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2017浙江省高中数学竞赛试卷 Word版 含答案

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2017 年浙江省高中数学竞赛 一、填空题:本大题共 10 个小题,每小题 8 分,共 80 分. 1.在多项式 ( x ?1)3 ( x ? 2)10 的展开式中 x 的系数为 6 . . 2 2.已知 log 7 (5a ? 3) ? log a2 ?1 5 ,则实数 a ? 3.设 f ( x) ? x2 ? ax ? b 在 ?0,1? 中有两个实数根,则 a ? 2b 的取值范围为 4.设 x , y ? R ,且 . sin 2 x ? cos2 x ? cos2 x cos2 y ? sin 2 x sin 2 y ? 1 ,则 sin( x ? y) . x? y ? 5.已知两个命题,命题 p :函数 f ( x) ? loga x ( x ? 0 )单调递增;命题 q :函数 .若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,则实数 a 的取值范围 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ( x ? R ) 为 . 6.设 S 是 (0, ) 中所有有理数的集合, 对简分数 则 f ( x) ? 5 8 q q q ?1 ( p, q ) ? 1, ?S , 定义函数 f ( ) ? , p p p 2 在 S 中根的个数为 3 . 2 2 2 2 7.已知动点 P ,M ,N 分别在 x 轴上, 圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 和圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 3 上,则 | PM | ? | PN | 的最小值为 . 8.已知棱长为 1 的正四面体 P ? ABC ,PC 的中点为 D , 动点 E 在线段 AD 上, 则直线 BE 与平面 ABC 所成的角的取值范围为 . 9.已知平面向量 a , b , c ,满足 | a |? 1 , | b |? 2 , | c |? 3 , 0 ? ? ? 1 ,若 b ? c ? 0 ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | a ? ?b ? (1 ? ? )c | 所有取不到的值的集合为 10.已知 f ( x) ? ? . ??2 x, x ? 0, ? x ? 1, x ? 0, 2 方程 f ( x) ? 2 1 ? x 2 ? | f ( x) ? 2 1 ? x 2 | ?2a *4 ? 0 有三个 根 x1 ? x2 ? x3 .若 x3 ? x2 ? 2( x2 ? x1 ) ,则实数 a ? . 二、解答题:本大题共 5 个小题,满分 120 分,将答案填在答题纸上) 11.设 f1 ( x) ? x 2 ? 32 ,f n?1 ( x) ? x 2 ? 16 2, …. 对每个 n , 求 f n ( x) ? 3 x f n ( x) ,n ? 1 , 3 的实数解. 12.已知椭圆 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过 F 的直线 y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P , Q 两点 6 2 (k ? 0) .若 PQ 的中点为原点,直线 ON 交直线 x ? 3 于 M . (1)求 ?MFQ 的大小; (2)求 PQ 的最大值. MF 13.设数列 ?an ? 满足: | an?1 ? 2an |? 2 , | an |? 2 , n ? 1,2,3,…. 证明:如果 a1 为有理数,则从某项后 ?an ? 为周期数列. 14.设 a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ? Z ? ,证明:存在

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