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数论中的结构问题

时间:2015-01-07

【数论二十讲】

数论中的结构问题
陶平生
1 、设 a, b 为整数,而不是完全平方数,证明:若方程 x2 ? ay 2 ? bz 2 ? abw2 ? 0 … ①
有非平凡的整数解(即不全为 0 的整数解) ( x, y, z, w) ,则方程 x ? ay ? bz ? 0 … ②
2 2 2

也有非平凡的整数解 ( x, y, z ) .

2 、若实数 A ? 5 ,证明:满足
有限多个.

p 5 ?1 p 1 的有理数(既约分数) 只有 ? ? 2 2 q Aq q

1 3 、分数 化成循环小数后,其循环节由 6 个数字 142857 组成,如果把它对半分开, 7 1 然后相加,得到 142 ? 857 ? 999 ; 的循环节是 0588235294117647 ,把它对半分开, 17 1 然后相加,得 05882352 ? 94117647 ? 99999999 ; 的循环节是 09 ,我们有 0 ? 9 ? 9 ; 11
证明:如果循环节产生于分母是素数的分数

a ,并且由偶数个数码组成,那么这个循 p

环节的两半之和总是一个完全由数码 9 组成的数.

4 、 S 是一个实数集,满足: (10 ) 、 0 ? S ; (20 ) 、若 x ? S ,则 x ? 1? S , x ? 1? S ;
(30 ) 、若 x ? S , x ? 0,1 ,则

1 ?S . x( x ? 1)

问: S 是否包含整个有理数集?

5 、设 f ( x, y ) ?
整数构成的集合 M .

x x ?1 , x, y 为正整数,试确定,不能被 f ( x, y ) 所取到的全体正 ? y y ?1

6 、证明:不存在一对正整数 x, y ,满足: 3 y 2 ? x 4 ? x . 7 、试确定所有正整数 n ,使得前 n 个正整数 1, 2,

, n 有一个排列 a1 , a2 ,

, an 满足:

a1 , a1a2 , a1a2 a3 ,

, a1a2

an 构成模 n 的完全剩余系. , k2015 ,对于 1, 2,
, 2015的 2015! 个排列中的任

8 、任意给定 2015 个整数 k1 , k2 ,

1

一个排列 a ? (a1 , a2 ,

, a2015 ) ,作和 S (a) ? ? ki ai ;
i ?1

2015

证明:存在两个排列 a 和 b ,使得 S (a) ? S (b) 可被 2015 ! 整除.

?x ? y ? z 9 、试求所有正整数组 ? x, y, z ? ,使满足: ? 2 2 ?x y ? z ?1

① ②

10 、 ?10 ? 、试求所有正整数 k ,使方程 a2 ? b2 ? c2 ? kabc …… ① 有正整数解

? a, b, c ? ;? 20 ? 、证明,对上述每个 k ,方程①都有无穷多个这样的正整数解( an , bn , cn ),
使 a n , bn , c n 三数中,任两数之积皆可表为两个正整数的平方和.

11 、对于给定的正整数 a ,试求所有正整数 x, y ,使满足等式:

x y ? y ? a x? y

… ①

12 、求方程 2x ? 3y ? 5z ? 7w ? 1 的所有非负整数解 ? x, y, z, w? .
13 、求 2? ? 3? ? 2 ? 2? ? 5? … ① 的所有正整数解 (? , ? , ? , ? ) .

14 、设集合 M ? ?2? ? 5? ? 7? ? , ? , ? ? ?? ,如果数 a 能表成集 M 中的若干个元素之
和,并且这些元素之间没有倍数关系,则称数 a 具有属于集 M 的单纯分拆 D ,记为

a ? DM .

?1 ? 、试确定,当 a ? 250 ,且 a ??3,6,31? 时,必有 a ? D
0

M



? 2 ? 、证明:对异于 3, 6,31 的任何正整数 a ,都有 a ? D
0

M

.

15 、对于正整数 n ,定义 f (n) ? k ,其中 2k n , 2k ?1 ? n ,而数列 ? xn ? 定义为: x0 ? 0 ,
当 n ? 1时,

1 ? 1 ? 2 f (n) ? xn ?1 . xn

证明:每个非负有理数在数列 ? xn ? 中皆出现一次且仅出现一次.

2


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