nbhkdz.com冰点文库

正余弦定理与解三角形

时间:2017-11-03


正弦余弦定理涵义及公式

一、同步知识梳理
一、正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2 R (R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C

2、变形公式: (1)化边为角: a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ; (2)化角为边: sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R

(3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C ( 4)

a?b?c a b c ? ? ? ? 2R . sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C

3、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. (解可能不唯一)

二、余弦定理 1、余弦定理: a
2

? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? b ? c ? a
2 2
2 2

2

2 bc
2

b ? c ? a ? 2 ac cos B ? cos B ? c ? a ? b 2 ca
2 2 2 2

2

c ? a ? b ? 2 ab cos C ? cos C ? a ? b ? c 2 ab
2 2 2 2 2

2

2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角; (解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (解唯一) : (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、解三角形
1

1、三角形面积公式: S?ABC

1 1 1 1 abc ? ah ? absin C ? ac sin B ? bc sin A ? ? 2R2 sin Asin Bsin C 2 2 2 2 4R

二、同步题型分析
正弦定理 例题 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos B ? (
2

)

A. -

1 2

B.

1 2

C. -1

D. 1

【分析】 :题设已知边角之间的等式,通过正弦定理得到角之间的关系,再化简到结论中的形式 【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin B , ∴ sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 . 变式 1、在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ?
2 2 2 2

3 ,则 AC ? _______.

【分析】题设一直两角和一个对边,根据正弦定理,求解另外一角所对的边长 【解析】由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

变式 2、在 ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

? 1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

【答案】

5 2 3 a b ? 1 a 5 5 2 ? ,a ? 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所以 ? 1 ? sin A sin B 4 3 3 sin 3 4

【解析】 :由正弦定理得

例题 2、在△ABC 中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求 A、C 和 c . 【分析】题设一直两边一角,根据正弦定理求解变长,但是由于正弦的值为正数有两个解,需要根据题设讨论两解是 否都符合题意,从而求解所有角度和边长 【解析】 ∵B=45°<90°且 a sinB<b< a ,∴△ABC 有两解.
3 a sin B 3 sin 45? = = , 2 b 2

由正弦定理得 sinA=

则 A 为 60°或 120°.

2

①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 2 sin 75? b sin C = = = . sin 45? sin B sin 45? 2

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c=
2 sin 15? 2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 b sin C = = = . sin 45? sin 45? 2 sin B 6? 2 或 2

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c= A=120°,C=15°, c =
6? 2 . 2

余弦定理 例题 1、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13

【分析】题设已知两角余弦值,和一角对边长,从而先通过正弦定理求解变长,再根据余弦定理求解第三边 【解析】由 cos A ?

3 5 4 12 , cos B ? ? sin A ? ,sin B ? , 5 13 5 13 3?

4 b sin A a b 5 ? 13 , 由正弦定理 得a ? ? ? 12 sin B 5 sin A sin B 13
由余弦定理 a2 ? c2 ? b2 ? 2bc cos A ? 25c2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ?

14 5

例题 2、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 【分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理,同时考查基本运算能力 【解析】 (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? ∴c ? 2 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 . 例题 3、已知 ?ABC 中, AB ? 3 、 BC ?
2 2 2

1 ,求 ?ABC 的周长; 4

1 ?4 4

37 、 AC ? 4 ,求 ?ABC 中的最大角。

【分析】 首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解. 【解析】∵三边中 BC ?

37 最大,∴ BC 其所对角 A 最大, AB 2 ? AC 2 ? BC 2 32 ? 42 ? ( 37)2 1 ? ?? , 2 AB AC 2 ?3 ? 4 2
?

根据余弦定理: cos A ? ∵ 0 ? A ? 180 ,
? ?

∴ A ? 120

3

故 ?ABC 中的最大角是 A ? 120 .
?

【总结】 1. ?ABC 中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理; 2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系.

解三角形和正余弦定理应用

一、专题精讲
正、余弦定理解三角形 例题 1、在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b = 13 , a + c =4,求△ABC 的面积. 【分析】通过条件,把角转化成边之间的关系,整理后,根据余弦定理找到 cosB 的取值,从而求出角 B,第二问根 据余弦定理和题目条件构成方程组,求解 ac 的值,再根据面积公式求解三角形面积 【解析】 (1)由余弦定理知:cosB= cosC=
a2 ? c2 ? b2 , 2ac
cos B b =. cos C 2a ? c

a2 ? b2 ? c2 . 2 ab

将上式代入

cos B b =得: cos C 2a ? c

2ab b a2 ? c2 ? b2 · 2 2 2 =a ?b ?c 2a ? c 2 ac
整理得: a 2+ c 2- b 2=- a c ∴cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =2ac 2 2ac
2 ?. 3 2 ? 代入 3

∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b = 13 , a + c =4,B=

b 2= a 2+ c 2-2 a c cosB,得 b 2=( a + c )2-2 a c -2 a c cosB
2 ? 1? ∴ b =16-2 a c ?1 ? ? ,∴ a c =3.

?

2?

∴S△ABC=

1 2

a c sinB= 3

3 4

.

4

变式 1、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 【解析】 (1)由 a cos C ?

1 c ? b. 2

1 1 c ? b 得 sin Acos C ? sin C ? sin B 2 2

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ? (2)由正弦定理得: b ?

? 3

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 3

?sin B ? sin C ? ? 1?

2 3

?sin B ? sin ?A ? B ? ?

? 3 ? 1 ?? ? ? 1? 2 ? sin B ? cos B ? 1 ? 2 sin B ? ? ? ? ? 2 ? 6? 2 ? ? ? ?A?

? ? 2? , ? B ? ? 0, 3 ? 3

? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ? ? ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? ?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .

变式 2、在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 . (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【答案】解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? sin 2 A 2 bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

正、余弦定理和角的转化解三角形 例题 2、在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知
cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b
5

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4
(I)求 【分析】通过正弦定理将边化成正弦,在通过和角公式进行化简。 【解析】 (I)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 2 cos C ) sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. sin A sin C ? 2得 (II)由 sin A
因此

c ? 2a.
由余弦定得及 cos B ?

1 得 4

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? ? 4a 2 .
所以 b ? 2a. 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a ? 1, 因此 b=2。 边角转化和角边转化的问题 例题 2、在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 a ? c ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C , 求 b 【 分 析 】 对 已 知 条 件 (1) a ? c ? 2b 左 侧 是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 可 以 考 虑 余 弦 定 理 ; 而 对 已 知 条 件 (2)
6
2 2 2 2

1 4

sin A cos C ? 3cos A sin C , 化角化边都可以。
【 解 析 】: 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C , 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有: a

a 2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c , 化 简 并 整 理 得 : 2( a 2 ? c 2 ) ? b 2 . 又 由 已 知 a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b 2 . 解 得 2ab 2bc

. b ? 4或b ? 0(舍) 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 . 所以 b ? 2c cos A ? 2 ①
2 2 2 2 2

又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4 cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 【总结】面对解三角形,可以考虑正弦定理,也可以考虑余弦定理,两种方法只是计算量上的差别。

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



7


正余弦定理解三角形教案.doc

正余弦定理解三角形教案 - 1.正、余弦定理解三角形. 2.正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积. 3.正余弦定理的实际应用(灵活运用)

正余弦定理与解三角形.doc

正余弦定理与解三角形 - 正余弦定理与解三角形(一)---解三角形中的元素 【学

利用正余弦定理解三角形.doc

利用正余弦定理解三角形_数学_高中教育_教育专区。复习课: 解三角形枣庄十八中 秦真 教学目标重点:能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积...

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用_图文.ppt

正弦定理与余弦定理解三角形中的运用 - 正弦定理和余弦定理解三角形中的运用 知识回顾: 1.解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,...

正余弦定理与解三角形.doc

正余弦定理与解三角形 - 正弦余弦定理涵义及公式 一、同步知识梳理 一、正弦定理

解三角形之正弦定理与余弦定理解析.doc

正弦定理与余弦定理 教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 正余弦定理及三角形面积公式. 教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们...

高考数学专题--正余弦定理及解三角形.doc

高考数学专题--正余弦定理及解三角形_高考_高中教育_教育专区。高考数学专题--正余弦定理及解三角形 高考考点:1、利用正、余弦定理解三角形 2、解三角形的实际...

解三角形正余弦定理(学生).doc

解三角形正余弦定理(学生) - 解三角形:正弦定理,余弦定理 一、基础归纳 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△...

正余弦定理与解三角形.doc

正余弦定理与解三角形 - 正余弦定理与解三角形 目标认知: 学习目标: 1.掌握

专题:正余弦定理与解三角形问题.doc

专题:正余弦定理与解三角形问题 - 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的

正余弦定理与解三角形_看图王.pdf

正余弦定理与解三角形_看图王 - 正弦余弦定理涵义及公式 一、同步知识梳理 一、

正余弦定理解三角形题型归纳总结.doc

正余弦定理解三角形题型归纳总结 - 专题:正弦定理和余弦定理 考点集结 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 a b c ? ? ? 2R...

12高一数学正余弦定理与解三角形.doc

12高一数学正余弦定理与解三角形 - 正余弦定理与解三角形 撰稿:王秋寰 目标认

解三角形之正弦定理与余弦定理.doc

解三角形之正弦定理与余弦定理_数学_高中教育_教育专区。正弦定理与余弦定理 教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 正余弦定理及三角形面积...

利用正余弦定理解三角形(个人精心准备).doc

利用正余弦定理解三角形(个人精心准备) - 复习课: 解三角形 教学目标 重点:能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积,形状有关的问 题。 ...

正余弦定理解三角形[1].doc

正余弦定理解三角形[1] - 解三角形 一、选择题: 1、ΔABC 中,a=1,

正确理解正余弦定理解三角形.doc

正确理解正余弦定理解三角形 - 1.1 正弦定理和余弦定理教案(共两课时) 教学

专题讲座:正余弦定理和解三角形.doc

专题讲座:正余弦定理和解三角形 - 专题讲座:正余弦定理和解三角形 一、知识要点

高三复习 正弦、余弦定理及解三角形.doc

高三复习 正弦余弦定理及解三角形_数学_高中教育_教育专区。正弦余弦定理及解三角形 【考纲要求】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量...

教师招聘 正余弦定理在解三角形中的应用二.doc

教师招聘 正余弦定理解三角形中的应用二 - 三角函数中的正余弦定理应用 在【教