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江苏省泰州市2008-2009学年度高二数学第一学期期末联考试题(文科)

时间:2011-06-05


江苏省泰州市 2008学年度高二数学 高二数学第一学期期末联考 江苏省泰州市 2008-2009 学年度高二数学第一学期期末联考 试题(文科) 试题(文科)
(考试时间:120 分钟
注意事项: 注意事项: 1. 所有试题的答案均填写在答题纸上。 2. 答案写在试卷上的无效。 参考公式: 参考公式:线性回归方程系数公式 b =

总分 160 分)

∑ x y ? nx ? y
i =1 i i

n

∑x
i =1

n

, a = y ? bx .

2

i

? nx

2

(本大题共 小题, 一、填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 填空题: ( 答题线上) 答题线上) 1.命题“ ?x ∈ R, x 2 + 1 ≥ 0 ”的否定是 ▲ .

2.圆锥曲线的离心率为 e ,则圆锥曲线表示抛物线的充要条件是

e=





3.如图是中央电视台举办的某次挑战主持人大赛上,七位评委为 某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, . 则所剩数据的平均数为 ▲

1 4.离心率为 ,长轴长为 4,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 2
5.根据如图所示的伪代码,输出结果为 ▲ . ▲ . 6.一个算法的流程图如图所示,则输出的结果 s 为



(第 3 题) .

I←1 While I<6 Y←2I+1 I←I+2 End While Print Y (第 5 题) (第 6 题)

7. 某班级共有学生 52 人, 现根据学生的学号, 用系统抽样的方法, 抽取一个容量为 4 的样本. 已

知 3 号,29 号,42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是





8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另 外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H : “这种血清不能起
0

到预防感冒的作用” ,利用 2 × 2 列联表计算得 χ 2 ≈ 3.918 ,经查对临界值表知 P( χ 2 ≥ 3.841) ≈ 0.05 .则下列四个结论中,正确结论的序号是
① 有 3.918% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” ; ② 有 5% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” ; ③ 有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” ; ④ 有 99% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” . 9.观测两个变量得如下数据:
x





0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

y

若从散点图分析, y 与 x 线性相关, 则回归直线方程为 ▲ . (第 10 题)

10.如图所示,一游泳者沿与河岸 AB 成 60° 角的方向向河里直线游了 10 米,然后任意选择 一个方向继续直线游下去,则他再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB 的概率是 ▲ . 11.曲线 y = e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线为 l,则切线 l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 ▲ .

12.已知 ?ABC 的顶点 A 、 C 分别是双曲线 在双曲线的左支上,若

x2 y 2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点,顶点 B a 2 b2
▲ .

sin A ? sin C 4 = ,则双曲线的离心率为 sin B 5

13 . 已 知 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0, 3] 上 图 象 如 图 所 示 , 记

k1 = f ′(1) , k2 = f ′(2) , k3 = f (2) ? f (1) ,则 k1 、 k2 、 k3 之
间的大小关系为 ▲ . (请用 > 连接) 14. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) = 2 , f (x ) 且 (第 13 题)

的导数 f ′( x ) 在 R 上恒有 f ′( x ) < 2 ,则不等式 f (2 x ) < 4 x 的解集为





(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 二、解答题: 本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题: ( 15.(本小题满分 14 分) 从某校参加 2008 年全国高中数学联赛预赛的 450 名同学中,随机抽 取若干名同学,将他们的成绩制成频率分布表,下面给出了此表中部分数据. (1)根据表中已知数据,你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ , ▲ , ▲ . (2)补全在区间 [70,140] 上的频率分布直方图; (3) 若成绩不低于 110 分的同学能参加决赛, 那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛? 分组
频率 组距

频数

频率 0.08 ③ 0.36

[70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140]
分数

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 70 80 90 100 110 120 130 140
16 0.32 0.08 2 ② 0.02 ①

合计

16.(本小题满分 14 分)已知命题 p :方程 双曲线

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q : 2m 9 ? m

y2 x2 6 ? = 1 的离心率 e ∈ ( , 2) ,若命题 p 、q 中有且只有一个为真命题,求实数 5 m 2

m 的取值范围.
17.(本小题满分 15 分) (1)已知 b ∈ {0,1, 2,3}, c ∈ {0,1, 2} ,求方程 x + 2bx + c = 0 有实根的概率;
2

(2)已知 b ∈ [0,3], c ∈ [0, 2] ,求方程 x + 2bx + c = 0 有实根的概率.
2 2

18.(本小题满分 15 分) 设点 P (m, n) 是以 y 轴为对称轴,原点为顶点,焦点为(0,1)的抛物 线 C 上的任意一点,过点 P 作抛物线的切线交抛物线的准线于点 A( s, t ) . (1)求抛物线 C 的标准方程;

(2)若 m ∈ [1,4],求 s 的取值范围. 19. (本小题满分 16 分)一束光线从点 F1 ( ?1, 0) 出发, 经直线 l: 2 x ? y + 3 = 0 上一点 P 反射后, 恰好穿过点 F2 (1, 0) . (1)求 P 点的坐标; (2)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程; (3)设点 Q 是椭圆 C 上除长轴两端点外的任意一点,试问在 x 轴上是否存在两定点 A 、 B , 使得直线 QA 、QB 的斜率之积为定值?若存在, 请求出定值, 并求出所有满足条件的定点 A 、

B 的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分 16 分)设函数 f ( x ) =

(1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 2 x ? ln x ( x > 0) ,其中 a 为非零常数. 2a

(2)若 a > 0 ,过点 P ( a , 0) 作函数 y = f ( x) 的导函数 y = f ′( x ) 的图象的切线,问这样 的切线可作几条?并加以证明. (3)当 x ∈ [1,2] 时,不等式 f ( x ) > 2 恒成立,求 a 的取值范围.

参考答案
一、填空题 填空题

x2 y 2 + = 1 ;5. 11; 6.210; 7.16; 8.③; 4 3 1 e2 ? 1? 5 ? 9. y = 0.95 x + 2.6 ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. k1 > k3 > k2 ; 14. ? x x > ? 4 6 2 2? ? 1 (结果为 x > 不扣分). 2
1. ?x ∈ R, x 2 + 1 < 0 ; 2.1 ;3.85 ; 4. 二、解答题 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)50;0.04;0.10. ………… 6 分 (2)如图. ……………… 10 分

(3)在随机抽取的 50 名同学中有 7 名 出线, 450 ×

7 = 63 . 50

………… 13 分

答:在参加的 450 名中大概有 63 名同学出线. ………………… 14 分 16. (本小题满分 14 分) 解: p 真,则有 9 ? m > 2m > 0 ,即 0 < m < 3 .

------------------4 分 ----------------9 分

b m ?3 ? 5 = 1 + ∈ ? , 2 ? ,即 < m < 5 . 2 a 5 ?2 ? 2 若 p 、 q 中有且只有一个为真命题,则 p 、 q 一真一假. 5 5 ①若 p 真、 q 假,则 0 < m < 3 ,且 m ≥ 5或m ≤ ,即 0 < m ≤ ; 2 2 5 ②若 p 假、 q 真,则 m ≥ 3或m ≤ 0 ,且 < m < 5 ,即 3≤ m < 5 . 2 5 故所求范围为: 0 < m ≤ 或 3≤ m < 5 . 2
q 真,则有 m > 0, 且e 2 = 1 +
2

----------------11 分 ----------------13 分 -----------------14 分

17. (本小题满分 15 分) 解: (1)设方程 x + 2bx + c = 0 有实根为事件 A . 数对 (b, c ) 共有 4 × 3 = 12 对.
2

------------------2 分 -----------------4 分

若方程有实根,则 ? = (2b) ? 4c ≥ 0 ,即 b ≥ c .
2 2

则使方程有实根的数对 (b, c ) 有 (0, 0), (1, 0), , 0), (2,1), (2, 2), (3, 0)(3,1), (3, 2) 共 9 (1,1) (2, 对. ------------------6 分 所以方程有实根的概率 P ( A) =
2

9 3 = . 12 4

------------------8 分

(2)设方程 x + 2bx + c = 0 有实根为事件 B .

D = {(b, c) 0 ≤ b ≤ 3, 0 ≤ c ≤ 2} ,所以 S D = 3 × 2 = 6 .
方程有实根对应区域为 d = (b, c ) b ≥ c
2

------------------10 分

{

2

},S

d

1 = 6 ? ? 2 2 = 4 . -------------------12 分 2
------------------15 分

所以方程有实根的概率 P ( B ) = 18. (本小题满分 15 分) 解:(1)

Sd 2 = . SD 3

p = 1 ∴ x 2 = 4 y ………………4 分 2

(2)过 P ( m, n) 的切线斜率 k = y ′ |x = m = ∴切线方程为 y ? n =

1 m. 2

1 m( x ? m) . 2

准线方程为 y = ?1 . …………………8 分 ∴ ?1?

1 2 1 1 m 2 m = ms ? m 2 .∴ s = ? . ………………………………12 分 4 2 2 2 m 3 3 s 在 [1, 4] 单调递增,∴ smin = ? , smax = . 2 2 3 3 ∴ s 的取值范围是- ≤ s ≤ . ………………………………15 分 2 2
19. (本小题满分 16 分)

解: 1) F1 关于 l 的对称点为 F ( m, n) , ( 设 则

n 1 m ?1 n 9 = ? 且 2? ? +3= 0, m = ? , 解得 m +1 2 2 2 5

n=

? x + 7 y ?1 = 0 2 9 2 ,即 F ( ? , ) ,故直线 F2 F 的方程为 x + 7 y ? 1 = 0 .由 ? ,解得 5 5 5 ?2 x ? y + 3 = 0
------------------------5 分

4 1 P(? , ) . 3 3

(2)因为 PF1 = PF ,根据椭圆定义,得 2a = PF1 + PF2 = PF + PF2 = FF2

9 2 = (? ? 1) 2 + ( ? 0) 2 = 2 2 ,所以 a = 2 .又 c = 1 ,所以 b = 1 .所以椭圆 C 的方程为 5 5
x2 + y2 = 1. 2
------------------------10 分

(3)假设存在两定点为 A( s, 0), B (t , 0) ,使得对于椭圆上任意一点 Q ( x, y ) (除长轴两端点) 都有 kQA ? kQB

y y x2 2 = k ( k 为定值) ,即 · = k ,将 y = 1 ? 代入并整理得 x?s x?t 2

1 (k + ) x 2 ? k ( s + t ) x + kst ? 1 = 0 …(*) . 2

1 ? ?k + 2 = 0 ? 由题意, (*)式对任意 x ∈ (? 2 , 2 ) 恒成立,所以 ?k ( s + t ) = 0 , ?kst ? 1 = 0 ? ?
1 ? 1 ? ?k = ?2 ? k = ?2 ? ? ? ? 解之得 ? s = 2 或 ? s = ? 2 . ? ? ?t = ? 2 ? t = 2 ? ? ? ?
所以有且只有两定点 ( 2, 0), ( ? 2, 0) ,使得 kQA ? kQB 为定值 ? (注:若猜出 A 、 B 点为长轴两端点并求出定值,给 3 分) 20. (本小题满分 16 分)

1 . 2

---------------16 分

1 x2 ? 1 = . ------------------------2 分 x x 因为 x > 0 ,令 f ′( x ) > 0 得 x > 1 ;令 f ′( x ) < 0 得 0 < x < 1 .所以函数的增区间为 (1, +∞) , 减区间为 (0,1) . ------------------------5 分 1 1 1 1 (2)因为 f ′( x ) = x ? ,设 g ( x ) = f ′( x ) ( x > 0) ,则 g ′( x ) = + 2 .----------6 分 a x a x 1 1 设 切 点 为 Q ( x0 , y0 ) , 则 切 线 的 斜 率 为 k = g ′( x0 ) = + 2 , 切 线 方 程 为 a x0 1 1 1 1 1 1 y ? y0 = ( + 2 )( x ? x0 ) 即 y ? ( x0 ? ) = ( + 2 )( x ? x0 ) ,由点 P ( a , 0) 在切线上 a x0 a x0 a x0 1 1 1 1 2 知 ?( x0 ? ) = ( + 2 )( a ? x0 ) ,化简得 x0 ? 2 ax0 + a = 0 ,即 x0 = a . a x0 a x0 2 所以仅可作一条切线,方程是 y = ( x ? a ) . ------------------------9 分 a 1 1 x2 ? a (3) f ′( x ) = x ? = ,x >0. a x ax f ( x) > 2 在 [1, 2] 上恒成立 ? f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值 f ( x) min > 2 .--------------11 分 ①当 a < 0 时, f ′( x ) < 0,f ( x) 在 (0, ∞) 上单调递减, f ( x ) 在 [1,2] 上最小值为 + 2 f (2) = ? ln 2 < 0 ,不符合题意,故舍去; ------------------------12 分 a
解: (1) f ′( x ) = x ?

②当 a > 0 时,令 f ′( x ) = 0 得 x = 当0 <

a.
1 > 2 ;解 2a

a ≤ 1 时,即 0 < a ≤ 1 时,函数在 [1,2] 上递增, f ( x) 的最小值为 f (1) =
1 . 4

得0 < a <

------------------------13 分

当 a ≥ 2 时,即 a ≥ 4 时,函数在 [1,2] 上递减, f ( x ) 的最小值为 f (2) = -----------------------14 分 当1 <

2 ? ln 2 > 2 ,无解; a

a < 2 时,即 1 < a < 4 时,函数在 [1, a ] 上递减、在 [ a , 2] 上递增,所以 f ( x) 的最小 1 1 值为 f ( a ) = ? ln a > 2 ,无解. ------------------------15 分 2 2 ? 1? ------------------------16 分 综上,所求 a 的取值范围为 ? 0, ? . ? 4?


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