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山东省青岛市2016届(青岛二模)高三自主练习数学(理)模拟试题

时间:2016-05-10

青岛 2016 高考理科数学二模试题
一、选择题: 1.设集合 M ? {x | y ? log 2 x ? 1} , N ? {x || x ? 1|? 2} ,则 M I N ? A. [2, ??) 2.若复数 z ? B. [?1,3] C. [2,3] D. [?1, 2]

2016.05

a?i ( a ? R , i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 z 的模等于 2i
B.

A.

1 2

2 2

C. 1

D. 2

3.设向量 a ? ?1, x?, b ? ?x,4?,则“ x ? A.充分不必要条件 C.充要条件

?

2 dt ”( e ? 2.718? 是自然对数的底数)是“ a // b ”的 1 t
e

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设 a ? log 1 3 , b ? ( ) 0.2 , c ? ( )
2

1 3

1 2

?

1 2

,则 D. b ? a ? c

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

5.已知 x、y 取值如下表:

x
y

0 1.3

1

4

5

6 7.4

8

m

5.6

6.1

9.3

从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 ? y ? 0.95x ?1.45 ,则 m ? A. 1.5 B. 1.55 C. 3.5 D. 1.8

3 2 2 6.已知三个函数:① f ( x) ? x ,② f ( x) ? tan x ,③ f ( x) ? x sin x ,其图象能将圆 O : x ? y ? 1 的

面积等分的函数的个数是 A. 3 B. 2 7.已知椭圆 C :

C. 1

D. 0

开始 输入 m ,n

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点是圆 x2 + y 2 - 4x + 3 = 0 a 2 b2

3 的圆心,其离心率为 , 则椭圆 C 的方程为 2
A.

r ? m MOD n

m?n
D.

x2 ? y2 ? 1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 ? y2 ? 1 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

n?r
r ? 0?
是 输出 m 结束 否

8.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”. 若输入 的 m, n 分别为 385,105 ,执行该程序框图(图中“ m MOD n ”表示 m 除以 n 的余数, 例: 11 MOD 7 ? 4 ) ,则输出的 m 等于 A. 0 B. 15 C. 35 D. 70

1

9.把 A, B, C , D 四件玩具全部分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且 A, B 两件玩具不能分给 同一个人,则不同的分法有 A. 36 种 B. 30 种 C. 24 种 D. 18 种

10.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? (

2 x ) ? 1 ,若在 2

区间 (?2, 6) 内,函数 y ? f ( x) ? loga ( x ? 2) (a ? 0且a ? 1) 恰有 1 个零点,则实数 a 的取值范围是 A. (1, 4) 二、填空题: 11.已知 sin ? ? B. ( ,1) U (4, ??)

1 4

C. (4, ??)

D. (0,1) U (1, 4)

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? 3

.

12.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦距长为 4 ,焦点到渐近线的距离等于 3 ,则双曲线离心率为 a 2 b2

13.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为 4 ,则该几何体的体积为______.
2
4

4

2

正视 图

侧视 图

2
俯视

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 14.在直角坐标系 xOy 中,点 P ( x, y) 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,向量 a ? ?1,?1? ,则 a ? OP 的最大值是 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
15.函数 y ? f ( x) 图象上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处的切线的斜率分别是 k A ,kB ,规定



K ( A, B) ?
设曲线 y ? 值范围是

| k A ? kB | ( | AB | 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“近似曲率”. | AB |
1 1 1 上两点 A( a, ), B ( , a ) (a ? 0且a ? 1) ,若 m ? K ( A, B) ? 1 恒成立,则实数 m 的取 x a a

三、解答题:

2

16. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a sin B ? 3 a cos B ? 3 c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知函数 f ( x) ? ? cos (? x ?
2

A ) ? 3 (? ? 0, ? ? 0) 的最大值为 2 ,将 y ? f ( x) 的图象的纵坐标 2

不变,横坐标伸长到原来的 当 x ? [0,

?
2

3 倍后便得到函数 y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 的最小正周期为 ? . 2

] 时,求函数 f ( x) 的值域.

17.甲、乙两名运动员进行 2016 里约奥运会选拔赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连 胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 (Ⅰ)求甲在 3 局以内(含 3 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和数学期望.

1 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 2 2

3

18.四边形 ABCD 为菱形, ACFE 为平行四边形,且平面 ACFE ? 平面 ABCD ,设 BD 与 AC 相交于 点 G , H 为 FG 的中点, AB ? BD ? 2 , AE ? 3 , CH ? (Ⅰ)求证: CH ? 平面 BDF ;

3 . 2

(Ⅱ)若 Q 为 ?DEF 的重心,求 QH 与平面 BEF 所成角的正弦值.

F
E

H D
A

C G
B

19.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a22 ? 3a7 ? 2 ,且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

1 , a2

S2 ? 3, S3 成等比数列, n ? N* .

4( n ? 1) * ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,若对于任意的 n ? N ,都有 64Tn ?| 3? ? 1| 成立,求实数 an 2 an ? 2 2

? 的取值范围.

4

20.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 F2 也为抛物线 C2 : y 2 ? 8 x 的焦点,过点 6 b

F2 的直线 l 交抛物线 C2 于 A,B 两点.
(Ⅰ)若点 P(8,0) 满足 PA ? PB ,求直线 l 的方程; (Ⅱ) T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过点 F1 作 TF1 的垂线交椭圆 C1 于 M ,N 两点,求

TF1 MN

的最小值.

21.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx (m ? R) . (Ⅰ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)有这样的结论:若函数 p ( x) 的图象是在区间 [ a, b] 上连续不断的曲线,且在区间 ( a, b) 内可导,则 存在 x0 ? (a, b) ,使得 p?( x0 ) ? 函数 g ( x) ?

p (b) ? p (a ) . 已知函数 f ( x ) 在 ( x1 , x2 ) 上可导(其中 x2 ? x1 ? ?1 ) ,若 b?a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) . x1 ? x2

(1)证明:对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) ; (2)已知正数 ?1 , ?2 满足 ?1 ? ?2 ? 1 . 求证:对任意的实数 x1 , x2 ,若 x2 ? x1 ? ?1 时, 都有 f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) .

5

1-10: C B A A D 11.

BACBD 13. 64 ? 4? 14. 1 15. [

?

1 9

12. 2

2 , ??) 2

16. 解: (Ⅰ) Q a sin B ? 3 a cos B ? 3 c

? sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 3 sin C
? C ? ? ? ( A ? B) ,

………………………………………2 分

? sin Asin B ? 3sin A cos B ? 3sin( A ? B) ? 3(sin A cos B ? cos Asin B)
? tan A ? 3 , ? 0 ? A ? ? ,? A ?

?
3

………………………………………………5 分

1 ? cos(2? x ? ) ? 2 3 ?3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: f ( x) ? ? cos (? x ? ) ? 3 ? ? 6 2 ? ? ? ? cos(2? x ? ) ? ? 3 ,? ? ? 3 ? 2 ,从而 ? ? 5 ………………………………7 分 2 3 2 ? 5 ? 1 ? f ( x) ? 5cos 2 (? x ? ) ? 3 ? cos(2? x ? ) ? , 6 2 3 2 5 4 ? 1 2? 3 从而 g ( x) ? cos( ? x ? ) ? ,? ?? ?? ? 4 2 3 3 2 2 ? 3 5 ? 1 …………………………………………10 分 ? f ( x) ? cos(3x ? ) ? . 2 3 2
当 x ? [0,

?

?
2

] 时,

?
3

? 3x ?

?
3

?

11 ? 3 ? ,??1 ? cos(3x ? ) ? , 6 3 2

从而 ?3 ? f ( x) ?

5 3?2 5 3?2 ,? f ( x ) 的值域为 [?3, ] . ……………………12 分 4 4

17.解: (Ⅰ)用 A 表示“甲在 3 局以内(含 3 局)赢得比赛”, AK 表示第 K 局甲获胜, BK 表示第 K 局乙获胜, 则 P( AK ) ? , P( BK ) ? , K ? 1,2,3,4,5 则 P( A) ? P( A1 A2 ) ? P(B1 A2 A3 ) ? (Ⅱ) X 的可能取值为 2,3, 4,5

1 2

1 2

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? ……………………………………5 分 2 2 2 2 2 8

1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 ) ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 4) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? P(B1 A2 B3 B4 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 8
P( X ? 5) ? P( A1B2 A3 B4 A5 ) ? P( B1 A2 B3 A4 B5 ) ? P( A1B2 A3 B4 B5 ) ? P(B1 A2 B3 A4 A5 )
6

1 1 1 1 1 1 ? 4? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 8 故 X 的分布列为

……………………………………………………10 分

X P
所以 E( X ) ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ?

2 1 2
23 . 8

3

1 4

4 1 8

5

1 8

1 2

1 4

1 8

1 8

………………………………12 分

18. (Ⅰ)证明:? ACFE 为平行四边形, AE ? 3 ,?CF ? 3

? 四边形 ABCD 为菱形,? AG ? CG , BG ? DG , AD ? AB
? AB ? BD ? 2 ,? ?ABD 是以 2 为边长的等边三角形

z
M
E

F

? AG ? CG ? 3

? H 为 FG 的中点,? CH ? GF ………3 分 ? 四边形 ABCD 为菱形,? BD ? AC ? 平面 ACFE ? 平面 ABCD , 平面 ACFE I 平面 ABCD ? AC ,

H D
B

C

? BD ? 平面 ACFE N G A ? CH ? 平面 ACFE , x ? BD ? CH ? BD ? GF ? G , BD ? 平面 BDF , GF ? 平面 BDF , ……………………………………………5 分 ? CH ? 平面 BDF EF ACFE GM ? AC (Ⅱ)在面 中,作 交 于M ? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,? GM ? 平面 ABCD ? 四边形 ABCD 为菱形,? AC ? BD 以 G 为原点, GA 为 x 轴建系如图所示
则 B(0,1, 0) , D(0, ?1, 0) , G(0,0,0) , A( 3,0,0) , C (? 3,0,0)

y

3 ? ,??FGC ? 30 , 2 ? ? 由(Ⅰ)可知 CG ? CF ,??GFC ? 30 ,从而 ?FCG ? 120 ? ACFE 为平行四边形,??EAG ? 60? 作 EN ? AC 于 N ,? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,? EN ? 平面 ABCD ,
由(Ⅰ)可知 CH ? FG , CG ? 3 ,? CH ?

EN ? AE sin 60? ?

3 3 3 3 ? , AN ? AE cos 60 ? ,? E ( , 0, ) 2 2 2 2

??? ? ??? ? 3 3 3 , 0, ) ? ACFE 为平行四边形,? EF ? AC ? (?2 3,0,0) ,从而 F (? 2 2
? H 是 FG 的中点, ? H (?

3 3 3 , 0, ) 4 4

…………………………………………7 分

设 ?DEF 的重心 Q 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ) ,则

1 1 1 3 3 1 3 3 3 3 x0 ? ( ? ? 0) ? ? , y0 ? (0 ? 0 ? 1) ? ? , z0 ? ( ? ? 0) ? 1 3 3 3 2 2 3 2 2 3 ???? 3 1 5 3 1 1 , ? ,1) , QH ? (? , , ? ) ……………………………………………8 分 ? Q( ? 3 3 12 3 4
7

设面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , EF ? AC ? (?2 3,0,0) , BE ? (

?

??? ?

??? ?

??? ?

3 3 , ?1, ) 2 2

r uuu r ? ?2 3 x ? 0 ? ? n ? EF ? 0 ? ?? 3 由 ? r uur 3 x? y? z ?0 n ? BE ? 0 ? ? ? ? 2 2 r 令 z ? 2 ,则 y ? 3 , x ? 0 ,取 n ? (0,3,2) ……………………………………………10 分
设 QH 与平面 BEF 所成角为 ? ,则

5 3 1 1 r uuu r ? ?0 ? ?3? ?2 r uuu r n ? QH 3 13 12 3 4 sin ? ?| cos ? n, QH ?|? r uuu r ? . ………12 分 ? 5 65 | n | ? | QH | 13 ? 6
19.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,

? a22 ? 3a7 ? 2 ? (a1 ? 21d ) ? 3(a1 ? 6d ) ? 2 ? 由? ?? 1 2 ?(2a1 ? d ? 3) ? (a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ?( S2 ? 3) ? a ? S3 ? 2
2 ? a1 ? ? ? ?2a1 ? 3d ? 2 ? ?a1 ? 2 ? 5 即? ,解得: ? 或 ? ?d ? 2 ?(a1 ? d )(2a1 ? d ? 6) ? 0 ? d?2 ? 5 ?
当 a1 ? ?

…………………2 分

2 2 17 , d ? 时, S2 ? 3 ? ? 没有意义, 5 5 5
…………………………6 分 ………………………8 分

?a1 ? 2, d ? 2 ,此时 an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n
(Ⅱ) bn ?

4(n ? 1) n ?1 1 1 1 ? ? [ 2? ] 2 2 2 2 an an? 2 4(n ? 2) n 16 n (n ? 2)2

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn
? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ 2 ? 2 ]? [ 2 ? 2 ]? [ 2 ? 2 ]? [ 2 ? 2 ]? [ 2 ? 2 ]? [ 2 ? 2 ] 16 1 3 16 2 4 16 3 5 16 4 6 16 5 7 16 6 8

?? ?

1 1 1 1 1 1 [ ? ]? [ 2 ? ] 2 2 16 (n ? 1) (n ? 1) 16 n (n ? 2) 2

?

1 1 1 1 5 1 1 1 [1 ? ? ? ]? ? [ ? ] 2 2 2 16 4 (n ? 1) (n ? 2) 64 16 (n ? 1) (n ? 2)2 1 1 ? ]?5 2 (n ? 1) (n ? 2) 2
………………………………………10 分

? 64Tn ? 5 ? 4[

为满足题意,必须 | 3? ? 1|? 5 ,? ? ? 2 或 ? ? ?

4 3

.…………………………12 分

8

20.解: (Ⅰ)由抛物线 C2 : y 2 ? 8 x 得 F2 (2,0) , 当直线 l 斜率不存在,即 l : x ? 2 时,满足题意 …………………………………2 分

当直线 l 斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 2)(k ? 0) , A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 由?

? y 2 ? 8x ? y ? k ( x ? 2)

得 k 2 x2 ? (4k 2 ? 8) x ? 4k 2 ? 0

? x1 ? x2 ?

4k 2 ? 8 8 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2 k k

………………………4 分

设 AB 的中点为 G ,则 G (

2k 2 ? 4 4 , ) , ? PA ? PB , ? PG ? l , kPG ? k ? ?1 , k2 k

4 ?0 ? 2k ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 2 ,则 y ? ? 2( x ? 2) 2k ? 4 ?8 k2

?直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 2) 或 x ? 2
(Ⅱ)? F2 (2,0), ? F1 ( ?2,0), b 2 ? 6 ? 4 ? 2, C1 : 设 T 点的坐标为 (?3, m) 则直线 TF1 的斜率 kTF1 ?

………………………6 分

x2 y 2 ? ?1 6 2

……………………7 分

m?0 ? ?m ?3 ? 2

1 , 直线 MN 的方程是 x ? my ? 2 m 当 m ? 0 时,直线 MN 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式 所以直线 MN 的方程是 x ? my ? 2
当 m ? 0 时,直线 MN 的斜率 kMN ?

? x2 y 2 ?1 ? ? , 得 (m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 设 M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ) ,则 ? 6 2 ? x ? my ? 2 ?
? y3 ? y4 ? 4m 2 , y3 y4 ? ? 2 2 m ?3 m ?3
……………………………………9 分

TF1 ? m2 ? 1 , MN ? ( x3 ? x4 )2 ? ( y3 ? y4 )2 = (m 2 ? 1)[( y3 ? y4 ) 2 ? 4 y3 y4 ] ?
? TF1 MN ? 1 (m2 ? 3)2 1 4 3 ? ? ( m2 ? 1 ? 2 ? 4) ? 2 24 m ?1 24 m ?1 3
TF1 4 3 ,即 m ? ?1 时,等号成立,此时 取得最小值 MN m ?1 3
2

24(m 2 ? 1) …11 分 m2 ? 3

当且仅当 m2 ? 1 ?

…………………………………………13 分

9

21.解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (?1, ??)

1 ? mx ? m f ?( x) ? ? x ?1
当 m ? 0 时, (?

m( x ?

m ?1 ) m x ?1

……………………………………………………1 分

m ?1 1 m ?1 ) ? (?1) ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 ,? x ? ?1,? f ?( x) ? 0 m m m
………………………………………………………3 分

? f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增
当 m ? 0 时, (?

m ?1 1 m ?1 ) ? (?1) ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 m m m

由 f ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? ?

m ?1 m ?1 ,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? m m m ?1 m ?1 ? f ( x) 在 (?1, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减 m m

………………5 分

(Ⅱ) (1)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) , x1 ? x2

则 h?( x) ? f ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2

? 函数 f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上可导,则根据结论可知:存在 x0 ? ( x1 , x2 )
使得 f ?( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ?m, ,又 f ?( x) ? x1 ? x2 x ?1

? h?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ?

x0 ? x 1 1 ? ? x ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1)( x0 ? 1)

………………8 分

当 x ? ( x1 , x0 ] 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 单调递增,? h( x) ? h( x1 ) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , x2 ) 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 单调递减,? h( x) ? h( x2 ) ? 0 ; 故对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 h( x ) ? 0 ,即
f ( x)? g ( x)

……………………10 分

(2) Q ?1 ? ?2 ? 1 ,且 ?1 ? 0 , ?2 ? 0 , x2 ? x1 ? ?1
? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ? x1 (?1 ? 1) ? ?2 x2 ? ?2 ( x2 ? x1 ) ? 0 , ? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x1

同理 ?1 x1 ? ?2 x2 ? x2 , ??1 x1 ? ?2 x2 ? ( x1 , x2 )

? 由(1)知对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) ,从而
f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ?
?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? [?2 x2 ? (1 ? ?1 ) x1 ] ? f ( x1 ) x1 ? x2 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?2 ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ?2 f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? (1 ? ?2 ) f ( x1 ) x1 ? x2

? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 )

…………………………………………14 分 10


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