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解三角形三角函数和数列讲义

时间:2015-08-03


知识复习要点(一)
数学知识点:解三角形、三角函数以及数列
考纲导读 (一)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题(求边或角、判断三角形的形状、求三角形的面积) (二)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【本章知识总结】
一、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

内容

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C.
b2 ? c2 ? a 2 ; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ; 2ca a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab cos A ?

变形 形式

②sinA=

a b c ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R

③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

a?b?c a ? sin A ? sin B ? sin C sin A

解决 的问 题

① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ① 已知三边,求各角; ② 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 ② 已知两边和它们的夹角, 求 两角。 第三边和其他两个角。

注:1、在Δ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 (∵sinA>sinB ?

a b ? ? a>b ? A>B) 2R 2R

2、根据内角和 180,可知不可能存在两个钝角,根据大边对大角可用来初步判断某个角是锐角还是钝角! (1)正弦定理、余弦定理的简单应用 1、已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、一解、无解三种情况,应根据已知条件判断解的情况,主要 是根据图形或由“大边对大角”作出判断;例如: 2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更 方便、简捷; 3、三角形中常见的结论 (1)A+B+C=π ; (2)在三角形中大边对大角,反之亦然; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形内的诱导公式

sin( A ? B) ? sin C;cos( A ? B) ? ? cos C; tan( A ? B) ? ? tan C;sin
(5)在Δ ABC 中,tanA+tanB+tanC= tanA·tanB·tanC. (2)Δ ABC 的面积公式 (1) S ?

A? B C A? B C ? cos ;cos ? sin . 2 2 2 2

1 a ha (ha 表示a边上的高) ; 2
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1 1 1 abc ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ( R为外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (3) S ? r (a ? b ? c )(r为内切圆半径) 。 2
(2) S ? 二、应用举例 1、实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图①)

(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α (如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于 正北方向而言的。 (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)

①北偏东 ? 即由指北方向顺时针旋转 ? 到达目标方向; ②北偏北 ? 即由指北方向逆时针旋转 ? 到达目标方向; ③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ 为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④, i 为坡比) 典型例题 1、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( )

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为( ) 13 5 16 56 16 56 16 A B C 或 D ? 65 65 65 65 65 a?b?c 0 3、在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S ABC ? 3, 则 = sin A ? sin B ? sin C
2、在△ABC 中,已知 cos A ? 4、 小结归纳
第 2 页 共 9 页



1.已知两边和其中一边的对角求其他的边和角,这种题型可能无解、一解、两解等,要特别注意. 2.三角形中含边角的恒等变形问题,通常是运用正弦定理或余弦定理,要么将其变为含边的代数式做下去,要么将 其变为含角的三角式做下去,请合理选择. 1、某人朝正东方走 x km 后,向左转 1500,然后朝新方向走 3km,结果它离出发点恰好 3 km,那么 x 等于 ( ) (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 或 2 3 (D)3

2、如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角 形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大? 解:设 ?AOB ? ? ,在△AOB 中,由余弦定理得:
2 2 2 AB ? OA ? OB ? 2 ? OA ? c OoB s ?

AOB

? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos ? ? 5 ? 4cos ?
于是,四边形 OACB 的面积为 S=S△AOB+ S△ABC ?

1 3 OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

1 3 ? ? 2 ?1? sin ? ? (5 ? 4cos ? ) 2 4 ?sin ? ? 5 3 3 co ?s ? ? 4 2s ?i n? ( 3
,? ?

?

5 3 ? ) 4

因为 0 ? ? ? ? ,所以当 ? ?

?
3

?

?
2

5? 5? ,即 ?AOB ? 时, 6 6
0

3、 如图所示, 某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60 的 C 处, 12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60 的 B 处,12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方 且距海岛 5 km 的 E 港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速多少?
0

数学知识点:解三角形、三角函数以及数列
考纲导读

诱导公式

第 3 页 共 9 页

三角函数的图像和性质:

绘图方法:

第 4 页 共 9 页

例题分析

数学知识点:解三角形、三角函数以及数列
考纲导读 主要考察等差数列和等比数列的性质和基本应用

【本章知识总结】
【等差数列】 1.等差数列定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 2、如何判断一个数列是不是等差数列。

3、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ;可整理成 an=nd+(a1-d) ,当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数关 系式,它的图象是一条直线上,那么 n 为正整数的点的集合。也可写成 an ? am ? ?n ? m?d 4、等差数列的单调性:由 an ? an?1 ? d 得 d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 5、等差中项的概念: 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ?

a?b 2

a , A , b 成等差数列

? A?

a?b 。 2
方法:倒序相加法

6、等差数列的前 n 和的求和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 2

(a ? an ) (a ? an?1 ) n(n ? 1) d? 1 n? 2 n...... 2 2 2 例 题 若 一 等 差 数 列 前 四 项 的 和 为 124 , 后 四 项 的 和 为 156 , 又 各 项 的 和 为 350 , 则 此 数 列 共 有 ( )(A)10 项 (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项 7、等差数列的性质: 【每种性质就是一种题型】 Sn ? na1 ?
(1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
第 5 页 共 9 页

(2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 如: a1 , a3 , a5 , a7 ,……;

a3 , a8 , a13 , a18 ,……;
an ? a m (m ? n) ; n?m

(3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N ? , an ? am ? (n ? m)d , d ?

( 4 )在等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ( m, n, p, q ? N * ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地,当 m ? n 时,

2am ? a p ? aq
(5) ?an ? 为有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和, 即 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? ai ?1 ? an?i ? ? 。 S 2n?1 ? (2n ? 1) ? an?1 (6)下标成等差数列且公差为 m 的项 ak , ak ?m , ak ?2m ,? k , m ? N * 组成公差为 md 的等差数列。 (7)若数列 ?an ?和 ?bn ? 均为等差数列,则 ?an ? bn ? , ?kan ? b?( k , b 为非零常数)也为等差数列。 (8) m 个等差数列,它们的各对应项之和构成一个新的等差数列,且公差为原来 m 个等差数列的公差之和。 (9)若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列。如下图所
*

?

?

示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

(10)设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2 n 项,则① S偶 - S奇 ? nd ②

S奇 a ? n ; S偶 an?1


(Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则① S奇 - S偶 ? an ? a中 ;

S奇 n 。 ? S偶 n ? 1

(11)(1) a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最小值; (2) Sn 最值的求法:①若已知 Sn ,可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ; ② 若已知 an ,则 Sn 最值时 n 的值( n ? N ? )可如下确定 ?

? an ? 0 ? an ? 0 或? 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

(12) {an },{bn } 的前 n 项和分别为 {S n }, {Tn } ,则有 (13)充分利用通项和前 n 项和公式。

an S 2 n?1 ? bn T2 n?1

第 6 页 共 9 页

例题分析 1、等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则 a3+a98 等于 ( 2、在等差数列{an}中,公差为 d,已知 S10=4S5,则 ) (A)36 (B)38 (C)39 (D)42

a1 是 () d

3、等差数列{an} 中,S15=90,则 a8=() 4、设{an}是公差为-2 的等差数列,如果 a1+ a4+ a7+……+ a97=50,则 a3+ a6+ a9……+ a99=() 5、已知{an}是等差数列,且 a2+ a3+ a8+ a11=48,则 a5+ a7=() 【等比数列】 1、等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这 个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) ,即: an ?1 : an ? q(q ? 0) 2、如何判断一个数列是不是等差数列。 (1)定义法:若

an?1 ? q(n ? N ? ) ? 数列?an ?为等比数列 an

2 ? (2)等比中项法:若 an ?1 ? an ? an ? 2 ? 0,(n ? N ) ? 数列?an ?为等比数列

(3)通项法:若 an ? cqn (c, q均是不为 0的常数,n ? N ? ) ? 数列?an ? 为等比数列 (4)前 n 项和法:若 Sn ? Aqn ? A( A, q为常数,且q ? 0, q ? 1) ? 数列 ?an ? 为等比数列。 3、等比数列通项公式为: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 。 说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d ? 1 时该数列既是等比数列也是等差数列; (2)等比数列的通项公式知:若 {an } 为等比数列,则 4、等比中项 如果在 a与b 中间插入一个数 G ,使 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a与b 的等比中项(两个符号相同的非零实数, 都有两个等比中项) 。 a, G, b 成等比数列 ? G ? ab
2

am ? q m?n 。 an

?na1 ? 5、等比数列前 n 项和公式 S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

6、等比数列的性质 ①等比数列任意两项间的关系: 如果 an 是等比数列的第 n 项, 公比为 q , 则有 an ? am q n?m ; a m 是等差数列的第 m 项, ②对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av ,也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? ,如图所
a1?an ????? ?????? a , a , a , ? , a n?2 , a n?1 , a n 。特别地:若 m ? n ,则有 a 2 ? a ? a 2 ?3 示: 1 ? ? ? ?? ?? ? m u v a2 ?an ?1

③若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列。 如下图所示: 第 7 页 共 9 页

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k
a

S 3k ? S 2 k

④ 若 {an } 是等差数列,则是 {2 n } 等比数列, 若是 {an } ( an ? 0 )等差数列,则 {log2 n } 是等比数列, ⑤如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则这个数列是非 0 的常数列 例题分析 1、已知等比数列{an} 的公比为 q,若 a n?1 =m(n 为奇数) ,则 a 3n ?1 = ()
2 2

a

2、已知等比数列前 10 项的和为 10,前 20 项的和为 30,那么前 30 项的和为()(A)60(B)70(C)90(D)126 3、若{an}是等比数列,已知 a4 a7=-512,a2+a9=254,且公比为整数,则数列的 a12 是()

【题型:求数列通项 an 和前 n 项和 Sn】实际上是求数列的元素(某项,公差、公比)
求数列通项: 1、直接给出公差、公比以及某一项的具体值。 【利用通项公式求解】

2、给出递推公式以及某种表达式。 【充分利用通项和前 n 项和公式。 】

3、利用数列的对称性来化简:对于等差列 4、已知两项之和两项之积,可利用二次方程来分别求这两项。 求数列前 n 项和 1、

2、 3、裂项法求前 n 项和 例题分析

2 16 1、设{an}是等比数列,且 a1= ,S3= ,则它的通项公式为 an= 3 9 2 2、数列前 n 项和为 Sn=n +3n,则其通项 an 等于____________.

1 1 1 1 ? 则其前 n 项和 Sn=________. 3、已知数列 , , ,?, 6 12 20 (n ? 1)(n ? 2)
4、

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阶段测评
一、选择题()
在△ABC 中,若 sinA=2sinB cos C, sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形

二、填空题()

等比数列{an}中, 已知公比 q>0 且满足 a1·a2·a3=1,a2+a3+a4= 三、计算题()

7 , 则 a1 为________. 4

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