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人教版-高中数学选修4-5_数学归纳法及其应用举例 (1)_图文

时间:2013-07-15

数学归纳法及其 应用举例

一、设置情景,导学探究: 问题1:有一台晚会,若知道晚会的第一个 节目是唱歌,第二个节目是唱歌、第三个节 目也是唱歌,能否断定整台晚会都是唱歌? 问题2:有一台晚会,若知道唱歌的节目后面 一定是唱歌,能否断定整台晚会都是唱歌? 问题3:有一台晚会,若知道第一个节目是 唱歌,如果一个节目是唱歌则它后面的节目 也是唱歌,能否断定整台晚会都是唱歌?

多米诺骨牌课件演示

如何保证骨牌一一倒下?需要哪些条件? (1)第一块骨牌倒下 ----------奠基; (2)任意相邻的两块骨牌,若前一块倒下,则 必须保证下一块要相继倒下。 ----------递推关系;

即第k块倒下,则相邻的第k+1块也倒下

例:已知数列{a n }为等差,公差为d,
求证:通项公式为a n = a1 +(n -1)d 证明:

1)当n = 1式,a1 = a1 +(1-1)d = a1 ,结论成立
2)假设n = k式结论成立,即a k = a1 +(k -1)d ? 那么 ∵ a k+1 = a k + d ? ?
(一定要用上假设)

∴ a k+1 = a1 +(k -1)d + d ? = a1 + kd = a1 +[(k +1)-1]d ? ?所以n=k+1时结论也成立 ? 综合1)、2)知a n = a1 +(n -1)d成立.

二、挖掘内涵、形成概念:

证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来 证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,

【归纳奠基】

(2)假设当n=k(k?N* ,k?n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 若当n=k(k?n0 )时命题成立, 验证n=n0时命 证明当n=k+1时命题也成立 题成立 命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。

特别提醒:

找准起点 奠基要稳

数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: (1)证明当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时结论正确; 验证初始条件--------游戏开始 (2)假设n=k时结论正确,证明n=k+1时结论也正确; 假设推理----------游戏规则 用上假设 (3)由(1)、(2)得出结论. 递推才真 点题
写明结论 才算完整

例1.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n?1)=n2
证明: (1) 当n=1时

左=1,右=12=1
∴n=1时,等式成立

递推基础

(2) 假设n=k时,等式成立,即1+3+5+…+(2k?1)=k2

那么,当n=k+1时 左=1+3+5+…
=k2+2k+1

+(2k?1)+[2(k+1)-1]

=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立

递推依据

由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立

练1、用数学归纳法证明:

n( n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ?? n ? 6
2 2 2 2

证明:1、当n=1时,左=12=1,右= ∴n=1时,等式成立

1(1 ? 1)( 2 ? 1) ?1 6

2、假设n=k时,等式成立,即 k ( k ? 1)( 2k ? 1) 2 2 2 2 1 ? 2 ? 3 ? ?? k ? 6 那么,当n=k+1时 k ( k ? 1)( 2k ? 1) 2+22+…+k2+(k+1)2= ? ( k ? 1) 2 左=1 6 k ( k ? 1)( 2k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ( k ? 1)( k ? 2)( 2k ? 3) ? ? 6 6 =右 ∴n=k+1时,原不等式成立

由1、2知当n?N*时,原不等式都成立

1 1 1 1 1 n 例:如下证明对吗?求证: + 2 + 3 +?+ n ? 1 ? ( ) 2 2 2 2 2
右边= 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?
1

1 证明:①当n=1时,左边= 2
等式成立。 ②设n=k时,有

?2?

2

? ? 1 ? k ?1 ? 1 那么,当n=k+1时,有 ?1 ? ? ? ? k ?1 2? ?2? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? 1? ? 1 ? + 2 + 3 +?+ k ? k ?1 ? ? ? 1 2 2 2 2 2 ?2? 1? 2 即n=k+1时,命题成立。
根据①②问可知,对n∈N*,等式成立。 第二步证明中没有用到假设,这不是数学归纳法证明。

1 1 1 1 1 k + 2 + 3 +?+ k ? 1 ? ( ) 2 2 2 2 2

证明中的几个注意问题:
(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k 命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之 间的逻辑严密关系,造成推理无效.

(2)在第一步中的初始值不一定从1取起,证明 时应根据具体情况而定.
例:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个 取值应是多少? 答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.

例:用数学归纳法证明:
1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ??? , 2n 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2

(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么,并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应 增加的项.

证明中的几个注意问题:
(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效. (2)在第一步中的初始值不一定从1取起,证明时 应根据具体情况而定. (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是 什 么,并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.

练习巩固
1、 证明:

1+ a + a

2

+ ...+ a
B.

n+1

=

1- a

n+2

1-a
2

a ≠ 1,n ? N * ? ?

3

在验证 n=1成立时,左边计算所得的结果是(

A. 1
C.

1+ a
1+ a + a + a

1+ a + a

2

D.

1 1 1 2.已知: f ( n) ? ? ? ... ? n?1 n? 2 3n ? 1


f ( k ? 1)
A: f ( k ) ? C:

等于(

) B: D:

1 3( K ? 1) ? 1

1 f (k ) ? 3K ? 2
1 1 f (k ) ? ? 3K ? 4 K ? 1

1 1 1 1 f (k ) ? ? ? ? 3K ? 2 3K ? 3 3K ? 4 K ? 1

思考1:下列推证是否正确,并指出原因.
用数学归纳法证明: 2 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n ? n ? 1 证明:假设 n ? k 时,等式成立, 2 就是 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2k ? k ? k 那么 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2k ? 2?k ? 1?
2

?1

? k ? k ? 1 ? 2?k ? 1? ? ? k ? 1? ? ? k ? 1? ? 1
2

这就是说当 n ? k ? 1 时等式成立, 所以 n ? N * 时等式成立.

思考2:下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
1 1 ? , (1)当n=1时,左边= 1 ? 2 2 1 1 ? 右边= 1 ? 1 2

(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立 ,
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1

那么n=k+1时,
1 1 1 1 1 ? ) 左边 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 3 k ?1 k ? 2 1 k ?1 =右边, ? 1? ? k?2 ( k ? 1) ? 1

即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

思考3:下列证法对吗?
用数学归纳法证(n∈N+): 1+2+3+…+ 2n = n(2n+1 )
证明:1)左边=1+2=3=右边 2)假设n=k时等式成立,即: 证明:1)左边=1=…… 2)假设n=k时等式成立,即: 1+2+3+…+ 2k2k k(2k+1). 1+2+3+…+ = = k(2k+1). 那么,n k+1 时, = k+1 时, 那么,n = 1+2+3+…+ 2k +2(k+1) 1+2+3+…+ 2k+(2k+1)+ 2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)=…… = k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)=……

例、用数学归纳法证明: 1 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = 3 n(n ? 1)(n ? 2)
证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1) = =

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

凑假设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? N ? ,命题正确。

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项: 1)明确首先取值n0并验证命题真假(必不可少); 2)“假设n=k时命题正确”并写出命题形式; 3)分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k”时命题形 式的差别,弄清左端应增加的项; 4)明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘 法公式、因式分解、添拆项、配方等; 5)两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能成立: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉

二、数学归纳法应用举例:
(1)数学归纳法证明等式问题: 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 ? n ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) bn ? 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 {
,?{ . 10a ? 3b ? ?2 b ? 4 3a ? b ? ?1 a ?1

以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 ? n ? ? ?? ? (n ? N * ). 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2

(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.

(2)假设当n=k时结论正确,即:
12 22 k2 k2 ? k ? ? ?? ? . 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) 4k ? 2

则当n=k+1时,
12 22 k2 (k ? 1) 2 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) k2 ? k (k ? 1) 2 k (k ? 1)(2k ? 3) ? 2(k ? 1) 2 ? ? ? 4k ? 2 (2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(2k 2 ? 3k ? 2k ? 2) (k ? 1)(2k ? 1)(k ? 2) ? ? 2(2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3) k 2 ? 3k ? 2 (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? ? . 4k ? 6 4(k ? 1) ? 2

故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.

1 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 2S n ? an ? . an

用数学归纳法证明: a ? n ? n ?1. n

1 1 a1 ? S1 ? (a1 ? ) ? a12 ? 1 ? a1 ? 1, 1 ? 1 ? 1 证:(1)当n=1时, 2 a1

=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 ak ? k ? k ?1. 则当n=k+1时,

1 1 1 1 Sk ? (ak ? ) ? ( k ? k ? 1 ? ) ? k. 2 ak 2 k ? k ?1 1 1 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (ak ?1 ? ) ? k ? ak2?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 2 ak ?1

? ak ?1 ? k ? 1 ? k (? ak ?1 ? 0).

故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.

(2)数学归纳法证明整除问题: 例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 x
2 2k 2k 2k 2

2k ?2
2

?y

2k ?2
2

? x ?x ? y ? y
2 2k 2
2k 2k 2k

2k

? x ( x ? y ) ? y ( x ? y ) ? x ( x ? y ) ? y ( x ? y)(x ? y) ? x2 ( x2k ? y 2k )、y 2k ( x ? y)(x ? y) 都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.

例2、用数学归纳法证明: An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ?1(n ? N * ) 能被8 整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 Ak ? 5 ? 2 ? 3 是8的倍数. Ak ?1 ? 5k ?1 ? 2 ? 3k ? 1 ? 5(5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1) 那么: ? 4(3k ?1 ? 1) ? 5 Ak ? 4(3k ?1 ? 1)
k k ?1

?1

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.

例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除. 证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立. (2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除 则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1 =x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除, 所以上式右边能被x2+x+1整除. 即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.

(3)数学归纳法证明几何问题:
例6、平面内有n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何 三条不过同一点,问交点的个数 f (n) 为多少?并证明.
n( n ? 1) f ( n) ? 2
2

证明:1)n=2时:两条直线交点个数为1, 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 2)假设n=k(k∈N?,k≥2)时,k条直线交点个数为 f(k)= 1 k(k-1),
2

当n=k+1时:第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点,共增加k个点,

∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= 2 k(k-1)+k = 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
2 2 2

1

即当n=k+1时命题仍成立。 由1)、2)可知,对一切n∈N?原命题均成立。

练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 n-1 的条数f(n+1)=f(n)+_________. 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 2k f(k+1)=f(k)+__________个区域.

(4)数学归纳法证明不等式问题:
例1、用数学归纳法证明:
1 1 1 13 ? ? ? ? ? (n ? 2, n ? N * ). n ?1 n ? 2 2n 24

1 1 1 1 14 13 证:(1)当n=2时, 左边= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 ? 24 , 不等式

成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 ? ??? ? , k ?1 k ? 2 2k 24

则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?( ? ? ) k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

13 1 1 13 1 13 ? ?( ? )? ? ? . 24 2k ? 1 2k ? 2 24 (2k ? 1)(2k ? 2) 24

即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切

n ? N , n ? 2 都成立.

1 1 1 ? 2 n (n ? N * ). 例2、证明不等式: 1 ? ? ??? 2 3 n

证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.

(2)假设当n=k时不等式成立,即有:
1 1 1 1? ? ??? ? 2 k, 2 3 k

则当n=k+1时,我们有:

1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ?2 k ? , 2 3 k k ?1 k ?1 1 1 ? 2 k ? 1 ? (2 k ? ) ? 2( k ? 1 ? k ) ? k ?1 k ?1 2 2 ? ? ? 0. k ?1 ? k k ?1 ? k ?1 1 ?2 k ? ? 2 k ? 1. k ?1 1 1 1 1 故 :1 ? ? ? ?? ? ? 2 k ? 1. 2 3 k k ?1

即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.

例3、求证: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ( n ? N , n ? 2). 22 3 n n

1 3 1 5 2? ? 证:(1)当n=1时,左边= 1 ? 2 ? ,右边= ,由于 2 2 2 4 5 3 ? ,故不等式成立. 4 2

(2)假设n=k( k ? N , k ? 2 )时命题成立,即
1 1 1 1 1? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? . 2 3 k k

则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2? ? 2 2 3 k (k ? 1) k (k ? 1) 2

1 1 1 1 1 2? ? ? 2? ? ? 2? 2 k ( k ? 1) k k ( k ? 1) k 1 1 1 ?( ? ) ? 2? . k k ?1 k ?1

即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切

n ? N , n ? 2 都成立.

例4、已知x> ?1,且x?0,n?N,n?2. 求证:(1+x)n>1+nx.
证明: (1)当n=2时,左=(1+x)2=1+2x+x2

∵ x?0,∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 (2)假设n=k时,不等式成立,即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时,因为x> ?1 ,所以1+x>0,于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2; 右边=1+(k+1)x. 因为kx2>0,所以左边>右边,即(1+x)k+1>1+(k+1)x. 这就是说,原不等式当n=k+1时也成立. 根据(1)和(2),原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.

例5、已知

1 1 1 f (n) ? 1 ? ? ? ? ? , 求证 2 3 n
2

:

f (2 n ) ?

n?2 (n ? 1). 2

1 1 1 1 2?2 证:(1)当n=2时, f (2 ) ? f (4) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 ? 12 ? 2 ,

不等式成立. k ?2 k (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 f (2 ) ? 2 . 则当n=k+1时, 1 有: 1 1
2 ?1 2 ? 2 2 k ?1 k ?2 1 1 1 k ?2 1 ? ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? 2 k ? k ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 k ? 2 1 (k ? 1) ? 2 ? ? ? . 2 2 2
k k

f (2 k ?1 ) ? f (2 k ) ?

?

???

即当n=k+1时,不等式成立. 由(1),(2)所证不等式对一切 n ? N , n ? 2 都成立.

五、小结:
1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证 明,但注意不要滥用.要掌握数学归纳法的实质与步 步. 2.归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的 辨证思想,是数学的基本思想,数学归纳法体现了有 限辨证关系与转化的思想. 3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一 起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法 等.

数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在 第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设.

第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n≥n0) 时n取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n取 下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成 立的n的取值,经不断地循环递推便得到对满足n≥n0的所有 正整数命题都成立.
(1)重点:两个步骤、一个结论;注意:递推基础不可少, 归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。


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