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2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准

时间:2011-04-18

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准

第一试
一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
( ) 1. { } 已知数列 an 的前 n 项和 Sn = n2 + 3n + 4 n ∈ N* ,则 a1 + a3 + a5 + L + a21 = 268 .
{ } 2. 若集合 A = x x ? 3 = ax +1, x ∈ R 为空集,则实数 a 的取值范围是 (?∞, ? 1) U (1 , +∞) . 36 3. 设 x 、 y 为实数, 2x + y ≥ 1,则二元函数 u = x2 + 4x + y2 ? 2 y 的最小值是 ? 9 .
5

4.

x2 设 F1 、 F2 分别是双曲线 a2

y2 ?
b2

= 1的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于

A、B两

点,且 ∠AF1B = 120° . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k +1 之间,则 k = 2 .

5. 已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的重叠部分

的体积等于 36 .

6. 设 [x] 表示不大于 x 的最大整数,则 [log3 1] + [log3 2] +[log3 3] + L +[log 3 258] = 932 .

( ) 7.

设方程

x 2 n +1

?

a2n x2n

?

a x2n?1 2n?1

?L

? ?a1x ? a0 = 0 的根都是正数,且 a1 = ?

2n +1

,则

a0 的最大值是 1 .

8. 2009×1911的方格棋盘的一条对角线穿过 3871 个棋盘格.

二、 解答题(本题满分 14 分)

求函数 f ( x) = sin4 x ? tan x + cos4 x ? cot x 的值域.



因为

f

( x)

=

sin 4

x?

sin

x

+

cos4

x?

cos

x

=

sin6

x

+

cos6

x

=

2?

3 2

sin2

2x

.

cos x

sin x sin x cos x

sin 2x

………………8 分

令t

= sin 2x ,则 t ∈[?1, 0) U(0,1] ,

f

(x) =

2? 3t2 2

=

2 ?

3t.

易知函数 g (t ) =

2

? 3t

t t2

t2

在区间 [?1, 0) 与 ] (0,1 上都是减函数,所以 g (t ) 的值域为 (?∞, ? 1 ]U[1 , +∞) ,故 f ( x) 的值域
22

为 (?∞, ? 1 ] U[1 , +∞) . 22

………………14 分

三、解答题(本题满分 15 分)
( ) 如图,抛物线 y2 = 2x 及点 P 1,1 ,过点 P 的不重合的直线 l1 、 l2 与此抛物线分别交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.

解 设 l1 、 l2 的倾斜角分别为 α 、 β ,由题设知

α 、 β ∈ (0,π ) . 易知直线 l1 的参数方程为

?x = 1+ t cosα

? ?

y

=

1

+

t

sin

α



y C
A

P

O

x

DB

代入抛物线方程可化得 t2 sin2 α + 2(sinα ? cosα )t ?1 = 0 .

设上述方程的两根为 t1 、 t2 ,则

t1t2

=

?1 sin2 α

.

由参数 t 的几何意义,得

AP ? BP

=

1 sin2 α

.

…………………5 分

同理

CP ? DP = 1 . sin2 β

…………………7 分

若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP = CP ? DP ,即 sin2 α = sin2 β .

因为 α 、 β ∈ (0,π ) ,所以 sinα = sin β .

又由 l1 、 l2 不重合,则 α ≠ β . 所以 α + β = π .

…………………11 分

反过来,若 α + β = π ,则因 α 、 β ∈ (0,π ) ,故 sinα = sin β ,且 α ≠ 0 , β ≠ 0 .

所以 1 = 1 ,即 AP ? BP = CP ? DP . sin2 α sin2 β
故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆.

…………………15 分

四、解答题(本题满分 15 分)



a



b

是正数,且

a



1,

b



1,求证:

a5 a4

?1 ?1

?

b5 b4

?1 ?1

>

25 64

(a

+ 1) ( b

+ 1)



a5 ?1 a4 + a3 + a2 + a +1

解 因为

=

,且

a4 ?1 a3 + a2 + a +1

( ) ( ) 8 a4 + a3 + a2 + a +1 ? 5 a3 + a2 + a +1 (a +1)

( ) ( ) = 3a4 ? 2a3 ? 2a2 ? 2a + 3 = a4 ? 2a2 +1 + 2 a4 ? a3 ? a2 +1 ( ) ( ) = a2 ?1 2 + 2(a ?1)2 a2 + a +1 > 0 ( a ≠ 1),

所以

a4

+ a3

a3 + + a2

a2 + a + +a +1

1

>

5 8

(a

+1)

,即

a5 a4

?1 ?1

>

5 8

(

a

+1)

.

同理可证 b5 ?1 > 5 (b + 1) . b4 ?1 8

于是,

a5 a4

?1 ?1

?

b5 b4

?1 ?1

>

25 64

(a

+ 1) ( b

+ 1)

.

…………………10 分 …………………15 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准

加试
一、(本题满分 50 分)
如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的 旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三点共线.

证 设 BE 与 MN 交于点 P ' .

因为 DE ∥ BC ,所以

BP

=

BC


BP '

=

BN

.

PE DE P ' E EM

故只需证明

BC = BN ,或 BN = EM . DE EM BC DE

………………10 分

如图, 设 O1 、 O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心,

A

D ME

P

B N

C

F 、 G 、 H 、 I 为切点,则

EM = 1 ( AE + DE ? AD ) , AH = AB + BH = AB + BN ,
2

AH = AI = 1 ( AB + BC + AC ) , BN = AH ? AB = 1 ( AC + BC ? AB ) .

2

2

………………30 分



?ADE ∽ ?ABC ,

故可设

A

AB = BC = AC = k , AD DE AE


F O1 G D ME

BN

=

1 2

( AC

+

BC

?

AB)

BC

BC

= (k ? AE + k ? DE ? k ? AD) 2k ? DE

= ( AE + DE ? AD) = EM

2DE

DE

P

B N

C

H

I

O2

故结论成立.

………………50 分

二、(本题满分 50 分)
设 k , n 为给定的整数, n > k ≥ 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的元素和,记

这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值.

解 CQ 的最大值为 Cnk .

…………………10 分

因 P 共有 Cnk 个 k 元子集,故显然有 CQ ≤ Cnk .

…………………20 分

下面我们指出,对集合 P = {2, 22 , L , 2n },相应的 CQ 等于 Cnk ,即 P 的任意两个不同的 k

元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 Cnk .

事实上,若上述的集合 P 有两个不同的 k 元子集

A = {2r1 , 2r2 ,L , 2rk },

B = {2s1 , 2s2 ,L , 2sk },

使得 A 与 B 的元素之和相等,则

2r1 + 2r2 +L + 2rk = 2s1 + 2s2 +L + 2sk = M (设).



因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整数的二进制表示的唯

一性,我们由①推出,集合{r1, r2 ,L , rk } 必须与{s1, s2 ,L , sk } 相同,从而子集 A = B ,矛盾.

这就证明了我们的断言.

…………………50 分

三、(本题满分 50 分)

设 M = 2n1 + 2n2 + L + 2ns , n1, n2 ,L , ns 是互不相同的正整数,求证:

n1

n2

ns

( ) M = 2 2 + 2 2 +L + 2 2 < 1+ 2 M .

证 对 s 归纳.
(1) 当 s = 1 时,结论显然成立.

…………………10 分

(2) 假设 s = k 时结论成立,当 s = k + 1时,不妨设 n1 > n2 > L > nk > nk+1 .

n2

nk +1

由归纳假设可知, 2 2 +L + 2 2 < (1 + 2) M ? 2n1 ,则

所以只要证明: 此即

n1

n2

nk

nk +1

n1

2 2 + 2 2 + L + 2 2 + 2 2 < (1 + 2) M ? 2n1 + 2 2 .

n1
(1 + 2) M ? 2n1 + 2 2 < (1+ 2) M ,

n1
(1+ 2)2 2 > 1. M + M ? 2n1

…………………30 分

因为正整数 n1 > n2 > L > nk > nk +1 ,所以
2n1 ≥ 2n2 +1 > 2n2 + 2n2 ?1 + L + 2 + 1. ≥ 2n2 + 2n3 + L + 2 . nk+1

M = 2n1 + 2n2 + L + 2nk + 2nk+1 < 2 ? 2n1 ,

M ? 2n1 = 2n2 + L + 2nk+1 < 2n1 .

所以

(1 + M+

n1
2)2 2 >
M ? 2n1

n1
(1+ 2)2 2 = 1 , 2 ? 2n1 + 2n1

即 s = k + 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立.

…………………50 分

四、(本题满分 50 分)
求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y ?1互素; (2) x2 ? x +1 = y3 .

解 显然 x = 1 , y = 1满足要求.

…………………10 分

( ) 对于 x > 1 , y > 1, 方程可化为 ( y ?1) y2 + y +1 = x ( x ?1) .

显然 x > y . 因为 ( x, y ?1) = 1,故 x 一定是 y2 + y + 1 的一个因子. 设 y2 + y +1 = kx

( k 为正整数),从而 x ?1 = k ( y ?1) . 由 x > y 可知 k ≥ 2 .

…………………20 分

( ) 消去 x ,得 y2 + y +1 = k 2 ( y ?1) + k , 即 y2 ?1 + ( y ?1) = k 2 ( y ?1) + k ? 3.

由此推得 y ?1 (k ? 3) .

…………………40 分

若 k > 3,则 y ?1 ≤ k ? 3 ,即 k ≥ y + 2 ,从而

k2 ( y ?1) + k = y2 + y +1 < k2 + ( k ? 2) +1 ,

故必有 y ?1 = 0 ,矛盾.

所以 k ≤ 3 ,从而 k = 2 , 3 . 验证知 y = 7 , x = 19 .

综上, ( x, y) = (1,1) , (19, 7) .

…………………50 分


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