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复数代数形式乘除运算导学案

时间:2015-03-14

3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案
【学习目标】 掌握复数代数形式的乘法和除法运算法则及其运算律, 并能应用它们熟练地进 行复数的四则运算. 【学习重点】 复数的乘法和除法法则以及有关运算律. 【学习难点】 复数中有关 i,(1 ? i)2 ,(1 ? i)2 的运算以及除法运算. 【学习过程】 一.复习: 1.复数 z1 与 z2 的和的定义: 2.复数 z1 与 z2 的差的定义: 3.复数的加法运算满足交换律: 4.复数的加法运算满足结合律: 二.问题探究: 引导 1:实数中,多项式相乘 (a ? b)(c ? d ) ? 探究一:类比多项式相乘,求下面两个复数相乘的结果.

?a ? bi??c ? di? ?
规定复数代数形式的乘法运算: 两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 并且 把 与 分别合并.两个复数的积仍然是一个 数. 换成 ,

引导 2:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律? (1) z1 ? z2 ? z2 ? z1 应用举例 (1) (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) (2)?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? (3) z1 ? ?z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? z1 ? z3

设复数 z ? a ? bi(a.b ? R) ,其共轭复数 z ? a ? bi ,则 z ? z ? = = 即:两个互为共轭复数的乘积是一个 数,等于这个复数(或其共轭复数) 的 . 思考:若 z 1 , z 2 是共轭复数,那么在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关 系?

引导 3:实数中,化简

2 2? 3

?

探究二: 类比初中时我们学习的无理分式的化简, 试写出下面两复数相除的结果, 其中 c ? di ? 0 a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? ? c ? di 规定复数代数形式的除法运算: 两个复数相除 (除数不为 0) , 通常先把 (a ? bi) ? (c ? di) 写成 再把分子和分母都乘以分 的 的商仍然是一个 数. 例 : (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) 例题精讲 例 1 .计算: (1) (4 ? 3i)(?5 ? 4i) (3) (1 ? i)
2

a ? bi 的形式, c ? di 复数,化简后就得到上面的结果.两个复数

(2) (3 ? 4i)(3 ? 4i) (4) i (2 ? i )(1 ? 2i)

变式 1.已知 1 ? i 是方程 x (1) 求 b, c 的值;

2

? bx ? c ? 0 的根( b, c 为实数).

(2) 试判断 1 ? i 是否是方程的根

例 2.说出下列复数的共轭复数 (1) z

? 2 ? 3i

(2) z

? ?6i

(3) z

? ?3

变式 2.已知 z ? C , z 为 z 的共轭复数,若 z ? z - 3i z ? 1 ? 3i

?

?

,求 z

例 3(1) (3 ? 2i) ? (2 ? 3i)

(2)

1? i 1? i

(3)

5( 4 ? i ) 2 i(2 ? i)

变式 3.已知复数 z1 ? (?1 ? i)(1 ? bi ), z 2 ? 轭复数,求 a , b 的值

a ? 2i ,其中 a, b ? R ,若 z 1 与 z 2 互为共 1? i

当堂检测 1.(新课标全国卷)设复数 z 满足 (1 ? i) z A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i

? 2i ,则 z ? (
D. 1 ? i



C. 1 ? i

2.(湖南高考)复数 z ? i ? (1 ? i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 3.设复数 z ? A.1
4 ? 3i 的实部为 ( 1 ? 2i



C.第三象限 ) D.-1

D. 第四象限

B.2

C.-2

4.若 x ? 2 ? yi 和 3x ? i 互为共轭复数,则实数 x 与 y 的值分别为 5.已知 a 为实数,
a?i 是纯虚数,则 a = 1? i




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