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必修二4.1.1-4.1.2圆的方程

时间:2017-09-11


第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
三维目标:
知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的 标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的 能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和 兴趣。

教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程:
1、情境设置:
在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的 要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来 表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:

2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。(其中 a、b、r 都是常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列
2 2 出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r

① 化简可得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
6



4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究 例 1:求圆的标准方程

(1)圆心在原点,半径为 2; (2)以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程; (3)与 y 轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程; (4)已知圆过两点 A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线 3x-y-2=0 上,求次圆的标准方 程; 跟踪训练 1-1(新课程导学 49 页)

例1

解:(4)

例 2:
写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个 圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2 2 2

(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内

例 3: ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C(2, ?8), 求它的外接圆的方程
师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

可知,要确定圆的标准方

程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上, 求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 .圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和

B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上,又

圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 (教师板书解题过程。)
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2)、例(3)可得出 ? ABC 外接圆的标 准方程的两种求法: 1、 根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准 方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.

练习:新课程导学 50 页 提炼小结:

例 2,跟踪训练 2-1

1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业:新课程导学 50 页 三维目标:

达标检测和对应习题本

4.1.2 圆的一般方程
知识与技能 : (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特 征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件。 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能 用待定系数法求圆的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索 发现及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激 励学生创新,勇于探索。 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件 确定方程中的系数,D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 课题引入: 问题:求过三点 A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么
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这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式—— 圆的一般方程。

探索研究:
请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a 2 ? b 2 ? r 2 得

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
这个方程是圆的方程.



反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得

2

2

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② (配方过程由学生去完成 )这个方程是不是表
D ,2

示圆? (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程②表示(1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以(1 E D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; )为圆心, 2 2
2 2 ( 2 )当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E , y ? ? ,即只表示一个点 2 2

(-

D E ,- ); 2 2 2 2 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
2 2
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综上所述,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2
2 的表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y ? 4 2
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只有当 D ? E ? 4F ? 0 时,它表示的曲线才是圆,我们把形如 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系 数,圆的方程就确定了.

(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明 显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心 及半径。

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一 般方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x2 ? 4 y2 ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这里的

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
跟踪训练 1-1(新课程导学 51 页 ) 例 2:求过三点 A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心 坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条 件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
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解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

, ),C(4,2) 在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面 ∵ A(0,0), B(11 的方程,可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组, 即

?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? 解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 ∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 1 D F r? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2
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得圆心坐标为(4,-3). 或将 x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 , 从而
2 2 2 2

求出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: 1、 根据提议,选择标准方程或一般方程; 2、 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; 3、 解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 例 3、(同 52 页 例 3)
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2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线段 2

AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条
标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

件,求出点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点 M 的 坐

3? 且M是线段AB的重点,所以 ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4,

2

x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
2

因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 , 即

? x0 ? 1? ? y0 2 ? 4 2 ? x0 ? 1? ? y0 2 ? 4
2



把①代入②,得

p130
2 2 3? ? 3? ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ? ?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?

2

2

课堂练习:课堂练习 新课程导学 52 页 2-1 3-1 小结 : 1.对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。 课后作业: 1.新课程导学 52 页 达标检测 2.作业本 4.1.2
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