCD 的法向量, = PC ? 2 x2 + y2 ? 2 z2 = 0 ? ? ? ? 2 x2 + y2 = 0 ?? ?

( )

?? ? ??? ? ? 0 ? n2 ? PC = , 2,1, ? 2 ,则 ? ?? ? ??? ? 0 ? ?n2 ? CD =

)

即?

,因此可取 n2 = 1, 2, 2 ,

(

..………10 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 14 3 14 ,故二面角 B ? PC ? D 的余弦值是 ? ..………12 分 ∴ cos n = = ?? ?? ? 1 , n2 14 14 n1 n2
19. (1) 设该选手闯第一关、闯第二关、闯第三关成功的事件分别记为 A1 、 A2 、 A3 ,

1 2 1 , P ( A2 ) = , P ( A3 ) = ,设该选手有资格闯第三关为事件 A , 3 3 2 5 .………4 分 则 P ( A) = P A1 A2 + P A1 A2 + P ( A1 A2 ) = . 6
则 P ( A1 ) =

(

) (

)

(2) 由题意可知, ξ 的可能值为 0,2,3,5,6,7,9.

.………5 分

7

1 1 2 , P (ξ = 2= = 3= ) P A1 A2 A3 = ,P (ξ ) P A1 A2 A3 = , 9 6 9 1 2 P (ξ = 5= = 6= ) P A1 A2 A3 = , P (ξ ) P A1 A2 A3 = , 9 9 1 1 P (ξ = 7= = 9= ) P A1 A2 A3 = , P (ξ ) P ( A1 A2 A3 ) = . 18 9

P (ξ = 0= ) P A1 A2 =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ξ 的分布列为 ξ
P 0 2 3 5 6 7 9

1 6

2 9

1 9

2 9

1 9

1 18
………12 分 …………2 分

1 9

…………………………………10 分

E (ξ ) = 0 ×

1 2 1 2 1 1 1 71 +2 × +3 × +5 × +6 × +7 × +9 × = . 6 9 9 9 9 18 9 18

20. (1)由已知得: 由椭圆定义得 x +
2

x2 + y + 3 y2 = 1. 4

(

)

2

+ x2 + y ? 3

(

)

2

= 4,

…………4 分

(2)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,当直线 l 的斜率不存在时,由 AP = 2 PB 得 m = ± 当直线 l 的斜率存在时,设 l : = y kx + m ,由

??? ?

??? ?

2 . ……5 分 3

y kx + m ?= ,得 ( 4 + k 2 ) x 2 + 2kmx + m 2 ? 4 = 0, ? 2 2 4 ?4 x + y =

……6 分

∵直线与椭圆有两个不同的交点,∴ 4 + k 2 x 2 + 2kmx + m 2 ? 4 = 0 有两个不同的解, ∴ ? 4k 2 m 2 ? 4 ( 4 + k 2 )( m 2 ? 4 ) > 0 , (*) = ∴根据根与系数关系得 x1 + x2 = ?

(

)

2km m2 ? 4 , . x ? x = 1 2 4 + k2 4 + k2

…………………7 分

2 ??? ? ??? ? ? x2 ? x1 + x2 = m2 ? 4 ? 2km ? , , ? AP = 2 PB ,∴? x1 = 2 x2 , ? ∴? 2 = ? 2 ? 2 4 + k2 ?4+k ? ? x1 x2 = ?2 x2

∵k ≠ 0, = ∴k
2

16 ? 4m 2 9 3 3 > 0 ,∴ < m 2 < 4 ,即 ?2 < m < ? 或 < m < 2 . …10 分 2 9m ? 4 4 2 2

此时 P ( 0, m ) 在曲线 C 内,直线 l 与曲线 C 交于两点,故 (*) 成立,满足条件的 m 范围 :

2 3 3 ?2 < m < ? 或 < m < 2 或 m = ± . 2 2 3

…………12 分

8

21. (1) f ( x)的定义域为(0, +∞), f

'

(x ) = a ? 1 ?
x

x 2 ? ax + 1 1 . = ? x2 x2
2

……1 分

a2 ? a? x + ? 1 ? ? ? x 2 ? ax + 1 ? 2 ? 4 ' 当 0 < a ≤ 2 时,∵在函数定义域 ( 0, +∞ ) 内 f (x ) = ? ≤ 0, =? 2 2 x x
∴函数 y = f ( x) 在 (0,+∞ ) 上单调递减; 当 a > 2 时,令 f
'

(x ) = 0 解得 x1 = a ?
'

a + a2 ? 4 a2 ? 4 , , x2 = 2 2

又 0 < x1 < 1 < x2 ,令 f 令f

(x ) > 0 ,解得 x1 < x < x2 ; (x ) < 0 ,解得 0 < x < x1 ,或 x > x2 .

'

综上,当 0 < a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 单调递减; 当 a > 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间 ?

? a ? a2 ? 4 a + a2 ? 4 ? ?. , ? ? 2 2 ? ?

函数 f ( x ) 的单调递减区间 ? 0,

? ? ?

2 ? ? a ? a2 ? 4 ? ?, ? a + a ? 4 ,0 ? . ……4 分 ? ? ? 2 2 ? ? ?

(2)由(1)知,当 0 < a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减, 0 < x < 1 时, f ( x ) > f (1) = 0 ; 当 a > 2 时,∵

a ? a2 ? 4 < x < 1 , f ' ( x ) > 0 ,∴ f ( x ) 是增函数, 2

∴ f ( x ) < f (1) = 0 . 不符合题意. 综上,实数 a 的范围是 ( 0, 2] . (3)证明:由(2)知,当 a = 2 时,∵ x ? …………8 分

1 < 2 ln x ( 0 < x < 1 ), x

………10 分

∴e

2 x?

2 x

<e

4ln x

= x ,∴ x e
4 2

?2 x

1 ?2 ?1? > 2 e x ,即 g ( x ) > g ? ? . …………12 分 x ?x?

∴ ∠CAD = ∠CDF .

22.证明:(I)? 圆 O 和 BC 切于 D ,

A

? AD是?ABC 的角平分线,∴∠BAD = ∠CAD

O E
9

F C

B

D

又? ∠BAD = ∠EFD,

∴ ∠EFD = ∠CDF ,∴ EF // BC.

…5 分

(II)连结 DE ? 圆 O 和 BC 切于 D ,∴ ∠BAD = ∠BDE. 由(I)可得 ∠BDE = ∠FAD, 又? 四边形 AEDF 是圆 O 的内接四边形,

∴ ∠BED = ∠DFA,∴ ?BED ∽ ?DFA, ∴

DE BE = , AF DF
2

又? ∠BAD = ∠CAD ,∴ DE = DF ,∴ DF =AF ? BE . 23.(I)当 a = 2 时,把 ?

……10 分

? x = a + 4t 0, 化为普通方程为 x + 2 y = ? y = ?1 ? 2t

把 ρ = 2 2 cos(θ +

π
4

) 化为直角坐标系的方程为 x 2 + y 2 ? 2 x + 2 y = 0,
5 . 5
……5 分

∴ 圆心到直线的距离为

(II)由已知 (

3 2 | a ? 1| 2 ) +( ) = ( 2)2 ,∴ a 2 ? 2a = 0 ,∴ a = 0或a = 2 . 5 5

…10 分

24. (1)

3 1 <x< . 10 2
2

(2)法一:由题知,只需 ( 2 x ? a + 3 x ? a ) min ≥ a 恒成立

? a a? a = 2? x ? + x ? ? + x ? 2 x ? a + 3x ? a 2 3? 3 ? a? ? a? a a a a ? ≥ 2 ? x ? ??? x ? ? + x ? ≥ + x ? ≥ 2? ? 3? 3 3 3 3 ?
当且仅当 x =

a a a 即 ( 2 x ? a + 3 x ? a ) min = = 3 3 3
(10 分)



a 1 ≥ a 2 解得 0 < a ≤ . 3 3

10


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