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(强烈推荐)2015高考数学:圆锥曲线专题

时间:2015-05-29

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

2015 高考数学专项突破:圆锥曲线专题

目录 一、知识考点讲解 ..................................................................... 2 第一部分 了解基本题型 ...................................................... 3 第二部分 掌握基本知识 ...................................................... 5 第三部分 掌握基本方法 ...................................................... 7 二、知识考点深入透析 ........................................................... 13 三、圆锥曲线之高考链接 ....................................................... 15 四、基础知识专项训练 ........................................................... 19 五、解答题专项训练 ............................................................... 28 附录:圆锥曲线之高考链接参考答案 ................................... 34 附录:基础知识专项训练参考答案 ....................................... 38 附录:解答题专项训练参考答案 ........................................... 40

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一、知识考点讲解
一、圆锥曲线的考查重点: 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是:给出曲线方程,讨论曲线的基本元素和 简单的几何性质;或给出曲线满足的条件,判断(或求)其轨迹;或给出直线与 曲线、曲线与曲线的位置关系,讨论与其有联系的有关问题(如直线的方程、直 线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等);或讨论直线与曲线、曲线与曲线 的关系;或考查圆锥曲线与其它知识的综合(如与函数、数列、不等式、向量、 导数等)等。

二、圆锥曲线试题的特点: 1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、 几何性质等是圆锥曲线命题的根本,在对圆锥曲线的考查中,直线与圆锥曲线的 位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识,在知识网络 的交汇点处设计问题是高考的一大特点,由于向量具有代数和几何的双重身份, 使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点, 导数知识的引入为我 们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。

三、命题重点趋势:直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线,直线与 圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在:直线与圆锥曲线的基础题;涉及位置关系的判定;轨 迹问题;范围与位置问题;最值问题;存在性问题;弦长问题;对称问题;与平 面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程,数形结合,分类讨论,化归 与转化等重要的数学思想方法,是高考必考内容之一,这类题型运算量比较大, 思维层次较高,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉 开考生“档次”,有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较高,是每年高

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考中平面几何部分出题的重点内容

第一部分 了解基本题型
一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 (1)求圆锥曲线的轨迹方程: (★广东卷常在第一问考查) 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质,要求较低,一是 出现在选择题,填空题或者解答题的第一问,较容易。 (2)求直线方程、斜率、线段长度相关问题: 此类题目一般比较困难, 不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握,而且还 考查学生的综合处理问题的能力,还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易 与向量、数列、三角函数等知识相结合,学生在解题时,可能会因为抓不住解题 要领而放弃。 (3)判断直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。 可从代数与几何两 个角度考虑,①从代数角度看,可通过将表示直线的方程,代入圆锥曲线的方程 消元后所得的情况来判断,但要注意的是:对于椭圆方程来讲,所得一元方程必
x2 y 2 是一元二次方程,而对双曲线方程来讲未必。例如:将 y ? kx ? m 代入 2 ? 2 ? 1 a b

中消 y 后整理得:
b 时,该方程为一次方程, a b 此时直线 y ? kx ? m 与双曲线的渐近线平行,当 k ? ? 时,该方程为二次方程, a

(b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2a2kmx ? a2m2 ? a2b2 ? 0

,当 k ? ?

这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。 ②从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及两个相异的公 共点,具体如下: ①直线与圆锥曲线的相离关系, 常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离 的最大值或最小值来解决。 ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点,对于椭圆,表示直线与其相切;对于双

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曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切 或直线与其对称轴平行。 ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直 线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

2、圆与圆锥曲线结合的题型 这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉,并有较强的综 合能力。 3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型,但也是一个命题热点。题目中经常涉 及两种圆锥曲线,对这部份知识要求较高,必须熟练掌握才能进行解题,还有这 类题目看起来比较复杂,容易使人产生退却之心,所以面对这种题型,我们要克 服心理的恐惧,认真分析题意,结合学过的知识来解题。 4、圆锥曲线与向量知识结合的题型 在解决解析几何问题时,平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征, 而且又方便计算, 把解析几何与平面向量综合在一起进行测试,可以有效地考查 考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对 解析几何与向量综合考查,采取了新旧结合,以旧带新,使新的内容和旧的内容 有机地结合在一起设问,就形成了新的高考命题的热点。

二、常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二:弦的垂直平分线问题; 题型三:动弦过定点的问题; 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题; 题型五:共线向量问题; 题型六:面积问题; 题型七:弦或弦长为定值问题; 题型八:角度问题; 问题九:四点共线问题; 问题十:范围问题(本质是函数问题) ; 问题十一、存在性问题: (存在点,存在直线 y ? kx ? m ,存在实数,存在图形:

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三角形(等比、等腰、直角) ,四边形(矩形、菱形、正方形) ,圆) 。 三、热点问题: 1、定义与轨迹方程问题; (★广东卷常在第一问考查) 2、交点与中点弦问题; 3、弦长及面积问题; 4、对称问题; 5、最值问题; 6、范围问题; 7、存在性问题; 8、定值、定点、定直线问题。

第二部分 掌握基本知识
1、与一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 相关的知识: (三个“二次”问题) (1)判别式: ? ? b2 ? 4ac 。 (2)韦达定理:若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不同的根 x1 , x2 ,
b c 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 。 a a

(3)求根公式:若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不同的根 x1 , x2 , 则

x1/ 2 ?

?b ? b2 ? 4ac 。 2a

2、与直线相关的知识: (1)直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容:① 倾斜角与斜率: k ? tan ? , ? ?[0, ? ) ; ② 点到直线的距离公式: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(3)弦长公式:直线 y ? kx ? b 上两点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离:
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] (或 AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 , k2

较少用) 。 (4)两条直线 l1 : y ? k1x ? b1, l2 : y ? k2 x ? b2 的位置关系: ① l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 ; ②

l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2 。

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(5)中点坐标公式:已知两点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,若点 M ( x, y) 是线段 AB 的中 点,
x1 ? x2 y ? y2 ,y ? 1 。 2 2 3、圆锥曲线的重要知识: 考纲要求:对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质,文理科要求有所不 同。 文科:掌握椭圆,了解双曲线及抛物线;理科:掌握椭圆及抛物线, 了解双曲线。 (1)、圆锥曲线的定义及几何图形:椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。

则 x?

(2)、圆锥曲线的标准方程: ① 椭 圆 的 标 准 方 程 :
x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0且m ? n) ; m n x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0且a 2 ? b2 ? c 2 ) a 2 b2



(距离式方程: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a ) ② 双 曲 线 的 标 准 方 程 :
x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) ; m n
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0且c 2 ? a 2 ? b 2 ) 2 a b



(距离式方程: | ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 |? 2a ) ③抛物线的标准方程: y 2 ? 2 px( p ? 0) ,还有三类。 (3) 、圆锥曲线的基本性质:必须要熟透,特别是离心率,参数 a, b, c 三者的关 系, p 的几何意义等。 (4) 、圆锥曲线的其它知识: (了解一下,能运用解题更好)
2b 2 2b 2 2p ; ①通径: 椭圆: ;双曲线: ;抛物线: a a

②焦点三角形面积公式: P在椭圆上时,S?F1PF2 ? b 2 tan

?

P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b2

, 2 1

tan

?



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( 其
2 | PF1 |2 ? | PF2 | ?4c , PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ? ) | PF1 | ? | PF2 |



?F1PF2 ? ? ,cos ? ?

③焦半径公式: 椭圆焦点在x轴上时为a ? ex0 ; 焦点在y轴上时为a ? ey0 , (简记为“左加右减,上加下减” ) ;

双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | ?a ;
抛物线焦点在x轴上时为 | x1 | ? p p , 焦点在y轴上时为 | y1 | ? 2 2

。 4、常结合其它知识进行综合考查: (1)圆的相关知识:两种方程,特别是直线与圆、两圆的位置关系。 (2)导数的相关知识:求导公式及运算法则,特别是与切线方程相关的知识。 (3)向量的相关知识:向量数量积的定义及坐标运算,两向量的平行与垂直的 判断条件等。 (4)三角函数的相关知识:各类公式及图象与性质等。 (5)不等式的相关知识:不等式的基本性质,不等式的证明方法,均值定理等。

第三部分 掌握基本方法
一、圆锥曲线题型的解题方法分析 高考圆锥曲线试题常用的数学方法有:配方法、换元法、待定系数法、数学 归纳法、参数法、消去法等。 1、解题的通法分析: 高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查, 这符合高考命题原则: 考查基础知识,注重数学思想,培养实践能力。中学数学的通性通法是指数学教 材中蕴涵的基本数学思想(化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、 数形结合的思想)和常用的数学方法(数形结合,配方法,换元法,消元法,待 定系数法等) 。

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解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时,我们最常用的数学方法有数形结 合,待定系数法,化归转化等。在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以 将直线方程与圆锥曲线方程联立,得到一个方程组,通过消元得到一个一元二次 方程再来求解。 就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关 系, 这时一般会用到韦达定理进行转化。 例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系, 我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程, 消 y 得到一个关于 x 的一个一元二次
2 方程,然后我们就可以根据一个一元二次方程的△= b ? 4ac 的值来判断。

直线与圆锥曲线的位置关系的判断: (直线与圆锥曲线的位置关系有相交、 相切、相离) 设直线 L 的方程是: Ax ? By ? c ? 0 ,圆锥曲线的 C 方程是: f ( x, y) ? 0 ,则 由

? Ax ? By ? c ? 0 消去 y 得: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ? ? f ( x, y) ? 0
设方程(*)的判别式是△= b2 ? 4ac ,则 (1)若圆锥曲线 f ( x, y) ? 0 是椭圆

(*)

若△= b2 ? 4ac >0 ? 方程(*)有两个不等实根 ? 直线 L 与椭圆 C 相交 ? 直线与 椭圆 C 有两个不同的公共点。 若△= b2 ? 4ac =0 ? 方程(*)有两个相等的实根 ? 直线 L 与椭圆 C 相切 ? 直线 与椭圆 C 只有一个公共点。 若方程△= b2 ? 4ac <0 ? 方程(*)无实根 ? 直线 L 与椭圆 C 相离 ? 直线与椭圆 无公共点。 (2)若圆锥曲线 f ( x, y) ? 0 是双曲线 若△= b2 ? 4ac >0 ? 方程(*)有两个不等实根 ? 直线 L 与双曲线 C 相交 ? 直线 与双曲线 C 有两个不同的公共点。 若△= b2 ? 4ac =0 ? 方程(*)有两个相等的实根 ? 直线 L 与双曲线 C 相切 ? 直 线与双曲线 C 只有一个公共点。 若△= b2 ? 4ac <0 ? 方程(*)无实根 ? 直线 L 与双曲线 C 相离 ? 直线与双曲线 C 无公共点。 注意当直线 L 与渐近线平行,直线 L 也与双曲线是相交的,此时直线 L 与双

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曲线只有一个公共点.故直线 L 与双曲线 C 只有一个公共点时,直线 L 与双曲线 可能相交也可能相切。 (3)若圆锥曲线 f ( x, y) ? 0 是抛物线 若△= b2 ? 4ac >0 ? 方程(*)有两个不等实根 ? 直线 L 与抛物线 C 相交 ? 直线 与抛物线 C 有两个不同的公共点。 若△= b2 ? 4ac =0 ? 方程(*)有两个相等的实根 ? 直线 L 与抛物线 C 相切 ? 直 线与抛物线 C 只有一个公共点。 若△= b2 ? 4ac <0 ? 方程(*)无实根 ? 直线 L 与抛物线 C 相离 ? 直线与抛物线 C 无公共点。 注意当直线 L 与抛物线的对称轴平行时, 直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点, 此时直线 L 与抛物线 C 相交, 故直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点时可能相交也 可能相切。 系统掌握求曲线(轨迹)方程的常用方法(直译法、定义法、待定系数法、 动点转移法、参数法等) ;掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质,解答直线 与圆的位置关系的思想方法; 熟练掌握圆锥曲线的标准方程、 几何性质及其应用; 掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法; 掌握解答解析几何综合问题的思想 方法,提高分析问题和解决问题的能力。 2、合理选择适当方法优化解题过程: 数学的解题过程一般是由理解问题开始,经过探讨思路,转化问题直至解决 问题题目的意思至为重要, 然后我们才能分解问题,把一个复杂的问题转化成几 个简单的熟悉的问题,通过逐步分解,进而解决问题。所以在解题前,首先我们 应该从全方位、多角度的分析问题,根据自己的知识经验,适时的调整分析问题 的角度, 再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型,找 到一个正确的简便的解题方法。 合理选择方法,提高运算能力。解析几何问题的一般思路易于寻找,但运算 量大,所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量.通常减少运算量 的方法有合理建立坐标系;充分利用定义;充分利用平面几何知识;整体消元法 等。

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对圆锥曲线的基础知识首先要扎实,关于解题技巧可以考虑下面几点: ① 某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题; ②与弦有关问题多数要用韦达定理; ③与中点有关问题多数要用“点差法”; ④计算能力一定要过硬,要有“不怕 麻烦的劲头”; ⑤与角度,垂直有关问题,要恰当运用“向量”的知识。 直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题, 也是考试中容易出大题的 考点。 解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线截圆锥 曲线就会在曲线内形成弦,这是一个最大的出题点,根据弦就可以涉及到弦长; 另外直线和圆锥曲线有交点, 涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题,若是再和 交点、 原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题。解析几何就是利用 代数方法解决几何问题, 因此这些几何上的角度,弦长等一些关系都要转化成坐 标,以及方程的形式。但是问题的本质还是几何问题,因此更多的利用圆锥曲线 的几何性质可以化简计算。 比如,在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方 法, 因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做,这样会比直接利用直线的夹角 公式计算要稍简单一些。 这类题的计算量一般会比较大,在解题时可以使用一些小技巧简化计算。比 如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。 利用第二定义就 可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离, 而且一般情况下直线还是 垂直于 x 轴或 y 轴的, 这样直接就和坐标联系上了,这种方法在圆锥曲线中含有 参数的时候还是挺好使的,一般在答题中应用不多,小题中会有不少应用,因此 还是要掌握好第二定义。 3、解题中应避免的误区: 在“圆锥曲线”内容中, 为了研究曲线与方程之间之间的各种关系,引进了 一些基本概念和数学方法,例如“圆锥曲线”,“曲线的方程”等概念,函数与 方程的数学思想、数形结合思想、回归定义等方法,对于这类特定的概念理解不 准确,对这些方法的掌握存在某些缺陷,解题时就容易进入误区。 对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆 中,与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数一定要大于 2a ,当常数 等于 | F1F2 | 时,轨迹是线段 | F1F2 | ,当常数小于 | F1F2 | 时,无轨迹;双曲线中, 与两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于

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| F1F2 | ,定义中的“绝对值”与 2a < | F1F2 | 不可忽视,若 2a = | F1F2 | ,则轨迹是以 F1 , F2 为端点的两条射线,若 2a > | F1F2 | ,则轨迹不存在,若去掉定义中的绝对值
则轨迹仅示双曲线的一支。 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、 点线距为分母”,其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上 的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系, 要善于运用第二定义对它们进 行相互转化。 在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F1 , F2 的位置,是 椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a、b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件; 在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向。 判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意:直线与双曲线、抛物线只有一 个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点。 二、圆锥曲线题型的常用解法: 1、定义法: (1) 椭圆有两种定义。 第一定义中, r1+r2=2a。 第二定义中, r1=ed1 r2=ed2。

(2)双曲线有两种定义。第一定义中, r1 ? r2 ? 2a ,当 r1>r2 时,注意 r2 的 最小值为 c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常 将半径与“点到准线的距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛 物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法: 因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问 题常转化为方程组关系问题, 最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判 别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用 韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

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3、设而不求法: 解析几何的运算中, 常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问 题得以解决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相 交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点 与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法。 点差法(中点弦问题) :设 A? x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? , M ?a, b? 为椭圆 弦 AB 中点,
x y x y 则有 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得 4 3 4 3
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1的 4 3

?x

2

1

? x2 4

2

? ? ?y

2

1

? y2 3

2

? ? 0,

?

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ?
4

??

? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
3

? k AB = ?

3a 。 4b

(1)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则 a2 b2



x0 y 0 ? k ? 0; a2 b2

(2)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则 a2 b2



x0 y 0 ? k ? 0; a2 b2

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p。

4、数形结合法: 解析几何是代数与几何的一种统一, 常要将代数的运算推理与几何的论证说 明结合起来考虑问题, 在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观 性, 尤其是将某些代数式子利用其结构特征, 想象为某些图形的几何意义而构图, 用图形的性质来说明代数性质。 如 “2x+y” , 令 2x+y=b, 则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距; 如 “x2+y2” , 令 x2 ? y2 ? d , 则 d 表示点 P (x, y) 到原点的距离; 又如 “
y?3 y?3 ” , 令 =k, x?2 x?2

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则 k 表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜率??

5、参数法: (1)点参数:利用点在某曲线上设点(常设“主动点” ) ,以此点为参数, 依次求出其他相关量,再列式求解。如 x 轴上一动点 P,常设 P(t,0) ;直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P(x1,y1)外,也可直接设 P(2y,-1,y1) ( 2 ) 斜 率 为 参 数 : 当 直 线 过 某 一 定 点 P(x0,y0) 时 , 常 设 此 直 线 为 y-y0=k(x-x0),即以 k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。 (3)角参数:当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆 与椭圆上的动点问题。

6、代入法: 这里所讲的“代入法” ,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题: “已知条件 P1,P2 求(或求证)目标 Q” ,方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1,方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设,代入 P1,P2, 这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选 择简易的代入法。

二、知识考点深入透析
一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析:
试 题 相 关 知 识 椭圆,抛物线,直线, 2012 年 椭圆的标准方程、直线方程。 (20) 轨迹方程,抛物线,求轨迹; 2011 年 最值问题; (21) 直线相关知识; 解方程组 年 份 问题类型 备注 (1)求椭圆的标准方程; (2)与直线、抛物线相结合,相切知识, 求直线方程。 (1)求轨迹方程(射线及抛物线方程); (2)最值问题(求最小值,及此时点的 坐标); (3)参数的取值范围(直线与抛物线结 合,求直线斜率的取值范围)

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2010 年 (21) 切线方程(求导法); 两种距离公式; 分析法证明;裂项求和知识; 椭圆、圆; 2009 年 点与圆的位置关系判断; (19) 椭圆、抛物线; 2008 年 切线方程(求导法) (20) 向量的数量积(垂直问题) 一元二次方程解的个数 (判别式) 圆、椭圆及定义; 2007 年 两点间的距离公式; (19) 解方程组; 曲线: y ? nx2 即抛物线; (1)求切线方程及特殊点的坐标; (2)最值问题(最大值时,求某点的坐 标); (3)证明不等式成立 (1)求方程(椭圆的方程); (2)求三角形的面积; (3) 存在性问题 (是否存在圆包含椭圆) (1)求方程(椭圆及抛物线的方程); (2)探究性问题(存在点 P 使得三角形 为直角三角形,点 P 的个数) (1)求方程(圆的方程); (2)存在性问题(存在点与距离相等问 题)。

二、圆锥曲线试题研究:
1、曲线类型:以椭圆、抛物线为主,结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。

2、试题特点: (1)综合性; (4)新颖性;

(2)抽象性; (5)问题的连惯性;

(3)动态性; (6)含参数。

3、试题中的问题类型: (1)求方程或轨迹类型:常在第一问中设置,以圆及圆锥曲线的方程为主; (2)与最值相关的类型:按题意要求,满足最大或最小值时,求某点或某知识; (3)存在性类型:据题意,判断是否存在点或图形满足题意,要说明理由; (4)探究性类型:根据题意,探究问题的多样性; (5)证明类型:根据给定条件,证明不等式或等式成立; (6)取值范围类型:设置参数,根据题意,求参数的取值范围或求其它的取值 范围。

4、解题常用的知识要点: (1)各圆锥曲线的知识,特别是椭圆、抛物线的定义;

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(2)圆、直线的相关知识,特别是直线的斜率知识; (3)求曲线轨迹的方法; (4)与最值相关的两种距离:点到直线的距离及两点间的距离; (5)一元二次方程(组)及不等式的相关知识:判别式,韦达定理,解方程组, 均值定理等; (6)与导数相关的知识,特别是求切线方程的知识。

5、常用的数学思想: (1)数形结合;

(2)分类讨论。

三、圆锥曲线之高考链接
2012 文 20、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程.
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 a 2 b2

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2011 文 21、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | ? | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的取值范围.

2010 文 21、 (本小题满分 14 分) 已知曲线 Cn:y ? nx2 , 点 Pn x (n y , n( )xn 0 , y ? ) n0

?

是曲线 Cn 上的点 (n ? 1, 2…).

(1) 试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程, 并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O(0, 0) 到 ln 的距离与线段 PnQn 的长度之比取得最大值,试求试点 Pn 的坐标 ( xn , yn ); (3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 Pn 的 坐标,

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证明: ?
n ?1 s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks (s ? 1, 2,…)

2009 文 19、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
3 ,两个焦点分别为 2

F1 和 F2 , 椭 圆

G

上 一 点 到 F1 和 F2 的 距 离 之 和 为

12. 圆

Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak .
(1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?Ak F1F2 的面积;

(3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由。

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2008 文 20、 (本小题满分 14 分) 设 b ? 0 ,椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 6 所 2 2 2b b

示,过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛 物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请 指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点 的坐标) .
y F G F1 A O 图6 B x

2007文19、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 x2 y 2 y ? x 相切于坐标原点 0.椭圆 2 ? ? 1 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离 a 9 之和为10. (1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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四、基础知识专项训练
1、圆锥曲线的定义: (1)方程 ( x ? 6)2 ? y 2 ? ( x ? 6)2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是 ( 2 )已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? 是 。 。

x2 上一动点 p ( x, y ) , 则 y+|PQ| 的最小值 4

2、圆锥曲线的标准方程: (1)方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示椭圆的充要条件是什么? (2)已知方程
x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为 3? k 2?k



(3 )若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是 _ 是 。 提示:应用线性规划方法解。

, x 2 ? y 2 的最小值

(4)方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?

(5)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为 。

(6)定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。

3、圆锥曲线焦点位置的判断: (首先化成标准方程,然后再判断) 2 2 x y 已 知 方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围 m ?1 2 ? m 是 。

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4、圆锥曲线的几何性质: x2 y2 10 (1)若椭圆 ? ,则 m 的值是 ? 1 的离心率 e ? 5 m 5



(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆 长轴的最小值为 。

(3)双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于



(4)双曲线 ax2 ? by 2 ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = 提示:应用离心率的第二道公式。



x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹 a2 b2 角(锐角或直角)θ 的取值范围是 。

(5)设双曲线

(6)设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为



5、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范 围是 。

( 2 ) 直 线 y ― kx ― 1=0 与 椭 圆 是 。

x2 y 2 ? ?1 恒有公共点,则 m 的取值范围 5 m

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4, 1 2 则这样的直线有 条。

(3)过双曲线

(4)过点 (2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有

条。

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(5)过点(0,2)与双曲线 围为 。
x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范 9 16

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4, 2 则满足条件的直线 l 有 条。

(6)过双曲线 x 2 ?

(7)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y0 2 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内 部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置 关系是 。

(8)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 1 1 的长分别是 p 、 q ,则 ? ? 。 p q

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、 16 9 右支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为 (填大 于、小于或等于)。

(9)设双曲线

(10)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离。

(11)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?

6、弦长公式: (1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于 。

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(2)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐 标原点,则Δ ABC 重心的横坐标为 。

(3)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰为双曲线 12 x2 ? 4 y 2 ? 3 的右焦点,过
3 抛物线的焦点且倾斜角为 ? 的直线交抛物线于 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两点,则 4
| y1 ? y2 | 的值为(

) B. 4 C. 4 2 D. 8

A. 2

7、圆锥曲线的中点弦问:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 b2 x x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ;在双 a b a y0 曲线

b 2 x0 x2 y 2 ? ? 1 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ;在抛物线 P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0
x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程 36 9 。

(1)如果椭圆 是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 a 2 b2 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为 。

(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆

( 3 )试确定 m 的取值范围,使得椭圆
y ? 4 x ? m 对称。

x2 y2 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 4 3

( 4 ) 抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程 是 。

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特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解 有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 8、动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ; 已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4, 求 P 的轨迹方程。

②待定系数法: 已知所求曲线的类型, 求曲线方程――先根据条件设出所求曲线 的方程,再由条件确定其待定系数。 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积 为 2m ,以 x 轴 为对 称轴,过 A 、 O 、 B 三点作抛 物线 ,则此 抛物线方程 为 。

③定义法: 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程; (1)由动点 P 向圆 x2 ? y 2 ? 1作两条切线 PA、 PB, 切点分别为 A、 B, ∠APB=600, 则动点 P 的轨迹方程为 。

(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨 迹方程是 。

(3) 一动圆与两圆⊙M: x 2 ? y 2 ? 1 和⊙N: x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则 动圆圆心的轨迹为 。

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④代入转移法:动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入 已知曲线得要求的轨迹方程; 动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点, 定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为 。
? ??

⑤参数法:当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点 可用时,可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数 得普通方程)。 (1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N, 在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。



(2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程 。

(3)过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的 中点 M 的轨迹方程是 。

9、与向量相关的题: y2 ? 1的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则 (1)已知双曲线 x 2 ? 2 点 M 到 x 轴的距离为( ) 4 5 2 3 A B C D 3 3 3 3

? ? ? ? ? ( 2 ) 已 知 i , j 是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 , 设 a = ( x ? 3)i ? yj , ? ? ? ? ? ? b = ( x ? 3)i ? yj ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹。

(3)已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点,OA ? OB ? 0 ,点 C 坐标 为(0,2p) ,

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① 求证:A,B,C 三点共线; ② 若 AM = ? BM ( ? ? R )且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。

10、圆锥曲线中线段的最值: (1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 。

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。

(3)F 是椭圆 动点。

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一 4 3

① PA ? PF 的 最 小 值 为 为 。

; ② PA ? 2 PF 的 最 小 值

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11、焦半径题(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离) :利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 (1)已知椭圆 距离为 。
x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的 25 16

(2)已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛 物线的焦点的距离等于 。

(3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为



x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍, 25 9 则点 P 的横坐标为 。

(4)点 P 在椭圆

(5)抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是 5, 则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为 。

( 6)椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) , F 为右焦点,在椭圆上有一点 M ,使 4 3 。 MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为

12、焦点三角形题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) : ? 对于椭圆 S ? b2 tan ? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值 2 为 bc; b2 对于双曲线 S ? 。 ? t an 2

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(1)短轴长为 5 ,离心率 e ?
2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆 3

于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为



(2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若

PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为



x2 y 2 → ·PF → <0 时, ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF 2 1 9 4 点 P 的横坐标的取值范围是 。

(3)椭圆

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的 2 直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB

(4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=





( 5 )已知双曲线的离心率为 2 , F1 、 F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? , S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程。 13、了解其它结论:
2 2 2 2 (1)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为 x 2 ? y 2 ? 0 ;

b a b 2 2 b x (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 2 ? y 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程 a a b

a

为 x 2 ? y 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0);
a b

2

2

(3) 中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 (焦点到相应准线的距离)为
2b 2 ,焦准距 a

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

① | AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ?
2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒 经

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五、解答题专项训练
常用方法:直接法和定义法。
1、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0),求线段 PQ 的中 点的轨迹方程。

2、以抛物线 y 2 ? 8x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨迹方程。

1 , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标系,求出 2 以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程。

3、在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ?

4、已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切, 求动圆的圆心轨迹 C 的方程。

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5、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方 程。

6、设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作 抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点, (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程;

7、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹 方程。

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8、已知平面内一动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1, (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

9、已知圆 C 方程为: x2 ? y 2 ? 4 , (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的 方程;

10、已知椭圆 C:

x2 y2 5 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点 2 3 a b

的距离为 3.(1)求椭圆 C 的方程;

11、已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且该椭圆以抛物线 y 2 ? 16x 的焦点 P 为其一个焦点,以双曲线 准方程;
x2 y2 ? ? 1 的焦点 Q 为顶点。 (1)求椭圆的标 16 9

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12、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
y? 1 2 2 5 x 的焦点,离心率为 .(1)求椭圆 C 的标准方程; 4 5

13 、 已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为 A ? 0,? 1 ? ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.求椭圆的标准方程;

x2 y 2 6 14、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两 a b 3

个焦点构成的三角形的面积为

5 2 .(1)求椭圆 C 的方程; 3

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x2 y 2 15 、 已 知 椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 一 个 焦 点 为 F1 ? 3, 0 , 而 且 过 点 a b
1? ? H ? 3, ? .(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; 2? ?

?

?

16、已知椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,且经过点 A(2 , 3) . 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程;

17、已知双曲线 C1 : x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 与椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点 F1 , F2 , a 2 b2

点 N ( 2,1) 是它们的一个公共点.(1)求 C1 , C2 的方程;

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x2 y 2 3 ? 2 ? 1? 0 ? b ? 2 ? 的 离 心 率 等 于 18 、 已 知 椭 圆 C1 : , 抛 物 线 C2 : 4 b 2

(1)求抛物线 C2 的方程; x2 ? 2 py ? p ? 0? 的焦点在椭圆的顶点上。

19、已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,直线 L : y ? x ? 2 与以原 a2 b2 3

点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程;

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附录:圆锥曲线之高考链接参考答案
2012 文 20、解: (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 , 点 P(0,1) 代入椭圆
1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 b a b

x2 所以 a ? b ? c ? 2 ,所以椭圆 C1 的方程为 ? y 2 ? 1. 2
2 2 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,因为直线 l 与 ?2 ? y ? kx ? m ?
椭圆 C1 相切, 所以 ? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 , 整理得 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0
? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 。 ? y ? kx ? m ?



因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2 m2 ? 0 ,整理得 km ? 1 ②
? ? 2 2 ?k ? ?k ? ? 综合①、②,解得 ? 2 。 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?

所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 。 2 2

2011 文 21、解: (1)如图 1,符合 ?MPO ? ?AOP 的点 M 可以在 PO 的左侧和 右侧。 当 M 在 PO 左侧时,显然点 M 是 PO 垂直平分线与 X 轴的交点, 所以易得 M 的轨迹方程为:y=0(x<-1) , 当 M 在 PO 右侧时, 因 为 M 在 PO
?MPO ? ?AOP ,所以 PM//x 轴,设 M(x,y),则 P(-2,y),

的 垂 直 平 分 线 上 , 所 以 MP ? MO , 即 :

x?2 ? 2 x

2 ?2 y得: , 4 (x ? 1 ( ) ? y ? ?1) , x

综上所述:当点 P 在 l 上运动时,点 M 的轨迹 E 的方程为:

34

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
y=0(x<-1) 和 4x ? 4 ? y 2 (x ? ?1) 如图:
y X=-2 P M A O x

M

(2)当 H 在方程 y=0(x<-1)运动时,显然 HO ? HT ? CO ? CT 当 H 在方程 4x ? 4 ? y 2 (x ? ?1) 上运动时,HO ? HT ? HP ? HT ,由图知当 P,H,T 三 点 共 线 时 , HP ? HT取得最小值,即 HO ? 取得最小值,显然此时 HT

HO ? HT ? CO ? CT ,
当 PT 直线与 x 轴平行时,PT 直线与曲线 E 的交点即为所求的 H,设 H(x,-1), 4 4 因为 H 在 4x ? 4 ? y 2 上,得 x= ? ,所以 H( ? ,-1), 3 3 4 综上所得: ( HO ? HT )min=1-(-2)=3。H( ? ,-1); 3 (3)设直线 l1:y+1=k(x-1),联立 4x ? 4 ? y 2 得: k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2k ? 2) x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 当 k=0 时,显然只有一个交点,不成立。 当 k ? 0 时, ? ? 16(2k 2 ? k ? 1) ? 0恒成立。 所以当 k ? 0 时,直线 l1 与轨迹 E 至少 有两个交点。
?1 ? 0 1 ?? 1? ( ? 1) 2 1 ( ? ?, ? ] (0, ? ?) 由图可知,当直线 l1 与轨迹 E 有且仅有两个交点时,k ? 2

可见 l1 与 y=0(x<-1) 不能有交点,当直线 l1 过点 C 时,k=

2010 文 21、解: (1)∵ y? ? 2nx ,∴ k ? 2nxn , 切线 ln 的方程为 y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) ,
2 2 2 2 2 令 x ? 0 得, y ? ?2nxn ,即 Qn (0, ?nxn ? yn ? ?2nxn ? nxn ? ?nxn )。 2 (2)切线 ln 的方程可写成: 2nxn x ? y ? 2nxn ? yn ? 0 ,

35

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
原点 O(0, 0) 到 ln 的距离为 d ?
2 yn ? 2nxn

(2nxn )2 ? 1

?

2 nxn 2 4n2 xn ?1



2 2 2 2 ? (2nxn ) ? xn 1 ? 4n 2 xn 线段 PnQn 的长度为 PnQn ? xn ,

故,

nxn d 1 1 ? ? ? , 2 2 1 PnQn 1 ? 4n xn 4 ? 4nxn nxn
1 1 时取等号“=” , ? 4nxn ,即 xn ? 2n nxn

当且仅当

2 ? 此时 yn ? nxn

1 1 1 ,点 Pn 的坐标为 ( , ) 。 4n 2n 4n

36

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
2009 文 19、解: (1)设椭圆 G 的方程为:
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c, a 2 b2

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 则?c , 解得 , ?b2 ? a 2 ? c2 ? 36 ? 27 ? 9 , 所求椭圆 G 的方程 ? 3 ? ?c ? 3 3 ? ? 2 ?a
为 :
x2 y 2 ? ?1 36 9

.

( 2 ) 点

AK

的 坐 标 为

? ? K , 2?



1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

(3)若 k ? 0 ,由 62 ? 02 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k ? 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外, 若 k ? 0 ,由 (?6)2 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k ? 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.。
2008 文 20、解: (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?
1 2 x ?b, 8

当 y ? b ? 2 时, x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4,b ? 2) ,
y? ? 1 x , y? |x ?4 ? 1 ,过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 ,即 y ? x ? b ? 2 , 4

令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ;
0) ,? 2 ? b ? b ,即 b ? 1 , 由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b,

x2 因此,所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) . 2

( 2 ) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , ? 以 ?PAB 为直角的 Rt△ ABP 只有一个, 同理以 ?PBA 为直角的 Rt△ ABP 只有一个;若以 ?APB 为直角,设 P 点的坐标为
? 1 2 ? ? x, x ? 1? ? 8 ?
2





A,B
2











(?

,, 2 0, ) , (

由 2

0

)

1 5 ?1 ? AB AB ? x ? 2 ? ? x2 ? 1? ? 0 得 x 4 ? x 2 ? 1 ? 0 , 64 4 ?8 ?

关于 x 2 的一元二次方程有一解,? x 有二解,即以 ?APB 为直角的 Rt△ ABP 有二 个;

37

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
因此抛物线上共存在 4 个点使 △ ABP 为直角三角形. 2007文19、解:(1)设圆的方程为 ( x ? s)2 ? ( y ? t )2 ? 8 ?????????2分 | s ?t | 依题意 s 2 ? t 2 ? 8 , ? 2 2 , s ? 0, t ? 0 ????5分 2 解得 s ? ?2, t ? 2 , 故所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ???????? 7 分 (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!) x2 y 2 2 a ? 10 ? a ? 5 ? ?1 ,焦点 (2) 由 椭 圆 的 第 一 定 义 可 得 ,故椭圆方程为 25 9 9分 F ( 4 , 0 ?? ) 设 , 依 题 意 , Q( x0 , y0 ) ( x0 ? 4)2 ? y02 ? 16

( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2 ? 8 ???????11分 4 12 解得 x0 ? , y0 ? 或 x0 ? 0, y0 ? 0 (舍去) ????????13分 5 5 4 12 存在 Q( , ) ??14分 5 5

附录:基础知识专项训练参考答案
1、圆锥曲线的定义: (1)双曲线的左支; (2)2; 2、圆锥曲线的标准方程:
1 1 (2) (?3, ? ) (? , 2) ; 2 2 (3) 5, 2 ;提示:应用线性规划方法解。 (4)ABC≠0,且 A,B 异号; 5 (5) x2 ? y 2 ? 6 ; (6) ; 4 3、圆锥曲线焦点位置的判断: (首先化成标准方程,然后再判断) 3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ; 2 4、圆锥曲线的几何性质: 25 13 13 (1)3 或 ; (2) 2 2 ; (3) 或 ; 3 2 3 1 (4)4 或 ;提示:应用离心率的第二道公式。 4 ? ? 1 (5) [ , ] ; (6) (0, ); 3 2 16 a 5、直线与圆锥曲线的位置关系: ? 4 4 5? ? 15 ? (1) (,-1); (2) [1, 5) ∪ (5, +∞) ; (3) 3;(4) 2; (5)? ? , ? ?; 3 3 3 ? ? ? ?

(1)ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B;

38

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
(6)3;(7)相离; (8)1; (9)等于;(10) ② a ? ?1 。 6、弦长公式: (1)8 ; (2)3 ; (3)C 7、圆锥曲线的中点弦问: (1) x ? 2 y ? 8 ? 0 ; (2)
? 2 13 2 13 ? 1 1 2 x ? ( y ? ); ? , ; (3)? ; ( 4 ) ? ? 13 ? 2 2 13 2 ? ?

8 13 ;(11)① ? 3, 3 ; 13

?

?

8、动点轨迹方程: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ;

y 2 ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) ; ②待定系数法: y 2 ? 2x ; ③定义法:(1) x2 ? y 2 ? 4 ; (2) y 2 ? 16 x ;(3)双曲线的一支;
④代入转移法: y ? 6 x 2 ? ;
1 ⑤参数法:(1) x2 ? y 2 ? a | y | ; (2) y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) ; (3) x2 ? 2 y ? 2 ; 2
1 3

9、与向量相关的题: (1)C (2)解:

b ? i ? ( x ? 3)i 2 ? yi ? j ? x ? 3 ,∴ x ? 3 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ,化简

得 y 2 ? 4 3x , 故,点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x ? ? 3 为准线的抛物线。 x2 x2 (3)① 证明:设 A( x1 , 1 ), B( x2 , 2 ) ,由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p 2 2 x2 x 2 ? x12 x x ) x1 x2 ? 1 2 ? 0,? x1 x2 ? ?4 p 2 ,又 AC ? (? x1 , 2 p ? 1 ), AB ? ( x2 ? x1 , 2 2p 2p 2p 2p

x22 ? x12 x12 ?? x1 ? ? (2 p ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,? AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 2p 2p
② 解:由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 OM ? AB ? 0 及 AM = ? BM ( ? ? R ) 知 OM?AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即 点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0,y?0)。 10、圆锥曲线中线段的最值: 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发 现,当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共 线时,距离和最小。
1 解: (1) (2, 2 ) (2) ( ,1 ) 。 4
A Q H P F B

39

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
(3)解:① 4- 5 , 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ? ,
y A F 0 ′ F P H x

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5 ,
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。

② 3 ,作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?
1 PH ,即2 PF ? PH 2

1 , 2

,∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH
a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

11、焦半径题(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离) :利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 35 25 2 6 (1) ; (2) 7 ; (3)(2, ?4) ; (4) ; (5) 2 ; (6)( ,?1) ; 3 12 3 12、焦点三角形题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) : 2 x y2 3 5 3 5 (1) 6 ; (2)x2 ? y2 ? 4 ; (3)(? , ) ;(4)8 2 ;(5) ? ? 1 。 4 12 5 5

附录:解答题专项训练参考答案
1、解:设线段 PQ 的中点坐标为 M(x,y) ,由 Q(4,0),得点 P(2x-4,2y) , 2 2 2 2 代入圆的方程 x +y =4, 得(2x-4) +(2y) =4, 整理可得 所求轨迹为(x-2)2+y2=1.
x ?6 ? x? 0 ? ? x0 ? 2 x ? 6 ? 2 2、解:设点 M ( x0 , y0 ), P( x, y) ,则 ? ,∴ ? . ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2
2 代入 y0 ? 8x0

得: y 2 ? 4 x ?12 . 此即为点 P 的轨迹方程.

3、解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设 P( x , y) .

40

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
? y ? x ? c ? ?2, ? 1 ? y ? , ? x ? c 2 ? ?cy ? 1. ? ?



5 ? x? ? ? 3c ∴? ? y ? 4 c且c ? 3 ? 2 ? 3

即 P(

5 2 3

,

2 ) 3



4 ? 25 ? 2 15 ? 2 ? 1, 2 ? ?12a 3b ?a ? , 得 ? 4 ? ?a 2 ? b 2 ? 3 , ?b 2 ? 3. ? ? 4 ?

∴所求椭圆方程为

4x2 y 2 ? ?1 . 15 3

4、解:设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF ? MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x . 5、解:设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标
k 2 ?1 2k 8(k 2 ? 1) /( 16k ,? 2 , 2 分别为:A ( 2 ) ,B ) 。因为 A/、B/均在抛物线上, 2 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
/

代入,消去 p,得:k2-k-1=0.解得:k=

1? 5 2 5 ,p= .所以直线 L 的方程为: 2 5

y=

1? 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5

2 6、解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x12 )((x1 ? x0 ) , 2 ∴ 切 线 AP 的 方 程 为 : 2x0 x ? y ? x0 ? 0;

切 线 BP 的 方 程 为 :

2x1 x ? y ? x12 ? 0;
解得 P 点的坐标为: x P ?

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x0 ? x1 ? x P ? xP , 3
2

所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ?

2 y ? y1 ? y P x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 x P ? y p yG ? 0 ? ? ? , 3 3 3 3

2 所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程

41

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
为:
1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3

7、 分析: 作图时, 要注意相切时的 “图形特征” : 两个圆心与切点这三点共线 (如 图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径” (如图中的 MC ? MD ) 。 7、解:如图, MC ? MD ,∴ AC ? MA ? MB ? DB即6 ? MA ? MB ? 2 , ∴ MA ? MB ? 8 (*)

y M D C 5 x

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为
x2 y2 ? ?1 16 15

A

0B

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,
2 2 即列出 ( x ? 1) ? y ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推

导了一遍,较繁琐!

8. 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? | x |? 1. 化简得 y 2 ? 2x ? 2 | x |, 当 x ? 0时, y 2 ? 4x;当x ? 0时,y=0.

所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y 2 ? 4x( x ? 0)和y=0(x ? 0). 9. 解: (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交 点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离为 2 3 满足题意 ?1 分 ②若直线 l 不垂直于 x 轴, 设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

? ? ?

?

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 3 | ?k ? 2 | ∴1 ? ,k ? , 4 k 2 ?1 故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1

?c 5 ? ? a 3 ? ? 10. 解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ?a ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
? b ? 2 , ? 所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 9 4

42

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
11.解: (1)抛物线 y 2 ? 16x 的焦点 P 为 (4, 0) ,双曲线
(5, 0)

x2 y2 ? ? 1 的焦点 Q 为 16 9

∴可设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,由已知有 a ? b ? 0 ,且 a ? 5 , c ? 4 a 2 b2

x2 y 2 ?1。 ∴ b ? 25 ? 16 ? 9 ,∴椭圆的标准方程为 ? 25 9
2

12.解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 ( a >b >0 ) , a 2 b2

抛物线方程化为 x2 ? 4 y ,其焦点为 (0,1) , 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) , 即 b ?1 由e ?

c a 2 ? b2 2 5 ,∴ a 2 ? 5 , ? ? a a2 5
x2 ? y2 ? 1 5 x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F 2 a

所以椭圆 C 的标准方程为

13.解: (1)依题意可设椭圆方程为

?

a 2 ? 1,0

?

a2 ?1 ? 2 2
由题设

2

? 3 ,解得 a 2 ? 3 ,

x2 故,所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 3
x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 2 2 2 b 3 14.解: (1)因为 a 满足 a ? b ? c , a
5 1 5 2 ,解得 a 2 ? 5, b 2 ? , ? b ? 2c ? 3 2 3

,

则椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 5 5 3
3 1 ? 2 ? 1,解得 a2 ? 4, b2 ? 1 , 2 a 4b

15.解: (Ⅰ)解法一:由题意得 a 2 ? b 2 ? 3 ,

43

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
x2 所以椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1. 4

解法二:椭圆的两个交点分别为 F1 ? 3, 0 , F2 由椭圆的定义可得 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? 所以椭圆 E 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 4

?

? ?

3, 0 ,

?

7 1 ? ? 4 ,所以 a ? 2 , b2 ? 1 , 2 2

16.解: (1)依题意, e ?

3 a2 ? b2 1 ? , 从而 b 2 ? a 2 4 a 2 4 9 点 A(2 , 3) 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1 , 解得 a 2 ? 16 , b 2 ? 12 a b

c ? a

椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 . 16 12

17. 解: (1) 点 N( 2 1 ) ,

是双曲线 C1 : x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 上的点, ?m ? ( 2)2 ?1 ? 1 .

∴双曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1, 从而 F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) , ∴ a 2 ? b2 , 且 a 2 ? b2 ? 2 ① 2 1 又点 N ( 2,1) 在椭圆上,则 2 ? 2 ? 1 ② a b x2 y 2 ? 1. 由①②得 a2 ? 4, b2 ? 2 , 所以,椭圆的方程为 ? 4 2 18 .解: ( 1 )已知椭圆的长半轴为 2 ,半焦距为 c ? 4 ? b2 ,由离心率等于

c 4 ? b2 3 e? ? ? a 2 2 2 ?b ? 1 ,? 椭圆的上顶点 ? 0,1? ,

? 抛物线的焦点为 ? 0,1? ,? 抛物线的方程为 x2 ? 4 y
c2 a2 ? b2 3 1 ,∴ e 2 = 2 = = ,∴ 2a 2 ? 3b 2 . a2 a 3 3

19.解: (1)∵ e ?

∵直线 L : y ? x ? 2 与圆 x2 ? y2 ? b2 相切,∴ b ? 2 , b2 ? 2 ,∴ a 2 ? 3 . ∴椭圆 C1 的 方程是
x2 y2 ? ? 1. 3 2

44


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