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2016年浙江省杭州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

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浙江省杭州市 2016 年高考数学二模试卷(文科)(解析版)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.设集合 A={x|x2﹣2x≤0},B={y|y=x2﹣2x},则 A∩B=( A.[﹣1,2] B.[0,2] C.[﹣1,+∞) D.[0,+∞) )

2.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,且俯视图为正三角形,则该几何体的体积 等于( )

A.3

cm3 B.6

cm3 C.

cm3

D.9

cm3 )

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则“a2>0 且 a1>0”是“数列{Sn}单调递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若直线 x=m(m>1)与函数 f(x)=logax,g(x)=logbx 的图象及 x 轴分别交于 A,B, C 三点,若 =2 ,则( )

A.b=a2 B.a=b2 C.b=a3 D.a=b3 5.函数 f(x)=3sin A.5 B. C. D.2 (x∈R)的最大值等于( )

6.△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D 是 AB 的中点,E,F 分别是边 BC、AC 上的动 点,且 EF=1,则 A. B. C. 的最小值等于( D. )

7.设双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的顶点为 A1,A2,P 为双曲线上一点,直线

PA1 交双曲线 C 的一条渐近线于 M 点,直线 A2M 和 A2P 的斜率分别为 k1,k2,若 A2M⊥ PA1 且 k1+4k2=0,则双曲线 C 离心率为( )

A.2

B.

C.

D.4

8.设函数 f(x)与 g(x)的定义域为 R,且 f(x)单调递增,F(x)=f(x)+g(x),G (x)=f(x)﹣g(x).若对任意 x1,x2∈R(x1≠x2),不等式[f(x1)﹣f(x2)]2>[g (x1)﹣g(x2)]2 恒成立.则( A.F(x),G(x)都是增函数 ) B.F(x),G(x)都是减函数 D.F(x)是减函数,G(x)是增函数

C.F(x)是增函数,G(x)是减函数

二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分) 9.计算:2log510+log5 = 10.设函数 f(x)=2sin(2x+ 间是 . ,2 = . ;单调递增区

)(x∈R),则最小正周期 T=

11.在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 B1D1 所成角的余 弦值等于 ,若正方体边长为 1,则四面体 B﹣EB1D1 的体积为 .

12.若实数 x,y 满足

,则 x 的取值范围是

,|x|+|y|的取值范围





13.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦 AB 中点 M 作准线 l 的垂线,垂足为 M1,则 的最大值为 . . }的解集

14.设实数 a,b 满足 0≤a,b≤8,且 b2=16+a2,则 b﹣a 的最大值为 15.定义 min{a,b}= 是 . ,则不等式 min{x+ ,4}≥8min{x,

三、解答题(共 5 小题,满分 68 分)

16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 msinA=sinB+sinC(m∈R). (I)当 m=3 时,求 cosA 的最小值; (Ⅱ)当 A= 时,求 m 的取值范围.

17.在底面是正三角形的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AA1⊥平面 ABC,E,F 分别为 BB1,AC 的中点. (1)求证:BF∥平面 A1EC; (2)若 AA1=2 ,求二面角 C﹣EA1﹣A 的大小.

18.设公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 列. (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; (2) 设 bn= 的大小. 19.设函数 f(x)=|x2﹣a|﹣ax﹣1(a∈R). tn= ,





成等比数

Tn 分别为数列{bn}, , 且 Bn, {tn}的前 n 项和, 比较 Bn 与 Tn+

(I)若函数 y=f(x)在 R 上恰有四个不同的零点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)在[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式. 20.设抛物线 Γ:y2=2px(p>0)上的点 M(x0,4)到焦点 F 的距离|MF|= (1)求抛物线 Γ 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与抛物线 T 相交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 l′与抛物线 Γ 相交于 C,D 两点,若 =0,求直线 l 的方程. .

2016 年浙江省杭州市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.设集合 A={x|x2﹣2x≤0},B={y|y=x2﹣2x},则 A∩B=( A.[﹣1,2] B.[0,2] C.[﹣1,+∞) D.[0,+∞) )

【分析】分别求出集合 A、B 的范围,取交集即可. 【解答】解:∵集合 A={x|x2﹣2x≤0}=[0,2], B={y|y=x2﹣2x}={y|y≥﹣1}, 则 A∩B=[0,2]. 【点评】本题考查了解不等式问题,考查集合的运算,是一道基础题.

2.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,且俯视图为正三角形,则该几何体的体积 等于( )

A.3

cm3 B.6

cm3 C.

cm3

D.9

cm3

【分析】由三视图可知:该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体. ∴该几何体的体积 V= 故选:C. 【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱柱与三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. ×4﹣ = cm3.

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则“a2>0 且 a1>0”是“数列{Sn}单调递增”的(



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】设等差数列{an}的公差为 d,d≠0.可得:Sn=na1+ d=



,数列{Sn}单调递增,可得 d>0,

≤1,因此 d+2a1≥0.由 a2>0

且 a1>0,可得 a2=a1+d>0.即可判断出结论. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,d≠0. Sn=na1+ = n2+ d

=





∵数列{Sn}单调递增, ∴d>0, 可得 d+2a1≥0. 由 a2>0 且 a1>0,可得 a2=a1+d>0. ∴“a2>0 且 a1>0”是“数列{Sn}单调递增”的既不充分又不必要条件. 故选:D. 【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ≤1,

4.若直线 x=m(m>1)与函数 f(x)=logax,g(x)=logbx 的图象及 x 轴分别交于 A,B, C 三点,若 =2 ,则( )

A.b=a2 B.a=b2 C.b=a3 D.a=b3 【分析】根据函数图象,由 =2 ,可知, ,则,则 x=m 时,f(m)=3g(m),

代入函数求值,求得 a、b 的关系. 【解答】解:由函数图象可知由 则 A 的坐标为(m,3g(m)), =2 ,则 ,

将 A 点坐标代入得:logam=3logbm,即 由函数的性质可知 b=a3, 故答案选:C.



【点评】本题考查对数函数的性质及其应用,对函数图象的理解,属于基础题.

5.函数 f(x)=3sin A.5 B. C. D.2

(x∈R)的最大值等于(



【分析】借助二倍角公式和辅助角公式,化简 f(x)为一个三角函数式,由此得到最大值. 【解答】解:∵f(x)=3sin = sinx+2cosx+2= ( sinx+ cosx)+2, = sin(x+φ)+2, 其中 sinφ= ,cosφ= , ∴函数 f(x)的最大值为 , 故选:B 【点评】本题考查函数式的化简,借助二倍角公式和辅助角公式. (x∈R),

6.△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D 是 AB 的中点,E,F 分别是边 BC、AC 上的动 点,且 EF=1,则 A. B. C. 的最小值等于( D. 的坐标,则 可表示为 x )

【分析】建立平面直角坐标系,设 E(x,0),求出 的函数,利用函数的性质得出最小值.

【解答】解:以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系,如图: 则 A(0,4),B(3,0),C(0,0),D( ,2).设 E(x,0),则 F(0, ≤x≤1. ∴ =(x﹣ ,﹣2), =(﹣ , ). ).0



= ﹣

+4﹣2

=



﹣2



令 f(x)=



﹣2

,则 f′(x)=﹣ +



令 f′(x)=0 得 x= . 当 0≤x 时,f′(x)<0,当 <x<1 时,f′(x)>0. .

∴当 x= 时,f(x)取得最小值 f( )= 故选:B.

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,建立坐标系是解题关键,属于中档题.

7.设双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的顶点为 A1,A2,P 为双曲线上一点,直线

PA1 交双曲线 C 的一条渐近线于 M 点,直线 A2M 和 A2P 的斜率分别为 k1,k2,若 A2M⊥ PA1 且 k1+4k2=0,则双曲线 C 离心率为( )

A.2

B.

C.

D.4

【分析】设 P(m,n),即有



=1,即为

=

,由两直线垂直的条件:斜

率之积为﹣1,以及直线的斜率公式,化简整理,结合离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:设 P(m,n),即有 ﹣ =1,

即为

=



由 A1(﹣a,0),A2(a,0),A2M⊥PA1, 可得 PA1 的斜率为 可得 PA2 的斜率为 两式相乘可得, =﹣ ,

=k2=﹣ k1, = ,

即有

= ,即为 b= a,

c= 即有 e= = 故选:B.

=

a, .

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用点满足双曲线的方程,以及直线的斜率 公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

8.设函数 f(x)与 g(x)的定义域为 R,且 f(x)单调递增,F(x)=f(x)+g(x),G (x)=f(x)﹣g(x).若对任意 x1,x2∈R(x1≠x2),不等式[f(x1)﹣f(x2)]2>[g (x1)﹣g(x2)]2 恒成立.则( A.F(x),G(x)都是增函数 ) B.F(x),G(x)都是减函数 D.F(x)是减函数,G(x)是增函数

C.F(x)是增函数,G(x)是减函数

【分析】根据题意,不妨设 x1>x2,f(x)单调递增,可得出 f(x1)﹣f(x2)>g(x1)﹣ g(x2),且 f(x1)﹣f(x2)>﹣g(x1)+g(x2), 根据单调性的定义证明即可.

【解答】解:对任意 x1,x2∈R(x1≠x2),不等式[f(x1)﹣f(x2)]2>[g(x1)﹣g(x2)]2 恒成立, 不妨设 x1>x2,f(x)单调递增, ∴f(x1)﹣f(x2)>g(x1)﹣g(x2),且 f(x1)﹣f(x2)>﹣g(x1)+g(x2), ∴F(x1)=f(x1)+g(x1),F(x2)=f(x2)+g(x2), ∴F(x1)﹣F(x2)=f(x1)+g(x1)﹣f(x2)﹣g(x2) =f(x1)﹣f(x2)﹣(g(x2)﹣g(x1)>0, ∴F(x)为增函数;同理可证 G(x)为增函数, 故选 A. 【点评】考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性.

二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分) 9.计算:2log510+log5 = 2 ,2 = .

【分析】利用对数的运算性质、对数恒等式即可得出. 【解答】解:2log510+log5 = 2 = = . . = =2,

故答案分别为:2;

【点评】本题考查了对数的运算性质、对数恒等式,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题.

10.设函数 f(x)=2sin(2x+ ﹣ ,kπ+ ],k∈Z .

) (x∈R),则最小正周期 T= π ;单调递增区间是

[kπ

【分析】由条件利用正弦函数的周期性和单调性,可得结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(2x+ 令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ )(x∈R),则最小正周期 T= ≤x≤kπ+ , =π,

,求得 kπ﹣

故函数的增区间为[kπ﹣

,kπ+

],k∈Z,

故答案为:π;[kπ﹣

,kπ+

],k∈Z.

【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性,属于基础题.

11.在正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 B1D1 所成角的余 弦值等于 ,若正方体边长为 1,则四面体 B﹣EB1D1 的体积为 .

【分析】取 CC1 中点 F,连接 D1F,B1F,则 BE∥D1F,故∠B1D1F 为异面直线 BE 与 B1D1 所成的角.在△B1D1F 中求出三边长,利用余弦定理或等腰三角形知识求出 cos∠B1D1F, 四面体 B﹣EB1D1 的体积等于三棱锥 D1﹣BB1E 的体积. 【解答】解:取 CC1 中点 F,连接 D1F,B1F,则 BE ∴∠B1D1F 为异面直线 BE 与 B1D1 所成的角. 设正方体棱长为 1,则 B1D1= ,B1F=D1F= = . D1F,

∴cos∠B1D1F=

=



V 故答案为:

=V , .

=

=

= .

【点评】本题考查了正方体的结构特征,空间角的计算,棱锥的体积计算,属于中档题.

12.若实数 x,y 满足

,则 x 的取值范围是 [0,1]

,|x|+|y|的取值范围是

[0,2] .

【分析】由约束条件作出可行域,得到 x 的范围,分类去绝对值得到 z=|x|+|y|,求得不同 情况下的最值,取并集得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

由图可知,0≤x≤1; 当 x≥0,y≥0 时,z=|x|+|y|=x+y 过(1, )时有最大值为 ,过 O(0,0)时有最小值 0; 当 x≥0,y≤0 时,z=|x|+|y|=x﹣y 过(1,﹣1)时有最大值为 2,过 O(0,0)时有最小 值 0. ∴|x|+|y|的取值范围是[0,2]. 故答案为:[0,1],[0,2]. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

13.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且∠AFB=120°,过弦 AB 中点 M 作准线 l 的垂线,垂足为 M1,则 的最大值为 .

【分析】设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF.由抛物线定义得 2|MM1|=a+b,由余弦定理 可得|AB|2=(a+b)2﹣ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答 案. 【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得, |AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab

配方得,|AB|2=(a+b)2﹣ab, 又∵ab≤( )2,

∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣ (a+b)2= (a+b)2 得到|AB|≥ (a+b).

所以



=



即 故答案为:

的最大值为 .



【点评】本题在抛物线中,利用定义和余弦定理求

的最大值,着重考查抛物线的

定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题.

14.设实数 a,b 满足 0≤a,b≤8,且 b2=16+a2,则 b﹣a 的最大值为 4 . 【分析】由题意可知 b2=16+a2,为焦点在 y 轴上的双曲线,设目标函数 b﹣a=t,则当目标 函数经过点 A(0,4),t 的值最大,问题得以解决. 【解答】解:b2=16+a2, 即为 ﹣ =1,

∴顶点坐标为(0,4), 设目标函数 b﹣a=t, 则当目标函数经过点 A(0,4),t 的值最大, 即 t=b﹣a=4,

故 b﹣a 的最大值为 4, 故答案为:4.

【点评】本题考查了双曲线的定义,以及目标函数的最值问题,属于基础题.

15.定义 min{a,b}=

,则不等式 min{x+ ,4}≥8min{x,

}的解集是

. 【分析】由基本不等式可知 的问题. 【解答】解:①当 x>0 时,由基本不等式可知 不等式转化成: ,min{x+ ,4}=4,则 ,min{x+ ,4}=4,转化成求不等式的解集

min{x,

}≤ ,即:



解得:

或 x≥2

②当 x<0,min{x+ ,4}=x+ =﹣[(﹣x)+ [(﹣x)+ ]≥2,

]≥2,

∴min{x+ ,4}≤﹣2, ∴8x≤﹣2,x≤﹣ , ,x≥﹣ ,

综上不等式的解集为 故答案为: ..



【点评】 本题主要考察基本不等式的关系将已知的不等式进行转化, 然后求解, 属于基础题.

三、解答题(共 5 小题,满分 68 分) 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 msinA=sinB+sinC(m∈R). (I)当 m=3 时,求 cosA 的最小值; (Ⅱ)当 A= 时,求 m 的取值范围.

【分析】 (I) 由题意和正弦定理可得 3a=b+c, 再由余弦定理可得 cosA= 由基本不等式可得; (Ⅱ)由题意可得 m= 由 B∈(0, sinB+ sinC,由三角函数公式化简可得 m= sin(B+



),

)和三角函数的值域可得.

【解答】解:(I)∵在△ABC 中 msinA=sinB+sinC, 当 m=3 时,3sinA=sinB+sinC, 由正弦定理可得 3a=b+c, 再由余弦定理可得 cosA=

=

=



=

当且仅当 b=c 时取等号, 故 cosA 的最小值为 ; (Ⅱ)当 A= 故 m= 时,可得 sinC= m=sinB+sinC, sinB+ sin( ﹣B)

sinB+

= = =

sinB+



cosB+ sinB) sinB

sinB+cosB+ sinB+cosB=

sin(B+ ),∴B+

), ∈( ,1], sin , ], =sin = , ),

∵B∈(0, ∴sin(B+ ∴ 由 sin(B+ =cos

)∈(sin )∈( =1﹣2sin2

可解得 sin , ],

∴m 的取值范围为(

【点评】 本题考查三角函数恒等变换, 涉及正余弦定理解三角形和基本不等式以及三角函数 的值域,属中档题.

17.在底面是正三角形的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AA1⊥平面 ABC,E,F 分别为 BB1,AC 的中点. (1)求证:BF∥平面 A1EC; (2)若 AA1=2 ,求二面角 C﹣EA1﹣A 的大小.

【分析】(1)取 A1C 的中点 H,连结 HE,HF,推导出四边形 EBFH 为平行四边形,由此 能证明 BF∥平面 A1EC. (2)设 AB 中点为 G,连结 EG,CG,推导出∠GEC 为二面角 C﹣EA1﹣A 的平面角,由 此能求出二面角 C﹣EA1﹣A 的大小. 【解答】证明:(1)取 A1C 的中点 H,连结 HE,HF, 则 HF∥A1A,HF= A1A, ∴EB∥HF,且 EB=HF,

∴四边形 EBFH 为平行四边形, ∴BF∥EH,且 EH? 平面 A1EC,BF?平面 A1EC, ∴BF∥平面 A1EC. 解:(2)设 AB 中点为 G,连结 EG,CG, ∵CG⊥AB,CG⊥AA1,AB∩AA1=A, ∴CG⊥平面 BAA1B1,∴CG⊥EA1,且 EC=A1E= ∴ +EC2= ,∴EC⊥EA1, ,A1C=2 ,

∵CG∩EC=C,∴EA1⊥平面 EGC,∴EG⊥EA1, ∴∠GEC 为二面角 C﹣EA1﹣A 的平面角, 且 EG=GC= ,EC= ,

∴∠GEC=45°. ∴二面角 C﹣EA1﹣A 的大小为 45°.

【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养.

18.设公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 列. (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; (2) 设 bn= 的大小. 【分析】(1)由等比数列性质得 (a1+3d),由此能求出数列{an}的通项公式及 Sn. tn= ,





成等比数

Tn 分别为数列{bn}, , 且 Bn, {tn}的前 n 项和, 比较 Bn 与 Tn+

,由等差数列通项公式得(a1+d)2=a1

2)由裂项求和法得到 Bn=2(1﹣ 到 Bn<Tn+ .

),由等比数列的性质得到 Tn=2(1﹣

),从而得

【解答】解:(1)设等差数列的公差为 d, ∵公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn, , ∴ , 成等比数列, ,

∴(a1+d)2=a1(a1+3d), 由 d≠0,解得 d=1, ∴an=n,Sn= (2)∵Sn= ∵bn= ,tn= . ,∴ = ,

,且 Bn,Tn 分别为数列{bn},{tn}的前 n 项和, )=2(1﹣

∴Bn=2(1﹣ ∵tn= = ,

),

∴Tn=

=

=2(1﹣

),

∴Tn+ ∴Bn<Tn+

=2, .

【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,考查数列有前 n 项和的大小的比较, 是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.

19.设函数 f(x)=|x2﹣a|﹣ax﹣1(a∈R). (I)若函数 y=f(x)在 R 上恰有四个不同的零点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)在[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

【分析】(I)若函数 y=f(x)在 R 上恰有四个不同的零点,讨论 a 的范围,结合一元二次 函数的图象和性质即可求 a 的取值范围; (Ⅱ)根据一元二次函数的单调性和对称性的关系,进行求解即可. 【解答】解:(I)若函数 y=f(x)在 R 上恰有四个不同的零点, 则等价为 f(x)=|x2﹣a|﹣ax﹣1=0,即|x2﹣a|=ax+1 有四个不同的解, 若 a≤0,则方程 x2﹣a=ax+1 至多有两个根,不满足条件. 若 a>0,则 y=x2﹣a 与 y=ax+1 两个图象有四个不同的交点, ①当 y=ax+1 与 y=﹣x2+a 相切时,得 a=﹣2±2 ②当 y=ax+1 过点(﹣ 即 a 的取值范围是(2 ,0)时,得 a=1,∴2 ﹣2,1) ﹣a﹣1, ,(负值舍掉), ﹣2<a<1,

(Ⅱ)①当 a≤1 时,f(x)=x2﹣ax﹣a﹣1=(x﹣ )2﹣ 则 f(x)在[1,2]上单调递增,则 f(x)min=f(1)=﹣2a.

②当 1<a<4 时,f(x)=



易知 f(x)在[1, 则 f(x)min=f(

]上单调递减,在( )=﹣a ﹣1,

,2]上单调递增,

③当 a≥4 时,f(x)=﹣(x+ )2+ 则 f(x)在[1,2]上单调递减, 则 f(x)min=f(2)=﹣a﹣5,

+a﹣1,

综上 g(a)=



【点评】本题主要考查分段函数的应用,根据一元二次函数图象和性质,利用分类讨论的数 学思想是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

20.设抛物线 Γ:y2=2px(p>0)上的点 M(x0,4)到焦点 F 的距离|MF|= (1)求抛物线 Γ 的方程;



(2)过点 F 的直线 l 与抛物线 T 相交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 l′与抛物线 Γ 相交于 C,D 两点,若 =0,求直线 l 的方程. ,得出 M 的坐标,代入抛物线方程求出

【分析】(1)根据抛物线的性质得出=x0+ = p 即可;

(2)设 l 方程为 y=k(x﹣1),设 AB 中点 P,CD 中点 Q,联立方程组求出|AB|,|PQ|, |CD|,根据勾股定理列方程解出 k. 【解答】解:(1)∵|MF|=x0+ = ,∴x0=2p.即 M(2p,4).

把 M(2p,4)代入抛物线方程得 4p2=16,解得 p=2. ∴抛物线 Γ 的方程为 y2=4x. (2)设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1), 联立方程组 ,消元得:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=

,y1+y2= .

设 AB 的中点为 P(

, ).∴|AB|=x1+x2+p=



∴直线 l′的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣

),即 x=﹣ky+

+3.

联立方程组

,消元得:y2+4ky﹣4(3+

)=0.

设 C(x3,y3),D(x4,y4),则 y3+y4=﹣4k,y3y4=﹣4(3+ ∴x3+x4= ,∴CD 的中点 Q(

).

,﹣2k).

∴|CD|=

=

,|PQ|=





=0,∴AC⊥AD.∴|AQ|= |CD|.

∵AB⊥CD,∴|AP|2+|PQ|2=|AQ|2,即 |AB|2+|PQ|2= |CD|2,

∴ 解得 k=±1,

+

=



∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0 或 x+y﹣1=0. 【点评】本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,弦长公式,属于中档题.


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