nbhkdz.com冰点文库

数论中的结构问题

时间:2015-01-07


【数论二十讲】

数论中的结构问题
陶平生
1 、设 a, b 为整数,而不是完全平方数,证明:若方程 x2 ? ay 2 ? bz 2 ? abw2 ? 0 … ①
有非平凡的整数解(即不全为 0 的整数解) ( x, y, z, w) ,则方程 x ? ay ? bz ? 0 … ②
2 2 2

也有非平凡的整数解 ( x, y, z ) .

2 、若实数 A ? 5 ,证明:满足
有限多个.

p 5 ?1 p 1 的有理数(既约分数) 只有 ? ? 2 2 q Aq q

1 3 、分数 化成循环小数后,其循环节由 6 个数字 142857 组成,如果把它对半分开, 7 1 然后相加,得到 142 ? 857 ? 999 ; 的循环节是 0588235294117647 ,把它对半分开, 17 1 然后相加,得 05882352 ? 94117647 ? 99999999 ; 的循环节是 09 ,我们有 0 ? 9 ? 9 ; 11
证明:如果循环节产生于分母是素数的分数

a ,并且由偶数个数码组成,那么这个循 p

环节的两半之和总是一个完全由数码 9 组成的数.

4 、 S 是一个实数集,满足: (10 ) 、 0 ? S ; (20 ) 、若 x ? S ,则 x ? 1? S , x ? 1? S ;
(30 ) 、若 x ? S , x ? 0,1 ,则

1 ?S . x( x ? 1)

问: S 是否包含整个有理数集?

5 、设 f ( x, y ) ?
整数构成的集合 M .

x x ?1 , x, y 为正整数,试确定,不能被 f ( x, y ) 所取到的全体正 ? y y ?1

6 、证明:不存在一对正整数 x, y ,满足: 3 y 2 ? x 4 ? x . 7 、试确定所有正整数 n ,使得前 n 个正整数 1, 2,

, n 有一个排列 a1 , a2 ,

, an 满足:

a1 , a1a2 , a1a2 a3 ,

, a1a2

an 构成模 n 的完全剩余系. , k2015 ,对于 1, 2,
, 2015的 2015! 个排列中的任

8 、任意给定 2015 个整数 k1 , k2 ,

1

一个排列 a ? (a1 , a2 ,

, a2015 ) ,作和 S (a) ? ? ki ai ;
i ?1

2015

证明:存在两个排列 a 和 b ,使得 S (a) ? S (b) 可被 2015 ! 整除.

?x ? y ? z 9 、试求所有正整数组 ? x, y, z ? ,使满足: ? 2 2 ?x y ? z ?1

① ②

10 、 ?10 ? 、试求所有正整数 k ,使方程 a2 ? b2 ? c2 ? kabc …… ① 有正整数解

? a, b, c ? ;? 20 ? 、证明,对上述每个 k ,方程①都有无穷多个这样的正整数解( an , bn , cn ),
使 a n , bn , c n 三数中,任两数之积皆可表为两个正整数的平方和.

11 、对于给定的正整数 a ,试求所有正整数 x, y ,使满足等式:

x y ? y ? a x? y

… ①

12 、求方程 2x ? 3y ? 5z ? 7w ? 1 的所有非负整数解 ? x, y, z, w? .
13 、求 2? ? 3? ? 2 ? 2? ? 5? … ① 的所有正整数解 (? , ? , ? , ? ) .

14 、设集合 M ? ?2? ? 5? ? 7? ? , ? , ? ? ?? ,如果数 a 能表成集 M 中的若干个元素之
和,并且这些元素之间没有倍数关系,则称数 a 具有属于集 M 的单纯分拆 D ,记为

a ? DM .

?1 ? 、试确定,当 a ? 250 ,且 a ??3,6,31? 时,必有 a ? D
0

M



? 2 ? 、证明:对异于 3, 6,31 的任何正整数 a ,都有 a ? D
0

M

.

15 、对于正整数 n ,定义 f (n) ? k ,其中 2k n , 2k ?1 ? n ,而数列 ? xn ? 定义为: x0 ? 0 ,
当 n ? 1时,

1 ? 1 ? 2 f (n) ? xn ?1 . xn

证明:每个非负有理数在数列 ? xn ? 中皆出现一次且仅出现一次.

2


数论中的结构问题.pdf

数论中的结构问题 - 【数论二十讲】 数论中的结构问题 陶平生 1 、设 a,

数论的方法和技巧 04数论中的存在性问题.doc

数论中的存在性问题知识要点与基本方法在数论问题中回答满足一些条件的某对象存在...A d 与所设矛盾,故 B 中不会无穷多项组成的等差数列. 又对任意正整数 m ...

数论中的存在性问题-邓汉元.doc

数论中的存在性问题-邓汉元 - 数论存在性问题选讲 数学竞赛中出现的数论存在性问题比较多, 也比较难; 求解这些问题的方法灵活多样, 往往 需要敏锐的观察力、 ...

基于数论方法的结构可靠性分析.pdf

基于数论方法的结构可靠性分析 - 提出一种基于数论理论多元分布代表点的结构可靠性

数论中的若干问题和进展.ppt

数论中的若干问题和进展 - 数论中的若干问题和进展 徐飞 一. 概述 Peano

2014高中数论的基本问题.doc

2014高中数论的基本问题 - 数论问题 基本定理复习 一 、欧拉定理 设 m

数学竞赛中的数论问题 (习题部分).doc

数学竞赛中的数论问题 (习题部分) - 数学竞赛中的数论问题 第二部分 数论题的

数论专题:构造.doc

数论专题:构造 - 数论专题:构造法解题 梁久阳 前言: “构造法”作为一种重要

小学奥数中的数论问题.doc

小学奥数中的数论问题 - 小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题,这一部分的题目 具有抽象,思维难度大,综合运用知识点多的特点,基本上 出现数论...

数论中一些难题的研究情况_张四保.pdf

在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他

高中数学竞赛中数论问题的常用方法.doc

高中数学竞赛中数论问题的常用方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学...991 . 例9 用 1,2,3,4,5,6,7 组成的无重复数字的 7 位数,证明:这些...

数论问题中的不等式估计.pdf

在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他

数学奥赛中数论问题的解题方法_图文.pdf

数学奥赛中数论问题的解题方法 - 数学奥赛中数论问题的解题方法 510800广东省高级技工学校王坤 1引言 在历年的国内外数学奥林匹克中。 几乎每年都离不开数论问题。...

数学竞赛中的数论问题.doc

数学竞赛中的数论问题 - 数学竞赛中的数论问题 罗增儒 引言 数论的认识:数论是关于数的学问,主要研究整数,重点对象是正整数,对中学生可以 说,数论是研究正整数的...

初等数论中的几个重要定理 高中数学竞赛.doc

初等数论中的几个重要定理 高中数学竞赛 - 初等数论中的几个重要定理 基础知识

数论中的数码和问题_图文.pdf

数论中的数码和问题 - 201 8年第 3期 7 数论中的数码和闻题 姚 亮 中

数论中的几个著名问题小课件.ppt

在线互动式文档分享平台,在这里,您可以和千万网友分享自己手中的文档,全文阅读其他

初等数论中的整除问题.doc

初等数论中的整除问题 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 初等数论中的整除问题 作者:李子萍 来源:《科技资讯》2014 年第 01 期 摘要:整除是初等数论中....

初等数论中的奥林匹克问题.pdf

初等数论中的奥林匹克问题_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初等数论中的奥林匹克问题_理学_高等教育_教育专区。PROBLEMS IN ELEMENTARY...

数论中的问题.pdf

数论中的问题 - Problems in number theory YU Ho