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高三数学一轮复习 14 求数列通项学案 文(无答案)

时间:2018-08-07


学案 14

数列的通项
姓名_________

班级____

导学目标: 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 自主梳理 求数列的通项的方法: (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系:an=?
?S1, ? ? ?Sn-Sn-1,

n=1, n≥2.

(2)当已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加 求数列的通项 an,常利用恒等式 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1). (3)当已知数列{an}中,满足

an+1 =f(n),且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘求数 an a2 a3 a1 a2 an . an-1

列的通项 an,常利用恒等式 an=a1· · ·…·

(4)构造新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求 通项. (5)归纳、猜想、证明法. 【自我检测】 1.设 an=-n +10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大 A.10 B.11 C.10 或 11 D.12 )
2

(

)

8 15 24 2.已知数列-1, ,- , ,…按此规律,则这个数列的通项公式是( 5 7 9

n +n n A.an=(-1) · 2n+1
C.an=(-1) ·
n

2

B.an=(-1) ·

n

n n+3 2n+1
n

n+1 2-1 2n+1
n

D.an=(-1) ·

n n+2 2n+3

3、已知{an}的前 n 项和 Sn=3 +1,则该数列的通项 an=_____________. 1 2 1 1 * 4. 在数列{an}中, 若 a1=1, a2= , = + (n∈N ), 则该数列的通项 an=_________. 2 an+1 an an+2 探究点一 由数列前几项求数列通项(观察法) 例1 写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: 1 9 25 (2) ,-2, ,-8, ,…. 2 2 2 (3)3,5,9,17,33,…;

2 4 6 8 10 (1) , , , , ,…; 3 15 35 63 99

1

(4) - 2, 5,-2 2, 11,…;

(5)1,0,1,0,1,0,….

探究点二 例2

由 an 与 Sn 的关系求 an
2

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n -3n+1,求{an}的通项公式.

变式 2

1)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

2

2)已知在正项数列{an}中,Sn 表示前 n 项和且 2 Sn=an+1,求 an.

探究点三 例3

由递推公式求数列的通项(累加或累乘)

根据下列条件,写出该数列的通项公式. (2)a1=1,nan+1=(n+1)an;

(1)a1=2,an+1=an+n;

【变式 3】 (2012 全国)已知数列{ an }中, a1 =1,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 (Ⅱ)求{ an }的通项公式。

n?2 an 。 3

3

探究点四

由递推公式求数列的通项(构造等差或等比数列)(重点班做)

1、 an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 an?1 ? ? =A( an ? ? )的形式. 2、 an?1 ? Aan ? B ? C n (A、B、C 为常数)型,可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C n )的形式. [例 4 根据下列条件,写出该数列的通项公式.
2 (2) a1 =1,当n ? 2时,有 a n ? 3 a n-1 ? 1

(1)a1=1,an+1=3an+2;

(3) an?1 ? 2an ? 2n

? 1? (4)a1=2,an+1=an+ln?1+ ?. ?
n?

4

【课后练习与提高】 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为 A.15 B.16 C.49 D.64 ( D. 1 11 ( ) )
2

(

)

2.数列{an}中,若 an+1= A.13 B.

,a1=1,则 a6 等于 2an+1 C.11

an

1 13

1 * 3. 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ), a2=2, Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 S21 为 2 A.5 7 B. 2 C. 9 2 D. 13 2

4. 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 且有 Sn=n +1, 则数列{an}的通项 an=________________. 5.将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以下排列规律,数阵中第 n (n≥3)行从左至右 的第 3 个数是____________.

2

1 2 3 4 7 11 5 6 8 9 10

12 13 14 15

6.由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式: (1) a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?

1 ; n(n ? 1)

(2)a1=1,

an n-1 = (n≥2); an-1 n

an=________________

an=________________

(3)a1=1, an=2an-1+1 (n≥2).

(4) a1 =3 且 (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1)

an=________________

an=________________

7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设 cn=an·bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn.
2

2

5

8、已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1. (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,…)求证{bn}是等比数列;(2)设 cn= {cn}是等差数列;(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.

an (n=1,2…)求证 2n

6


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