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山东师范大学附属中学2015届高三第一次模拟考试文科数学试卷含解析

时间:2015-02-15


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山东师范大学附属中学 2015 届高三第一次模拟考试文科数学 试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)
2 1.已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则M ? N = (

?

?



A. ?0? 【答案】D. 【解析】

B. x x ? 0

?

?

C. x ? ? x ? 3

?

?

D. ?1, 2?

试 题 分 析 : 先 求 出 集 合 N ? {x 0 ? x ? 3} , 然 后 根 据 集 合 与 集 合 的 交 集 可 得 ,

M ? N ? {x 0 ? x ? 3} ?{0,1,2,3} ? {1,2}.故应选 D.
考点:集合的基本运算. 2.已知 i 是虚数单位,若复数 ?1 ? ai ?? 2 ? i ? 是纯虚数,则实数 a 等于( A.2 【答案】A. 【解析】 试题分析:利用复数的运算法则化简复数 ?1 ? ai ?? 2 ? i ? ? 2 ? a ? (1 ? 2a)i ,由纯虚数的定 义知, ? B. )

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

?2 ? a ? 0 ,解得 a ? 2 .故应选 A. 1 ? 2 a ? 0 ?
2

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 3. “ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的( )

1

A.必要不充分条件 C.充分必要条件 【答案】B. 【解析】

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

试题分析: 若 m ? 1, 则 f ( x) ? x 2 ? 6x ? 6 ? ( x ? 3) 2 ? 3 , 由二次函数的图像及其性质知,

f ( x) 在区间 ? ??,3? 上为单调减函数,即“ m ? 1 ”是“函数 f ? x ? ? x2 ? 6mx ? 6 在区间

? ??,3? 上为减函数”的充分条件;反过来,若函数 f ? x? ? x2 ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上
为 减 函 数 , 则 3 ? 3m , 即 m ? 1 , 不 能 推 出 m ? 1 , 即 “ m ? 1 ” 不 是 “ 函 数 “ m ? 1 ”是“函 f ? x ? ? x2 ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的必要条件.综上所述, 数 f ? x ? ? x ? 6mx ? 6 在区间 ? ??,3? 上为减函数”的充分不必要条件,故应选 B.
2

考点:二次函数的单调性;充分条件与必要条件. 4.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 【答案】B. 【解析】

?1 ? x,
x ?a ,

x ? 0, x ? 0.

若f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于(
C.3 D.4



B.2

试题分析:根据分段函数的解析式,由 f (1) ? f (?1) 即可得到, a ? 1 ? (?1) ? 2 ,故应选 B. 考点:分段函数求值. 5.已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 【答案】D. 【解析】 ) C.2 D.3 ②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n .

0 试题分析:对于①,因为 m ? ? ,所以直线 m 与平面 ? 所成的角为 90 ,又因为 m ∥ n , 0 所以直线 n 与平面 ? 所成的角也为 90 ,即 n ? ? 命题成立,故正确;

对于②, 若m ? ? , 则经过 m 作平面 ? , 设? ?? ? a , 又因为 a ? ? , m??, ? ?? ?b,

m ? a, n?b, b 是平行直线.因为 a ? ? , 所以在平面 ? 内, 所以直线 a 、 b?? , b?? ,

2

a ∥ b ,所以 a ∥ ? .经过 m 作平面 ? ,设 ? ? ? ? c , ? ? ? ? d ,用同样的方法可以证
出 c ∥ ? .因为 a 、 c 是平面 ? 内的相交直线,所以 ? ∥ ? ,故正确; 对于③,因为 n ? ? , m ∥ n ,所以 n ? ? .又因为 n ? ? ,所以 ? ? ? ,故正确; 对于④,因为 m ∥ ? ,? ? ? ? n ,当直线 m 在平面 ? 内时, m ∥ n 成立,但题设中没有

m 在平面 ? 内这一条件,故不正确.综上所述,其中正确命题的个数是 3 个,应选 D.
考点:平面的基本性质及推论.

?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? ,则 2 x ? y 的最大值是( ?x ? 0 ? ?y ? 0
A.8 【答案】B. 【解析】 B.7 C.4



D.2

试题分析:首先根据题意画出约束条件所表示的区域如下图所示,然后令 z ? 2 x ? y ,则

y ? ?2 x ? z ,要求 2 x ? y 的最大值,即是求 y ? ?2 x ? z 的截距最大,由图可知,当直线

? y ? ?x ? 4 ?x ? 3 ,解之得 ? ,即点 C y ? ?2 x ? z 过点 C 时,其截距最大,联立直线方程 ? ?y ? x ? 2 ?y ? 1
的坐标为 (3,1) ,将其代入 z ? 2 x ? y 得, z ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 .

考点:线性规划. 7.一个三棱锥的侧棱长都相等,底面是正三角形,其正(主)视图如右图所示.该三棱锥侧 面积和体积分别是( ) A. 39,

2 3 3

B. 39,

8 3

3

C. 3

?

13 ? 1 ,

?

2 3 3

D. 8,

8 3

【答案】A. 【解析】 试题分析: 如图,由题意得三棱锥 S ? ABC 中, SA ? SB ? SC ,高 SD ? 2 , ?ABC 是 边长为 2 的等边三角形,所以 S ?ABC ?

1 ? 2 ? 2 ? sin 60 0 ? 3 ,所以该三棱锥的体积 2

1 2 3 . 又 因 为 SD ⊥ 平 面 ABC , 所 以 D 点 是 ?ABC 的 重 心 , 所 以 V ? ? 3?2 ? 3 3 DE ? 1 3 AE ? 3 3


SE



BC



SE ? 2 2 ? (

3 2 39 ) ? 3 3







S ?SAB ? S ?SAC ? S ?SBC ?

1 39 39 ,所以该三棱锥侧面积 S ? 39 .故应选 A. ? 2? ? 2 3 3

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 8.若函数 f ? x ? ? loga ? x ? b ? 的大致图像如右图,其中 a , b 为常数,则函数 g ? x ? ? a ? b
x

的大致图像是(



【答案】B. 【解析】 试题分析:由函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的图像为减函数可知, 0 ? a ? 1 ,再由图像的平移

4

知 , f ( x) ? l o g a ( x ? b) 的 图 像 由 f ( x) ? l o g a x 向左平移可知, 0 ? b ?1 ,故函数

g ( x) ? a x ? b 的大致图像为 B 选项.
考点:对数函数的图像与性质. 9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交 12 4
? ? ? 3 3? , ? 3 3 ? ?

点,则此直线的斜率的取值范围是( ) A. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

B. [? 3, 3]

C. ? ?

D. ? 3, 3

?

?

【答案】A. 【解析】 试题分析:双曲线

x2 y 2 3 ? ? 1 的渐近线方程是 y ? ? x ,过右焦点 F (4,0) 分别作两条 12 4 3
3 3 , ]. 3 3

渐近线的平行线 l1 和 l 2 ,由下图图像可知,符合条件的直线的斜率的范围是 [? 故应选 A.

考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;双曲线的简单性质. 10 . 设 向 量 a ? (a1 , b1 ) , b ? (a 2 , b2 ) , 定 义 一 种 运 算 “ ? ”。 向 量
? ? ? ? 1 ? a ? b ? (a1 , b1 ) ? (a2 , b2 ) ? (a2 b1 , a1b2 ) . 已 知 m ? ( 2, ) , n ? ( ,0) , 点 2 3

?

?

P? x , ?y 在 ? y s i n的 x 图 象 上 运 动 , 点 Q 在 y ? f ? x? 的 图 象 上 运 动 且 满 足
OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ? x ? 的最小值为(
A. ?1 【答案】B. 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 知 , 点 P 的 坐 标 为 B. ?2 C.2 D.
? ?
? ?



1 2

( x, sin x) , 则

5

? ? ? ? 1 ? 1 ? OQ ? m ? OP ? n ? ( x,2 sin x) ? ( ,0) ? ( x ? ,2 sin x) , 2 3 2 3

又因为点 Q 在 y ? f ? x ? 的图象上运动,所以点 Q 的坐标满足 y ? f ? x ? 的解析式,即

1 ? y ? 2 sin( x ? ) . 2 3
所以函数 y ? f ? x ? 的最小值为-2.故应选 B. 考点:平面向量的坐标运算.

6

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 .

【答案】 【解析】

9 . 5

试题分析:当 S ? 1, k ? 0 时,

1 3 ? ,k ? 1 ? 4; 1? 2 2 3 1 5 ? ,k ? 2 ? 4; 第二次执行循环体: S ? ? 2 2?3 3 5 1 7 ? ,k ? 3 ? 4 ; 第三次执行循环体: S ? ? 3 3? 4 4 7 1 9 9 ? , k ? 4 ,此时输出 S ? . 第四次执行循环体: S ? ? 4 4?5 5 5
第一次执行循环体: S ? 1 ? 考点:程序框图与算法. 12.函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? 的图像,其部分图象如图所示,则 f ? 0? ? _______.

7

【答案】 ? 2 . 【解析】 试题分析: 由图像可知,A ? 2 ,

3T 13? ? 2? ? ? ? 3? , 所以 T ? 2? , 所以 T ? 2? ? , 2 4 4 ?

所以 ? ? 1 ,即函数 f ( x) ? 2 sin(x ? ? ) ,由五点对应法可知,当 x ? 所以 ? ? ?

?

?
4

,所以 f ( x ) ? 2 sin( x ?

?

) ,所以 f (0) ? 2 sin( ? ) ? ? 2 .故应填 ? 2 . 4 4

?

4

时,有

?

4

?? ? 0,

考点:由函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的部分图像确定其解析式. 13.已知圆 C 过点 ? ?1,0? ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦 长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 【答案】 ?x ? 3? ? y 2 ? 4 .
2

.

【解析】 试题分析: 设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (a,0)(a ? 0) , 则圆 C 的标准方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 . 圆心 C 到直线 l : y ? x ? 1 的距离为: d ?

a ?1 2

,又因为该圆过点 ? ?1,0? ,所以其半径为

r ? a ?1 . 由 直 线 l : y ? x ?1 被 该 圆 所 截 得 的 弦 长 为 2 2 以 及 弦 心 距 三 角 形 知 ,
?2 2? ? a ?1 ? 2 ? ? r 2 ,即 ? ? a ? ?3 或 a ? 1 (舍).所以 d ?? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? a ? 1 ? ,解之得: ? ? ? ?
2 2 2

r ? a ? 1 ? 2 ,所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 3?2 ? y 2 ? 4 .
考点:圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 14.下面给出的四个命题中:
2 ①以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ; 2

②若 m ? ?2 ,则直线 ? m ? 2? x ? my ? 1 ? 0 与直线 ? m ? 2? x ? ? m ? 2? y ? 3 ? 0 相互垂直;
2 2 ③命题“ ?x ? R ,使得 x ? 3x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x ? 3x ? 4 ? 0 ” ;

④将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

? ?? ? 个单位,得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象。 3 6? ?

其中是真命题的有___________(将你认为正确的序号都填上) . 【答案】①②③.

8

【解析】 试题分析:①抛物线是焦点为 (1,0) ,圆的半径为 r ? 1 ,所以圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1, 正确; ②当 m ? ?2 时,两直线方程为 y ?

1 3 和 x ? ? ,两直线垂直,所以正确; 2 4

③根据特称命题的否定是全称命题可知其正确; ④函数向右平移

? ? 2? ) ,所以不正确. ,得到的函数为 y ? sin 2( x ? ) ? sin( 2 x ? 3 3 3

所以正确的命题有①②③.故应填①②③. 考点:特称命题;命题的否定;函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换;抛物线的简单性质. 15.已知 x ? 0, y ? 0 ,若 【答案】 ?4 ? m ? 2 . 【解析】 试题分析:因为 x ? 0, y ? 0 ,所以由基本不等式知,

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y



2 y 8x 2 y 8x ? ?2 ? ? 8 ,当且仅 x y x y



2 y 8x ? 即 x y

y ? 2 x 等号成立 .问题

? 2 y 8x ? 2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立转化为 ? ? ? ? m 2 ? 2m ,即 ? ? x y y ? min ? x

8 ? m 2 ? 2m ,由一元二次不等式解法知, ?4 ? m ? 2 .
考点:一元二次不等式及其解法;均值不等式的应用. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积;

? ? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

,求a 、 sin B 的值. (2)若 c ? 1
【答案】 (1)2; (2) a ? 2 5 , sin B ? 【解析】

2 5 . 5

9

试题分析: (1)首先利用倍角公式可求得 cos A 的值,由同角三角函数的基本关系可求出

sin A 的值;然后运用数量积的定义化简 AB ? AC ? 3 得出 bc ? 5 ;最后运用三角形的面积
1 bc sin A 即可求出三角形 ABC 的面积; (2)由(1)知 bc ? 5 ,因为已知 c ? 1 , 2 可求出 b ? 5 ,利用余弦定理可计算出 a 的值,再由正弦定理即可求出 sin B 的值,即为所
公式 S ? 求. 试题解析: (1) cos A ? 2 ? (

?

?

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5

3 bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? , ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5
而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? (2)

bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5.

4 5? b sin A a b 5 ? 2 5. ? ? 又 ,? sin B ? a 5 sin A sin B 2 5
考点:向量的数量积;余弦定理;正弦定理. 17.如图所示, PA ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA ? AD, E、F、G、H 分 别是线段 PA、PD、CD、BC 的中点.

(1)求证:BC//平面 EFG; (2)求证: DH ? 平面 AEG; (3)求三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比. 【答案】 (1)因为 BC∥AD,AD∥EF,所以 BC∥EF. 因为 BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG ,所以 BC ∥平面 EFG; (2)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥DH ,即 AE⊥DH 因为△ADG≌△DCH ,所以∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90°,所以∠AGD+∠HDC=90°,所以 DH⊥AG 又因为 AE∩AG=A,所以 DH⊥平面 AEG; (3)

VE ? AFG 1 ? . VP ? ABCD 16
10

【解析】 试题分析: (1)首先利用平行公理即平行的传递性证明 BC∥EF,再由已知条件并运用线面 平行的判定,证明 BC ∥平面 EFG; (2)由已知 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥DH 即证明了 AE ⊥DH, 然后利用△ADG≌△DCH 得出对应角相等即∠HDC=∠DAG, ∠AGD+∠DAG=90°即证明了 DH ⊥ AG ,从而由直线与平面的判定定理可证 DH ⊥平面 AEG ; ( 3 )由三棱锥的等体积

VE ? AFG ? VG? AEF 可得,

VE ? AFG V ? G ? AEF ,然后根据三棱锥和四棱锥的体积计算公式即 VP ? ABCD VP ? ABCD

可求出其体积比. 试题解析: (1)因为 BC∥AD,AD∥EF,所以 BC∥EF. 因为 BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG ,所以 BC ∥平面 EFG. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥DH ,即 AE⊥DH 因为△ADG≌△DCH ,所以∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90°,所以∠AGD+∠HDC=90°,所以 DH⊥AG 又因为 AE∩AG=A,所以 DH⊥平面 AEG. ( 3 )

VE ? AFG ? VP ? ABCD
1 1 1 1 CD ? ? AD ? PA 1 2 2 2 ? 2 ? . PA ? AD ? CD 16

1 1 1 ? DG ? S ?AEF CD ? EF ? EA VG ? AEF 2 ?3 ? 2 ? VP ? ABCD 1 PA ? AD ? CD ? PA ? S ABCD 3

考点:组合几何体的面积、体积问题;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 18.某公司有男职员 45 名,女职员 15 名,按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关 小组. (1)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名职员做实验,该职员做完后,再从小组内剩下的职员中选一名做实验,求 选出的两名职员中恰有一名女职员的概率; (21)试验结束后,第一次做试验的职员得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次 做试验的职员得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位职员的实验更稳定?并说 明理由. 【答案】 (1) 某职员被抽到的概率为

1 6 1 ? ; ; 男、 女职员的人数分别为 3,1; (2)P ? 15 12 2

(3)第二次做试验的职员做的实验更稳定. 【解析】 试题分析:(1)根据题意,由总人数与抽取的人数,计算可得某职员被抽到的概率,进而 设出该科研攻关小组中男职员的人数为 x ,由分层抽样的方法可得

45 x ? ,解之可得 x 的 60 4

值,即可得出该科研攻关小组中男、女职员的人数;(2)先计算出选出两名职员的基本事 件 数 , 有

(a1 , a2 ) , a1 ( a3 ,

)a1, (b , a 2 ) ,a 1 (

,a 2

)a ( 3 , ( a 2 , b ) , 3a

1

a,

)3 a , (2a ,

3

a ) , b (

,

) , (

,

) ,

11

(b, a1 ), (b, a2 ), (b, a3 ) 共 12 种;再算出恰有一名女职员的事件数,最后由古典概型的计算公
式即可得出所求的概率; (3)由题意计算出两名职员的平均数和方差,并比较大小,依据在均值相同的情况下,方 差越小其稳定程度越好,即可判断哪位职员做的实验更稳定.

n 4 1 1 ? ? 所以某职员被抽到的概率为 . m 60 15 15 45 x ? ,所以 x ? 3 ,所以男、女职员的人数分别为 3,1. 设有 x 名男职员,则 60 4
试题解析:(1) P ? ( 2 )把 3 名男职员和 1 名女职员记为

a1 , a2 , a3 , b ,则选取两名职员的基本事件有

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , b), (a2 , a1 ), (a2 , a3 ), (a2 , b ), (a3 , a1 ), (a3 , a2 ), (a3 , b ), (b, a1 ), (b, a2 ), (b, a3 ) 共 12 种,其中有一名女职员的有 6 种.
所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为 P ?

6 1 ? . 12 2

(3)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 x2 ? ? 71 5 5 ,

s12 ?

(68 ? 71) 2 ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71) 2 ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 s2 ? ? 3.2 5 5 ,

第二次做试验的职员做的实验更稳定. 考点:古典概型及其计算公式;极差、方差与标准差;列举法计算基本事件数及事件发生的 概率. 19.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3log 1 an ? n ? N * ? . 4 an 4 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn,求?cn ? 的前 n 项和 Sn .
n 【答案】 (1) a n ? ( ) (n ? N *) ;

1 4

n (2) 因为 bn ? 3 log 1 an ? 2 , 所以 bn ? 3 log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 .因为 b1 ? 1 , 公差 d ? 3 ,
4

4

1 4

所以数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列. (3) Sn ?

3n 2 ? n 1 1 1 n ? ? ?( ) . 2 3 3 4
12

【解析】 试题分析: (1)直接由题意知数列 {an } 是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列,由等比数列的 4 4

n 通项公式知 a n ? ( ) (n ? N *) ,即为所求; (2)将(1)中的结论代入 bn ? 3 log 1 an ? 2

1 4

4

中,化简得 bn ? 3n ? 2 ,由等差数列的定义知,数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等 差数列.即为所证. (3) 由 (1) 和 (2) 知, 数列 {an } 是首项为

1 1 , 公比为 的等比数列, 数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 , 4 4

公差 d ? 3 的等差数列.所以数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn 可用分组求和进行计算得出结果. 试题解析: (1)?

1 1 an ?1 1 ? , ∴ 数 列 {an } 是 首 项 为 , 公 比 为 的 等 比 数 列 , ∴ 4 4 an 4

1 a n ? ( ) n (n ? N *) . 4
n (2) 因为 bn ? 3 log 1 an ? 2 , 所以 bn ? 3 log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 .因为 b1 ? 1 , 公差 d ? 3 ,
4

4

1 4

所以数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.
n n (3)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2 , 所以 cn ? (3n ? 2) ? ( ) ,

1 4

1 4

所以 S n ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 5) ? (3n ? 2)] ? [ ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ) n ?1 ? ( ) n ] 4 4 4 4 4 1 1 [1 ? ( ) n ] n(1 ? 3n ? 2) 4 3n 2 ? n 1 1 1 n 4 ? ? ? ? ? ?( ) . 1 2 2 3 3 4 1? 4

考点:等差数列;等比数列;分组求和. 20.已知函数 f ? x ? ?

a ? x ? 1? ,其中a ? 0 . x2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ? x ? 的切线,求实数 a 的值; (3)设 g ? x ? ? x ln x ? x f ? x ?,求g ? x ? 在区间 1, e 上的最小值.(其中 e 为自然对数的
2

? ?

底数)

13

【答案】 (1)f ( x ) 的单调递减区间是 ( ??, 0) 和 (2, ??) , 单调递增区间是 (0, 2) ; (2)a ? 1 ; ( 3 ) 当 0 ? a ? 1 时 , g ( x) 最 小 值 为 g (1) ? 0 ; 当 1 ? a ? 2 时 , g ( x) 的 最 小 值

g(e a ?1 )) = a ? e a ?1 ;当 a ? 2 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae .
【解析】 试题分析: (1)先求出 f ( x) 导函数,分别令导函数大于 0 即可求出增区间,导数小于 0 即 可求出减区间; (2)首先设出切点坐标,然后直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? 曲线的共同点可得方程组 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ,解之即可求实数 a 的值; ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 ? ? x0
(3)先求出 g ( x) 的导函数,分三种情况讨论函数在区间 [1, e] 上的单调性,即当 e
a ?1

? 1, ? e,

即 0 ? a ? 1 时, g ( x) 在区间 [1, e] 上为增函数, 所以 g ( x) 最小值为 g (1) ? 0 ; 当e

a ?1

即 a ? 2 时, g ( x) 在区间 [1, e]上为减函数,所以 g ( x) 最小值为 g (e) ? e? a ? a e;当

1 < ea ?1 < e,即 1 ? a ? 2 时,最小值 g(e a ?1 ) ? (a ? 1)e a ?1 ? a(e a ?1 ? 1) = a ? e a ?1 .进而求
得其在区间 [1, e] 上的最小值. 试题解析: (1) f ?( x) ?

a(2 ? x) , (x ? 0) ,在区间 ( ??, 0) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在 x3

区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 .所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ??, 0) 和 (2, ??) ,单调递增区 间是 (0, 2) .

a ( x0 ? 1) ? ? y0 ? x 2 0 ? ? (2)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? x0 ? y0 ? 1 ? 0 ,解得 x0 ? 1 , a ? 1 . ? a (2 ? x ) 0 ? ?1 3 x ? 0 ?
(3) g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1) ,则 g ?(x) ? ln x ?1 ? a ,令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? e 在区间 ( 0, e 当e
a ?1 a ?1

,所以,

a ?1

) 上, g ( x) 为递减函数,在区间 ( ea ?1 , ? ?) 上, g ( x) 为递增函数.

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [ 1, e]上, g ( x) 为递增函数,所以 g ( x) 最小值为
14

g (1) ? 0 .
当 ea ?1 ? e , 即 a ? 2 时 , 在 区 间 [ 1, e ] 上 , g ( x) 为 递 减 函 数 , 所 以 g ( x) 最 小 值 为

g (e) ? e ? a ? ae .
当 1 < ea ?1 < e ,即 1 ? a ? 2 时,最小值 g(e a ?1 ) ? (a ? 1)e a ?1 ? a(e a ?1 ? 1) = a ? e a ?1 . 综上所述,当 0 ? a ? 1 时, g ( x) 最小值为 g (1) ? 0 ;当 1 ? a ? 2 时, g ( x) 的最小值

g(e a ?1 )) = a ? e a ?1 ;当 a ? 2 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e ? a ? ae .
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间 上的最值. 21.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ?1, ? ,且长轴长等于 4. 2 a b ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2) F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l : y ? kx ? m 与圆 O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA? OB ? ?
? ?

3 ,求 k 的值. 2

【答案】 (1) 【解析】

x2 y2 2 ? ?1; (2) ? . 2 4 3

试题分析: (1)由题意长轴长为 4 求得 a 的值,在由椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 a 2 b2

? 3? (2)由于圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 ?1, ? 建立方程求解即可求出其标准方程; ? 2?
l : y ? kx ? m 与圆 O 相切,利用直线与圆相切的充要条件得到一个等式,把直线方程与椭

3 建立 k 的方程求 k 即可. 2 试题解析: (1)由题意,椭圆的长轴长 2a ? 4 ,得 a ? 2 ,
圆方程联立利用整体代换的思想,根据 OA? OB ? ? 因为点 ?1,

?

?

1 9 ? 3? 2 ? 在椭圆上,所以 ? 2 ? 1得 b ? 3 , 4 4b ? 2?

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1. 4 3

15

(2)由直线 l 与圆 O 相切,得

m 1? k
2

? 1 ,即 m 2 ? 1 ? k 2 ,

? x2 y2 ? 1, ? ? 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? , 由? 4 消去 y, 整理得 3 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0, 3 ? y ? kx ? m, ?

?

?

由 题 意 可 知 圆

O

在 椭 圆 内 , 所 以 直 线 必 与 椭 圆 相 交 , 所 以

8km 4m 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? ?kx1 ? m??kx2 ? m? ? k 2 x1 ? x2 ? km?x1 ? x2 ? ? m2 4m2 ? 12 3m2 ? 12k 2 ? 8km ? 2 ?k ? ? km? ? ?m ? . 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k ?
2

所以 x1 ? x2 ? y1 y2 ?

4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 7m 2 ? 12k 2 ? 12 ? ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 5 ? 5k 2 因为 m ? 1 ? k ,所以 x1 ? x2 ? y1 y2 ? . 3 ? 4k 2
2 2

又因为 OA ? OB ? ?

? 5 ? 5k 2 3 3 2 1 ? ? , k 2 ? ,得 k 的值为 ? ,所以 . 2 2 3 ? 4k 2 2 2

考点:椭圆的标准方程.

16


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