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选修4-4 坐标系与参数方程

时间:2018-06-30


一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换:
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

? x? ? ? x ? :? ? y? ? ? y
的作用下,点P(x,y)对应到点

(? ? 0) (? ? 0)

P?( x?, y?)

则称 换.

?

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变

二、极坐标系的建立:
在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向(通常取逆时针方向)。
O

X

这样就建立了一个极坐标系。

三、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M, 用 ? 表示线段OM的长度, 用 ? 表示从OX到OM 的 角度,? 叫做点M的极径, ?叫做点M的极角,有序 数对(?,?)就叫做M的 极坐标。 M ?

?
O X

特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到 极点O的距离;?表示从OX到OM的角度,即 以OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。

1、负极径的定义 说明:一般情况下,极径都是正值;在 某些必要情况下,极径也可以取负值。
对于点M(?,?)为负极径时的规定:
P

[1]作射线OP,使?XOP= ?
O

? X

[2]在OP的反向延长

线上取一点M,使?OM?= ? ? ?

M

2、正、负极径时,点的确定过程比较
画出点 (3,?/4) 和(-3,?/4)

M

P X P

[1]作射线OP,使?XOP= ?/4 [2]在OP的上取一点M,使 ?OM?= 3
[1]作射线OP,使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长线上取一点 M,使?OM?= 3

O

M

O

X

给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法:先按极角 找到极径所在的射线,后按极径的正负和数值 在这条射线或其反向延长线上描点。

3、负极径的实质 从比较来看,负极径比 正极径多了一个操作,将射 线OP“反向延长”。 而反向延长也可以看成 是旋转 ? ,因此,所谓“负 极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致, 用“负”表示“反向 ”。 M O

P M X P O X

负极径小结:极径变为负,极角增加 ? 。
特别强调:一般情况下(若不作特别说明时), 认为? ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。

四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况
[1]给定(?,?),就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。 [2]给定平面上一点M,但 却有无数个极坐标与之对 应。
P M O (ρ,θ)… X

原因在于:极角有无数个。

注意:①一般地,若(ρ,θ)是一点的极 坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[-ρ,θ+(2k+1)π] 都可以作为它的极坐标. ②如果限定ρ>0,0≤θ<2π或-π<θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.

五:极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y),极坐 标是 (ρ,θ)
1.极坐标转化为直角坐标公式: x=ρcosθ, y=ρsinθ

2.直角坐标转化为极坐标公式: y 2 ρ = x2 + y2,tanθ= (x≠0) x

注意:互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度单位相同.

六.特殊曲线的极坐标方程
曲线
圆心在极点 , 半径为 的圆 圆心为(r,0) ,半径为 r

图形

极坐标方程
? ? r (0 ? ? ? 2? )
? ? 2r cos ? (? ? ? ?? ? ) 2 2

的圆
圆心为 ( r , 为 r的圆

?
2

) ,半径

? ? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

过极点,倾斜角为

?的直线

(1)? ? ? ( ? ? R)huo ? ? ? ? ? ( ? ? R) (2)? ? ? ( ? ? 0)he ? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a , 0) ,与 极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

过点 2 ,与极轴 平行的直线

( a, )

?

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

一.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x,y 都是某个变数t 的函数

? x ? f (t ) ① ? ? y ? g (t )
并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M(x,y) 在这 曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系 变数x,y的变数 t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而 言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程.

二.参数方程和普通方程的互化
1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般 可以通过消去参数而从参方程得到普通方程. 2.如果知道变数x,y 中的一个与参数t的关系,例如 x=f(t),把它 代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t) ,那么

? x ? f (t ) ? ? y ? g (t )
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y 的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一. 应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果 用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同. 。

三.特殊曲线的参数方程
1.圆的参数方程 x2+y2=r2
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

x ? r cos? (θ为参数) y ? r sin ?
? x ? a ? r cos? (θ为参数) ? ? y ? b ? r sin ?

注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时,通过参数建立间接的联系。

2.椭圆的参数方程(a>b)

x y ? 2 ? 1, 2 a b x y ? 2 ? 1, 2 b a
2 2

2

2

? x ? a cos ? (φ为参数) ? ? y ? b sin ? ? x ? b cos ? (φ为参数) ? ? y ? a sin ?

中心在C ( x0 , y0 )的椭圆的 ? x ? x0 ? a cos ? (φ为参数) 参数方程是? ? y ? y0 ? b sin ?
其中φ称为离心角,规定参数φ的取值范围是

? ? [0, 2? )

3.抛物线的参数方程
y M(x,y)

抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
?x=2pt2 , (t为参数,t ? R) ? ? y ? 2pt.
o

?
H x

1 其中参数t= (? ? 0),当? =0时,t=0. tan? 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y

4.直线的参数方程(重点)
经过点M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? (? ? ) 的直线l的普通方 2 y ? y ? tan ? ( x ? x ), 程是 0 0 ? 而过 M 0 ( x0 , y0 ),倾斜角为 ? (? ? ) 的直线l的参数方程 2

?

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 为 ? ? y ? y0 ? t sin ?



4.参数t的几何意义
直线参数方程中参数的几何意义:t表示直线l上以 定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 M0 M 的数量 当点 M ( x, y) 在 M 0 上方时, t>0;当点 在 下方时, t<0; 当点 与 重合时, t=0。 我们也可以把参数 t理解为以 M 0 为原点,直线l 向上的方 向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长度与原直角 坐标系中的单位长度相同。

选修4-4: P36例1,P37例2

2.椭圆的参数方程 1 .参数方程

x ? a cos ?

y ? b sin ?

(φ为参数) 是

椭圆的参数方程.

2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2? )
? x ? a cos ? , ? x ? b cos ? , 焦点在X 轴 ? 焦点在Y 轴 ? ? y ? b sin ?. ? y ? a sin ?.

双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b
2 2

y a A B' o B b

?

?M
A' x

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

? 3? 通常规定? ? [o,2? )且? ? ,? ? 。 2 2

说明:

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 ? 2 ? 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.

⑴ 这里参数

? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.

sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到,所以双曲线的参数方程


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