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椭圆及其标准方程

时间:2016-06-27


《椭圆及其标准方程》第一课时教学设计
山西省朔州市应县四中 朱强基

一、教学分析
(一)教学内容分析 1. 《椭圆及其标准方程》是高中数学选修 2-1(人教版)2.2.1 中的内容, 分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程; 第二课时讲解运用椭圆 的定义及其标准方程解题,巩固求曲线方程的两种基本方法,即待定系数法、定 义法;第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。 本节是第一 课时. 2.本节内容是继学生学习了直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有了 一定了解, 对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标 法研究曲线。 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论 基础. 因此这节课有承前启后的作用,是本章和本节的重点内容之一。 3.运用多媒体形象地给出椭圆,通过让学生自已动手作图, “定性”地画出 椭圆,再通过坐标法“定量”地描述椭圆,使之从感性到理性抽象概括,并从概 念出发,推出方程。 (二)教学对象分析 1. 在此之前, 学生已学过坐标法解决几何问题, 学过圆的定义与标准方程, 但掌握不够。 2.从研究圆到研究椭圆,跨度较大,学生思维上存在障碍. 3.在求椭圆标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,而这些在目前 初中代数中都没有详细介绍,初中代数不能完全满足学习本节的需要。 4.该班学生是高二后近生,数学基础整体较差。 5.经过近一学年的引导、鼓励,学生学习数学的积极性较高。 (三)教学环境分析 1.多媒体教室 2.每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉

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二、教学目标 1. 知识与技能目标: 掌握椭圆的定义和标准方程;明确焦点、焦距的概念;理解椭圆标准方程 的推导。 2. 过程与方法目标: 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程;体验坐 标法在处理几何问题中的优越性, 从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合 的思想,提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 3. 情感态度与价值观目标: 通过主动探究、合作学习,相互交流,感受探索的乐趣与成功的喜悦,养 成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。 培养学生自主学习的能力。以查找“神舟 7 号”有关材料,激发学生学习 数学的兴趣,增强学生的数学应用意识、创新意识,扩展学生的数学视野,并让 学生受到爱国主义思想的教育。

三、教学重点与难点分析
教学重点:椭圆定义的形成和标准方程的推导. 教学难点:椭圆标准方程的推导.

四、教学策略选择与设计
1、教法设计:采用启发式教学,在课堂教学中坚持以教师为主导,学生为 主体,思维训练为主线,能力培养为主攻的原则。 2、学法设计:自主探究,合作交流 要求学生动手实验,自主探究,合作交流,抽象出椭圆定义,并用坐标法探 究椭圆的标准方程,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。 3、教学手段:多媒体辅助教学. 通过动态演示,有利于引起学生的学习兴趣,激发学生的学习热情,增大 知识信息的容量,使内容充实、形象、直观,提高教学效率和教学质量.

五、教学流程:
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复习旧知识

导出椭圆图形 反馈练习 评价小结

学习椭圆定义 课堂小结 课后作业

推导椭圆方程

例题巩固

六、教学过程设计
(一)复习导入 问题一:什么时候曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程? 问题二:求曲线的方程一般有哪几步? [问答式教学,在此与传统方法没有多大区别,仅仅通过幻灯片增加了视觉 刺激。] (二)导入新内容 想一想:我们都知道:取一条定长的细绳,把它的两端都固定在绘图板的同 一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把 细绳的两端拉开一段距离,分别固定在绘图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? [学生动手绘制椭圆。让学生亲自动手去做的目的是培养学生动手操作能力 和主动体验知识的形成过程,体验成功的喜悦。] [在这里老师也应该演示性地作一个椭圆,根据我的教学经验,老师在作图 中由于种种条件的影响,常常失败或需花很长时间,如果不去演示,而是直接用 几何画板,包括有些课件用 flash 动画,我又总觉得少了些东西。因此,我在课 前预先作了个椭圆并把作图过程录制下来,让学生有一种真实感。] (三)讲授新课 1.学生自己概括椭圆定义: 把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距. [思考] 在定长 (设为 2 a )不变的条件下, (1)两个定点之间的距离增大时,椭圆怎样变化?

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(2)当两个定点之间的距离等于绳长时,画出的图形是什么? (3)能使绳长小于两定点之间的距离吗? [通过改变两定点之间的距离观察椭圆的变化,学生能自觉地体会到在归纳 椭圆的定义时,要强调满足三个条件:①平面内(这是大前提) ;②任意一点到 两个定点的距离的和等于常数;③常数大于 |F1 F2 |.] [在此应用多媒体技术可以短时间内做完一系列实验,不仅省时,而且准确; 能够动态地反应出点的轨迹。 在这个课件中,我专门过线段两个端点作了两条平 行线,取 F1F2 两点时也与线段平行,暗中提示一旦定长 2a 已知,椭圆的长轴就 不会变化。这种性质在手工作图中很难实现。] 介绍神舟 7 以及天体运行轨道,激发学生学习兴趣和爱国热情。并为下一步 推导椭圆方程打好基础。 2.椭圆标准方程的推导: (1)怎样建立适当的直角坐标系? 以经过点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分为 y 轴建 立直角坐标系 xOy ,如图 1.
图1
F1 O

y M c c
F2

x

(2)椭圆可以看作是哪些点的集合?用坐标如何表示? 设点 M ( x, y) 是椭圆上任一点,椭圆的焦距为 2c ( c >0).焦点 F1 , F2 的坐 标分别是 (?c,0), (c,0) ,又设 M 与 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a . 由椭圆的定义,椭圆就是集合 P={M| MF1 ? MF2 ? 2a } 因为 所以
| MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2
2 2 2 ( x ? c) ? y2 ? ( x ? c ) ? y ?2 a

(3)遇到根式怎么办?两个根式在同一侧能不能直接平方? 即
2 2 ( x ? c) ? y2 ? 2 a ? ( x ? c ) ? 2y

两边平方得

2 2 2 ( x ? c) ? y2 ? 4 a ? 4 a ( x? c ) ? 2y ? ( x? 2) c ? 2y

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整理得

a ( x ? c)2 ? y 2 ? a 2 ? cx
2 (a2 ? c2 ) x2? a2 y 2? a (2 a?

再平方并整理得

) c2

两边同除以 a2 (a2 ? c2 ) 得

x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? c2

考虑 a ? c ? 0 ,应有 a 2 ? c 2 ? 0 ,故设 b2 ? a 2 ? c 2 ,就有 3.椭圆的标准方程:
x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0) a 2 b2

它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,坐标分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) .
[推导椭圆方程是本节的重点,也是难点,为了不让学生产生畏难情绪,我把推导过程 分成了几个小步骤,小问题,在师生问答与交流中悄然完成。]

B O F2
图2

例1 求椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)与两坐标轴的交点. a 2 b2

F1 A

思考 1:在图 2 中指出长度等于 a 的线段. [这里的目的是揭示椭圆的部分几何意义,揭示 a,b,c 的关系,为得焦点在 y 轴上的椭圆做好准备。] 思考 2:如果焦点 F1、F2 在 y 轴上,且 F1、F2 坐标分别为(0,-c),(0,c),a, b 的意义同前,那么椭圆的方程是什么? [此处也是由学生根据前边的知识自己总结得结果。]
O y F2 F1 x

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

图3

它所表示的椭圆是焦点 F1 , F2 在 y 轴上,坐标分别是 F1 (0,?c), F2 (0, c) . (四)范例分析

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例 2:如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另 100 36

一个焦点 F2 的距离是多少?
5 3 ( ,- ), 例 3: 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (-2, 0) , (2, 0) , 并且过点 2 2 求它的标准方程。

[通过这两个例题的学习目的是为了强化理解椭圆的概念] (五)课堂练习 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a ? 4, b ? 1, 焦点在 x 轴上; (2) a=4,c= 15, 焦点在y轴上; (3) a ? b ? 10, c ? 2 5. [学生分组比赛,每组抽 2 位同学的作业用幻灯演示,教师订正。目的是为 了自我评价,反馈调节。] (六)课堂小结 椭圆的定义; 椭圆的标准方程: 1.若焦点在 x 轴上,则标准方程为
x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2

2.若焦点在 y 轴上,则标准方程为 (七)课后作业 1. 阅读教科书;填写下表
不 标准方程

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同 点

图形

焦点坐标 共 同 点 定义 a、b、c 的关系 焦点位置的判定

2. 课本第 49 页习题 2.2 A 组第 1、2 题.

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