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2013高考数学易错题解题方法大全(1)

时间:2013-05-10


高考数学易错题解题方法大全(1)
一.选择题 2 【范例 1】已知集合 A={x|x=2n—l,n∈Z},B={x|x 一 4x<0},则 A∩B=( A. {1} B. {x 1 ? x ? 4} C. ?1,3? D.{1,2,3,4}



答案:C 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对集合元素的误解。 【解题指导】集合 A 表示奇数集,集合 B={1,2,3,4}. 【练习 1】 已知集合 A ? ( x, y) y ? sin x , 集合 B ? ( x, y) y ? tan x , A ? B ?( 则 A.

?

?

?

?



?(0,0)?

B.

?(? ,0), (0,0)?

C. ?(k? ,0)? )

D. ?

【范例2】若A、B均是非空集合,则A∩B≠φ 是A ? B的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案:B 【错解分析】考生常常会选择 A,错误原因是混淆了充分性,与必要性。 【解题指导】考查目的:充要条件的判定。 【练习 2】已知条件 p : | x ? 1 |? 2 ,条件 q : x ? a ,且 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则

a 的取值范围可以是(
A. a ? 1 ;

) B. a ? 1 ; C. a ? ?1 ; D. a ? ?3 ;

【范例 3】定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设

a ? f (3) , b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是(
A. a ? b ? c 答案:D B. a ? c ? b C. b ? c ? a

) D. c ? b ? a

【错解分析】此题常见错误 A、B,错误原因对 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 这样的条件认识不充分, 忽略了函数的周期性。 【解题指导】 由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 可得, f (x) 是周期为 2 的函数。利用周期性 a, b, c 转 化为[-1,0]的函数值,再利用单调性比较. 【 练 习 3 】 设 函 数 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 以 5 为 周 期 的 奇 函 数 , 若 f (2) ? 1 ,

f (2008 ) ?

a?3 ,则 a 的取值范围是( a?3
B.(0, 3)



A.(-∞, 0)

C.(0, +∞)

D.(-∞, 0)∪(3, +∞)

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【范例 4】 log 2 sin

?
12

? log 2 cos

?
12

的值为(



A.-4 B.4 C.2 D.-2 答案:D 【错解分析】此题常见错误 A、C,错误原因是对两倍角公式或对对数运算性质不熟悉。 【解题指导】结合对数的运算性质及两倍角公式解决. 【练习 4】式子 log2 ? log3 值是(
3 4

) D.-2 )

A.-4

B.4

C.2

【范例 5】设 x0 是方程 8 ? x ? lg x 的解,且 x0 ? (k , k ? 1)(k ? Z) ,则 k ? (

A.4 B.5 C.7 D.8 答案:C 【错解分析】本题常见错误为 D,错误原因没有考虑到函数 y=8-x 与 y=lgx 图像的结合。 【解题指导】考查零点的概念及学生的估算能力. 【练习 5】 方程 x lg( x ? 2) ? 1 的实数根有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 【范例 6】已知∠AOB=lrad,点 Al,A2,?在 OA 上, B1,B2,?在 OB 上,其中的每一个实线段和 虚线段氏均为 1 个单位,一个动点 M 从 O 点 出发,沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速 运动,速度为 l 单位/秒,则质点 M 到达 A10 点处所需要的时间为( ) 秒。

A.62 B.63 C.65 D.66 答案:C 【错解分析】本题常见错误 B、D,这样的错误常常由于是信息图片信息把握力不强。 【解题指导】本题综合考察等差数列求和,及扇形的弧长公式。要细读题,理解动点的运动 规律。 【练习 6】如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则表上数 字标签: y 原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处 ? ? ? 标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处标 4, ? ? 点(-1,0)标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1) 6 7 8 9

? ? ? ?

?

?

? ?

?

处标 7,以此类推,则标签 2009 的格点的坐标 为( ) A.(1005,1004) C.(2009,2008)

2

?5 ?
4

?0 ?3 ?

1

?10 ? 11 ?
y
12

x

B.(1004.1003) D.(2008,2007)

?2 ?
13

?

【范例 7】如图,点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P 开 0 P2
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P1 P0 O

x

始沿单位圆按逆时针方向运动角 ? ( 0 ? ? ? 然后继续沿单位圆逆时针方向运动 坐标为 ? 答案:

?
2

)到达点 P , 1

? 到达点 P ,若点 P 的横 2 2 3
.

4 ,则 cos ? 的值等于 5

3 3?4 10

3 3?4 的相反数, 这样的错误常常是忽略角度所在的象限。 10 【解题指导】本题主要考察三角函数的定义,及对两角和与差公式的理解。

【错解分析】 本题常见错误写成

【练习 7】已知 sin x ? sin ? ? cos? , cos x ? sin ? cos? , 则cos 2 x ?

.

? ? ? a 【范例 8】已知向量 p ? ? ? |a |
是 答案: [0, 2] .

? ? ? ? ? b ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围 |b |

【错解分析】本题常见错误五花八门,错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。

? ? ? ? a b 【解题指导】 ? , ? 分别表示与 a 、 b 同向的单位向量, a b

? ? ? ? ? ? a b a b a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a b b b

??? ? ??? ? 【 练 习 8 】 △ABC 中 , C ? π , AC ? 1, BC ? 2 , 则 f (? ) ? 2? CA ? (1? ? ) 的 最 小 值 CB 2
是 . . 【范例 9】 若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? a对x ? R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 答案: (??,3] 【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的,错误原因有解法单一,比如只会 运用去绝对值的方法,这样会导致计算量较多,易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的 几何意义。 【解题指导】由绝对值的几何意义知 | x ? 2 | ? | x ? 1 | 的最小值为 3. 【练习 9】不等式|x+1|(2x-1)≥0 的解集为 .

【范例 10】圆 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 被直线 x ? y ? 0 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比 为 . 答案:1∶3 【错解分析】 圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心, 判断不了圆的位置, 在花函数图像是产生了偏差。 【解题指导】对
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→ 【练习 10】已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量OA、 → → → → → OB满足|OA+OB|=|OA?OB|,则实数 a 的值是 . 【范例 11】一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为 __________. 答案:8π 【错解分析】球体是近年高考通常所设计的集合体,通常也是考生容易 出错的一个地方,通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏 导致,或者计算的时候计算不出球的半径等。 【解题指导】过球心与小圆圆心做球的截面,转化为平面几何来解决. 【练习 11】如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方 体和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是 . 【范例 12】已知过点 P(1,2) 的直线 l 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于 A 、 B 两点,则 . 答案:4【错解分析】本题考查均值不等式和数形结合,也是考生容易错误的地方,例如不 会利用均值不等式,或者没有看出均值不等式中隐含的“面积” 。 【解题指导】设直线方程为

?AOB 的面积最小为

1 2 2 x y 1 2 ? ? 1 ,代点得: ? ? 1 .由于 ? ? 2 ,所以 a b a b a b ab

2 1 1 ? , 即ab ? 8 ,所以 S ?AOB ? ab ? 4 ab 4 2
【练习 12】函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

m x ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2 有一个公共点 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. ,F

【范例 13】已知点 P(4,4) ,圆 C:( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

(1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;

??? ???? ? (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的
取值范围. 【错解分析】本题易错点(1)在于计算椭圆的方 程的量本身就大,方法和计算技巧的运用很重要。 解: (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1.圆 C: ( x ? 1) ? y ? 5 .
2 2

y P

A

F1

O

C Q

F2

x

设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 , 即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
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| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1

? 5 .解得

k?

11 1 , 或k ? . 2 2

当 k= 当 k=

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11
1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F . 2
2 2

2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a =18,b =2.
x2 y 2 ? ? 1. 18 2 ??? ? ??? ? (2) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,y ? ,Q x 3 ) 1

椭圆 E 的方程为:

??? ???? ? , AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .



x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 18 2

而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. ∴ ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36], 即 x ? 3 y 的取值范围是[-6,6]. ??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0]. 【练习 13】已知圆 M : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 36, 定点N ( 5,0),点P为圆M 上的动点, Q 在 点 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2NQ, GQ ? NP ? 0 . (1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2) (2, 作直线 l , 过点 0) 与曲线 C 交于 A、 两点, 是坐标原点, OS ? OA ? OB, B O 设 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由. 【范例 14】如图,在矩形 ABCD 中,已知 A(2,0) 、C(- 2,2) ,点 P 在 BC 边上移动,线段 OP 的垂直平分线交 y 轴 于点 E,点 M 满足 EM ? EO ? EP. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)已知点 F(0,

1 ) ,过点 F 的直线 l 交点 M 的轨迹于 2

Q、R 两点,且 QF ? ? FR, 求实数 ? 的取值范围. 【错解分析】向量的综合题型考察的范围可以很广,这样的题型容易产生画图不准确,题意 模糊的错误,导致考生无法作答,因此要理解题意,把握条件,学会精确画图。 解:(1)依题意,设 P(t,2) (-2≤t≤2) ,M(x,y). 当 t=0 时,点 M 与点 E 重合,则 M=(0,1) , 当 t≠0 时,线段 OP 的垂直平分线方程为: y ? 1 ? ?

t t ( x ? ). 2 2

第 5 页 共 10 页

t2 ? 4 t2 ? 4 ,即E (0, ) 4 4 t2 ? 4 t2 ? 4 t2 ? 4 由EM ? EO ? EP得( x, y ? ) ? (0,? ) ? (t ,2 ? ) 4 4 4 ?x ? t ? 2 ?? t 2 ? 4 .消去t , 得x ? ?4( y ? 1) ?y ? 2 ? 4 ? 令x ? 0, 得y ?
显然,点(0,1)适合上式 .故点 M 的轨迹方程为 x =-4(y-1)( -2≤x≤2) (2)设 l : y ? kx ?
2

1 1 1 (? ? k ? ), 代入 x 2 ? ?4( y ? 1), 得 x2+4k-2=0. 2 4 4

?? ? 16k 2 ? 8 ? 0 设 Q(x1,y1) 、R(x2,y2) ,则 ? x1 ? x 2 ? ?4k ? ? x x ? ?2 ? 1 2

?(1 ? ? ) x 2 ? ?4k (1 ? ? ) 2 ? 8k 2 . .消去 x2,得 QF ? ? FR, 得x1 ? ??x2 ,? ? 2 ? ?? ?x 2 ? ?2
?0 ? k 2 ? 1 (1 ? ? ) 2 1 1 ,? 0 ? ? ,即2?2 ? 5? ? 2 ? 0(? ? 0). 解得 ? ? ? 2 2 16 ? 2
1 2 1 2

【练习 14】已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨 迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M,N. 当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值. 【 范 例 15】 如 图 : 在 三棱 锥 P ? ABC 中 , PB ? 面 ABC , ?ABC 是 直 角 三 角 形 ,

E F ?ABC ? 90? ,AB ? BC ? 2 ,?PAB ? 45? , D、 、 分别为 AC、AB、BC 的中点。 点
⑴求证: EF ? PD ; ⑵求直线 PF 与平面 PBD 所成的角的大小; ⑶求二面角 E ? PF ? B 的正切值。 【错解分析】立体几何是高考的必考内容,容易错误的地方通 常是求二面角的大小,因此要归纳总结通常寻找二面角的平面 角的方法。

P

M B

? 解:⑴连结 BD 。在 ?ABC 中, ?ABC ? 90

F E A O D C

? AB ? BC ,点 D 为 AC 的中点,? BD ? AC 又? PB ? 面 ABC ,即 BD 为 PD 在平面 ABC 内的射影 ? PD ? AC
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? E、F 分别为 AB、BC 的中点? EF // AC ? EF ? PD ⑵? PB ? 面 ABC ,? PB ? EF 连结 BD 交 EF 于点 O ,? EF ? PB, EF ? PD , ? EF ? 平面 PBD ? ?FPO 为直线 PF 与平面 PBD 所成的角,且 EF ? PO ? PB ? 面 ABC ,? PB ? AB, PB ? BC ,又??PAB ? 45? ? PB ? AB ? 2 ,?OF ?
1 2 ,? PF ? PB2 ? BF 2 ? 5 AC ? 4 2 OF 10 10 ,? ?FPO ? arcsin ? PF 10 10

?在 Rt ?FPO 中, sin ?FPO ?

⑶过点 B 作 BM ? PF 于点 F ,连结 EM ,? AB ? PB, AB ? BC ,

? AB ? 面 PBC ,即 BM 为 EM 在平面 PBC 内的射影 ? EM ? PF ,? ?EMB 为二面角 E ? PF ? B 的平面角 ? Rt ?PBF 中, BM ?
PB ? BF 2 EB 5 ,? tan ?EMB ? ? ? PF BM 2 5

【练习 15】如图所示,正三棱柱 ABC? A1 B1C1 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的 中点。 (1)求证: B1C // 平面 A1 BD ; (2)求二面角 A1 ? BD ? A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1 BD 所成的角的正弦值。
D A B C A1 C1

B1

练习题参考答案: 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7. -1 8.

2

9. ? x x ? ?1或x ?

? ?

1? ? 2?

10. 2 或?2

11.

2 6

12. 413.

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解: (1)

NP ? 2 NQ ? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN ? 0? ? ?GQ 为 PN 的中垂线 ?|PG|=|GN|
x2 y2 ? ? 1。 9 4

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 , 半焦距 c ?

5 ,∴短半轴长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是

(2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0
?x ? 2 ?x ? 2 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 2 2 得? ?x y 2 5 ? 1 ?y ? ? ? ? 4 ?9 3 ?

? OA ? OB ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 矛盾,故 l 的斜率存在. 9

设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9
? x1 ? x2 ? 36k 2 36(k 2 ? 1) , x1 x2 ? 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4


y1 y2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x2 ? 2)] ? k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ?
把①、②代入 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ?

20k 2 9k 2 ? 4



3 2

∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 的对角线相等.

14. 解: (1)抛物线方程为:y2=2x. ( 2 ) ① 当 直 线 不 垂 直 于 x 轴 时 , 设 方 程 为 y=k(xk2x2-(k2+2)x+
k2 ? 0. 4
1 ) , 代 入 y2=2x , 得 : 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2=

k2 ?2 2 ,y1+y2=k(x1+x2-1)= . k k2

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? 0 ? x1 ? x 2 k 2 ? 2 ? ?x ? ? 3 3k 2 2 2 ? 设△AOB 的重心为 G(x,y)则 ? 0 ? y1 ? y 2 2 ,消去 k 得 y2= x ? 为所求, y? ? 3 9 ? 3 3k ?

②当直线垂直于 x 轴时,A( ,1) ,B( ,-1) △AOB 的重心 G( ,0)也满足上 , 述方程. 综合①②得,所求的轨迹方程为 y2= x ? , (3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 2 , 根据圆的性质有:|MN|=2
| MP || MQ | | PQ | 2 ?r 2 2 ? 2r ? 2 2 ? 1? . | PQ | | PQ | 2 | PQ | 2
2 3 2 9

1 2

1 2

1 3

当|PQ|2 最小时,|MN|取最小值, 2 设 P 点坐标为(x0,y0),则 y 02 =2x0.|PQ|2=(x0-3)2+ y 02 = x 0 -4x0+9=(x0-2)2+5, ∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ|2 取最小值 5, 故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值
2 30 . 5

15. 解法一: (1)设 AB1 与 A1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C .
又? PD ? 平面 A1 B D,? B1C //平面 A1 B D (2)? 正三棱住 ABC? A1B1C1 ,? AA1 ? 底面 ABC。 又? BD ? AC? A1 D ? BD
A1

C1

B1

M

P C D

? ?A1DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。
? AA1 = 3 ,AD= ? ?A1DA =

A

B

AA 1 AC=1? tan ?A1DA = 1 ? 3 2 AD

? ? , 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是 3 3

(3)由(2)作 AM ? A1 D ,M 为垂足。

? BD ? AC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,平面 A1ACC1 ? 平面 ABC=AC ? BD ? 平面 A1ACC1 ,? AM ? 平面 A1ACC1 ,? BD ? AM ? A1 D ? BD = D? AM ? 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A1B 与平面 A1B D
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所成的角。

? AA1 = 3 ,AD=1,? 在 Rt ? AA1 D 中, ?A1DA =

? , 3

3 AM 21 3 1 7 ? 2 ? . , AP ? AB1 ? ,? sin?AP M ? ? AM ? 1 ? sin60? ? AP 7 2 2 2 7 2

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为

21 7

解法二: (1)同解法一(2)如图建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) A1 (1,0, 3 ) , ,B(0, 3 ,0) B1 (0, 3 , 3 ) ,
z

, ? A1B =(-1, 3 ,- 3 ) A1D =(-1,0,- 3 ) 设平面 A1 BD 的法向量为 n=(x,y,z) 则 n ? A1B ? ?x ? 3y ? 3z ? 0 n ? A1D ? ?x ? 3z ? 0
A1

C1

B1

C D A x B y

?x ? ? 3z 则有 ? ,得 n=( ? 3 ,0,1) ? y?0

由题意,知 AA1 =(0,0, 3 )是平面 ABD 的一个法向量。 设 n 与 AA1 所成角为 ? ,则 cos? ?

n ? AA1 n ? AA1

?

? 1 ,? ? ? 3 2

? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是

? 3
AB1 ? n AB1 n ? 21 7

(3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 3 ,0,1)则 cos? ?

? 直线 AB1 与平面 A1B D 所成的角的正弦值为

21 . 7

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