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函数模型_图文

时间:2015-02-06

例4:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律,可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:

y ? y0 e

rt

y0 表示t=0时的人 其中t表示经过的时间, 口数,r表示人口的年平均增长率。

下面是1950~1959年我国的人口数据资料:
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否 相符; (2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年 我国的人口达到13亿?

解:(1)设1951~1959年的人口增长率分别为 r1,r2,…,r9. 由 55196 (1+r1) =56300 可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。 同理可得, r3≈0.0229 r4≈0.0250 r7≈0.0276 r9≈0.0184

r2≈0.0210 r5≈0.0197 r6≈0.0223 r8≈0.0222

于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为
r=(r1+r2+· · · +r9)÷9≈0.0221 令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

y ? 55196 e0.0221t , t ? N
y

根据表3-8中的数据作出散点图, 并作出函数的图象(图3.2-9)。 由图3.2-9可以看出,所得模型与 1951~1959年的实际人口数据 基本吻合。

70000

65000

60000 55000 50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

图3.2-9

0.0221t (2)将 y=130000代入 y ? 55196 e ,t ? N

由计算器可得

t≈38.76

所以,如果按表3-8的增长趋势,那么大约在1950年 后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿。由 此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增 长,今天我国将面临难以承受的人口压力。

思路:对于已经给出的模型的函数问题: 首先根据已知的部分数据,求出函数模型中的 待定系数;其次,作出散点图,对所得解析式 检验,最后运用已经求出的函数模型解决相应 的问题。

例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表 :
身高/cm
体重/kg

60
6.13

70
7.90

80
9.99

90
12.15

100
15.02

110
17.50

120
20.92

130
26.86

140
31.11

150
38.85

160
47.25

170
55.05

(1)根据表格提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它 能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高 xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖, 低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重 为78kg的在校男生的体重是否正常?

分析:根据表格的数据画出散点图.

y 0

?? ?
身高/cm 体重/kg 60
6.13

? ? ?

? ?
x

70
7.90

80
9.99

90
12.15

100
15.02

110
17.50

120
20.92

130
26.86

140
31.11

150
38.85

160
47.25

170
55.05

解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据 x y ? a ? b 点的分布特征可考虑用 这一函数模型来近 似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数模型.
70 ? 7 . 9 ? a ? b , ? ? 160 ? 47 . 25 ? a ? b ?

用计算器算得 a ? 2, b ? 1.02.

x y ? 2 ? 1 . 02 这样我们就得到一个函数模型: .

(2)将x ? 175代入y ? 2 ?1.02 得
x

y ? 2 ?1.02 ,
175

y 0

由计算器算得 y ? 63.98
由于78 ? 63.98 ? 1.22 ? 1.2

?? ?

? ? ?

? ?
x

所以,这个男生偏胖.

函数应用的基本过程

1、收集数据;
2、作出散点图; 3、通过观察图象判断问题所适用的函数 模型; 4、用计算器或计算机的数据拟合功能得 出具体的函数解析式; 5、用得到的函数模型解决相应的问题。

总结一下用拟合函数解决应用性问题 的基本过程:
收集数据 画散点图
选择函数模型
求函数模型

No

检 验

Yes

用函数模型解 释实际问题


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