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正余弦定理与解三角形

时间:2017-11-03


正弦余弦定理涵义及公式

一、同步知识梳理
一、正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2 R (R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C

2、变形公式: (1)化边为角: a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ; (2)化角为边: sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R

(3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C ( 4)

a?b?c a b c ? ? ? ? 2R . sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C

3、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. (解可能不唯一)

二、余弦定理 1、余弦定理: a
2

? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? b ? c ? a
2 2
2 2

2

2 bc
2

b ? c ? a ? 2 ac cos B ? cos B ? c ? a ? b 2 ca
2 2 2 2

2

c ? a ? b ? 2 ab cos C ? cos C ? a ? b ? c 2 ab
2 2 2 2 2

2

2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角; (解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (解唯一) : (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、解三角形
1

1、三角形面积公式: S?ABC

1 1 1 1 abc ? ah ? absin C ? ac sin B ? bc sin A ? ? 2R2 sin Asin Bsin C 2 2 2 2 4R

二、同步题型分析
正弦定理 例题 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos B ? (
2

)

A. -

1 2

B.

1 2

C. -1

D. 1

【分析】 :题设已知边角之间的等式,通过正弦定理得到角之间的关系,再化简到结论中的形式 【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin B , ∴ sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 . 变式 1、在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ?
2 2 2 2

3 ,则 AC ? _______.

【分析】题设一直两角和一个对边,根据正弦定理,求解另外一角所对的边长 【解析】由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

变式 2、在 ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

? 1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

【答案】

5 2 3 a b ? 1 a 5 5 2 ? ,a ? 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所以 ? 1 ? sin A sin B 4 3 3 sin 3 4

【解析】 :由正弦定理得

例题 2、在△ABC 中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求 A、C 和 c . 【分析】题设一直两边一角,根据正弦定理求解变长,但是由于正弦的值为正数有两个解,需要根据题设讨论两解是 否都符合题意,从而求解所有角度和边长 【解析】 ∵B=45°<90°且 a sinB<b< a ,∴△ABC 有两解.
3 a sin B 3 sin 45? = = , 2 b 2

由正弦定理得 sinA=

则 A 为 60°或 120°.

2

①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 2 sin 75? b sin C = = = . sin 45? sin B sin 45? 2

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c=
2 sin 15? 2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 b sin C = = = . sin 45? sin 45? 2 sin B 6? 2 或 2

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c= A=120°,C=15°, c =
6? 2 . 2

余弦定理 例题 1、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13

【分析】题设已知两角余弦值,和一角对边长,从而先通过正弦定理求解变长,再根据余弦定理求解第三边 【解析】由 cos A ?

3 5 4 12 , cos B ? ? sin A ? ,sin B ? , 5 13 5 13 3?

4 b sin A a b 5 ? 13 , 由正弦定理 得a ? ? ? 12 sin B 5 sin A sin B 13
由余弦定理 a2 ? c2 ? b2 ? 2bc cos A ? 25c2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ?

14 5

例题 2、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 【分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理,同时考查基本运算能力 【解析】 (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? ∴c ? 2 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 . 例题 3、已知 ?ABC 中, AB ? 3 、 BC ?
2 2 2

1 ,求 ?ABC 的周长; 4

1 ?4 4

37 、 AC ? 4 ,求 ?ABC 中的最大角。

【分析】 首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解. 【解析】∵三边中 BC ?

37 最大,∴ BC 其所对角 A 最大, AB 2 ? AC 2 ? BC 2 32 ? 42 ? ( 37)2 1 ? ?? , 2 AB AC 2 ?3 ? 4 2
?

根据余弦定理: cos A ? ∵ 0 ? A ? 180 ,
? ?

∴ A ? 120

3

故 ?ABC 中的最大角是 A ? 120 .
?

【总结】 1. ?ABC 中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理; 2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系.

解三角形和正余弦定理应用

一、专题精讲
正、余弦定理解三角形 例题 1、在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b = 13 , a + c =4,求△ABC 的面积. 【分析】通过条件,把角转化成边之间的关系,整理后,根据余弦定理找到 cosB 的取值,从而求出角 B,第二问根 据余弦定理和题目条件构成方程组,求解 ac 的值,再根据面积公式求解三角形面积 【解析】 (1)由余弦定理知:cosB= cosC=
a2 ? c2 ? b2 , 2ac
cos B b =. cos C 2a ? c

a2 ? b2 ? c2 . 2 ab

将上式代入

cos B b =得: cos C 2a ? c

2ab b a2 ? c2 ? b2 · 2 2 2 =a ?b ?c 2a ? c 2 ac
整理得: a 2+ c 2- b 2=- a c ∴cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =2ac 2 2ac
2 ?. 3 2 ? 代入 3

∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b = 13 , a + c =4,B=

b 2= a 2+ c 2-2 a c cosB,得 b 2=( a + c )2-2 a c -2 a c cosB
2 ? 1? ∴ b =16-2 a c ?1 ? ? ,∴ a c =3.

?

2?

∴S△ABC=

1 2

a c sinB= 3

3 4

.

4

变式 1、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 【解析】 (1)由 a cos C ?

1 c ? b. 2

1 1 c ? b 得 sin Acos C ? sin C ? sin B 2 2

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ? (2)由正弦定理得: b ?

? 3

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 3

?sin B ? sin C ? ? 1?

2 3

?sin B ? sin ?A ? B ? ?

? 3 ? 1 ?? ? ? 1? 2 ? sin B ? cos B ? 1 ? 2 sin B ? ? ? ? ? 2 ? 6? 2 ? ? ? ?A?

? ? 2? , ? B ? ? 0, 3 ? 3

? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ? ? ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? ?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .

变式 2、在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 . (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 【答案】解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? sin 2 A 2 bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

正、余弦定理和角的转化解三角形 例题 2、在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知
cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b
5

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4
(I)求 【分析】通过正弦定理将边化成正弦,在通过和角公式进行化简。 【解析】 (I)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 2 cos C ) sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. sin A sin C ? 2得 (II)由 sin A
因此

c ? 2a.
由余弦定得及 cos B ?

1 得 4

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? ? 4a 2 .
所以 b ? 2a. 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a ? 1, 因此 b=2。 边角转化和角边转化的问题 例题 2、在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 a ? c ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C , 求 b 【 分 析 】 对 已 知 条 件 (1) a ? c ? 2b 左 侧 是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 可 以 考 虑 余 弦 定 理 ; 而 对 已 知 条 件 (2)
6
2 2 2 2

1 4

sin A cos C ? 3cos A sin C , 化角化边都可以。
【 解 析 】: 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C , 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有: a

a 2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c , 化 简 并 整 理 得 : 2( a 2 ? c 2 ) ? b 2 . 又 由 已 知 a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b 2 . 解 得 2ab 2bc

. b ? 4或b ? 0(舍) 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 . 所以 b ? 2c cos A ? 2 ①
2 2 2 2 2

又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4 cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 【总结】面对解三角形,可以考虑正弦定理,也可以考虑余弦定理,两种方法只是计算量上的差别。

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



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