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2016年春苏教版高中数学选修2-1课件:第2章 圆锥曲线与方程 6.1

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第2章—— 2.6 曲线与方程 2.6.1 曲线与方程 [学习目标] 1.了解曲线与方程的对应关系. 2.掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤. 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 预习导学 挑战自我,点点落实 [知识链接] 1.直线y=x上任一点M到两坐标轴距离相等吗? 答:相等. 2.到两坐标轴距离相等的点都在直线y=x上,对吗? 答:不对. 2.6.1 曲线与方程 4 3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么? 答: y =±x. 在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的 坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0;即(x0,y0)是方程y=±x 的解;反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的解,那么 以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等. 2.6.1 曲线与方程 5 [预习导引] 1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元 方程f(x,y)=0的实数解建立如下关系: (1) 曲线上的点的坐标 都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 . 2.6.1 曲线与方程 6 2.点与曲线 如果曲线C 的方程是 f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线 C上的充要条件是f(x0,y0)=0. 2.6.1 曲线与方程 7 课堂讲义 重点难点,个个击破 要点一 曲线与方程的概念 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨 迹方程是xy=±k. 证明 ①如图,设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点. 2.6.1 曲线与方程 8 因为点M与x轴的距离为|y0|,与y轴的距离为|x0|, 所以|x0|· |y0|=k, 即(x0,y0)是方程xy=±k的解. ②设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy=±k的解, 则x1y1=±k,即|x1|· |y1|=k. 而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离,因此点M1到这两 条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线上的点. 2.6.1 曲线与方程 9 由①②可知, xy =±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的轨迹方程. 2.6.1 曲线与方程 10 规律方法 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点 的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称 为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即 直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一 对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程. 2.6.1 曲线与方程 11 跟踪演练1 判断下列命题是否正确. (1)以坐标原点为圆心, 半径为 r 的圆的方程是 y= r2-x2; 解 不正确.设(x0,y0)是方程 y= r2-x2的解, 2 2 2 则 y0= r2-x2 ,即 x + y = r .两边开平方取算术平方根, 0 0 0 2 得 x2 + y 0 0=r 即点(x0,y0)到原点的距离等于 r,点(x0,y0) 是这个圆上的点. 2.6.1 曲线与方程 12 因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 3 r 但是,以原点为圆心、半径为 r 的圆上的一点如点(2,- 2 r) 在圆上,却不是 y= r2-x2的解, 这就不满足

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