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江苏省泰州市2008~2009学年高二第一学期期末联考数学文科试题

时间:2010-02-27


2008江苏省泰州市 2008-2009 学年高二第一学期期末联考试题
参考公式: 参考公式:线性回归方程系数公式 b =

∑ x y nx y
i =1 i i

n

∑x
i =1

n

, a = y bx .

2

i

nx

2

(本大题共 小题, 一,填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 填空题: ( 应答题线上) 应答题线上) 1.命题" x ∈ R, x + 1 ≥ 0 "的否定是
2



.

2.圆锥曲线的离心率为 e ,则圆锥曲线表示抛物线的充要条件是

e=



.

3.如图是中央电视台举办的某次挑战主持人大赛上,七位评委为 某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, 则所剩数据的平均数为 ▲ . 4.离心率为

1 ,长轴长为 4,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 2
▲ . ▲ .



(第 3 题) .

5.根据如图所示的伪代码,输出结果为

6.一个算法的流程图如图所示,则输出的结果 s 为

I←1 While I<6 Y←2I+1 I←I+2 End While Print Y (第 5 题) (第 6 题)

7.某班级共有学生 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样 本.已知 3 号,29 号,42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是 ▲ .

8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与 另外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H :"这种血清不
0

经查对临界值表知 能起到预防感冒的作用", 利用 2 × 2 列联表计算得 χ 2 ≈ 3.918 , P( χ 2 ≥ 3.841) ≈ 0.05 .则下列四个结论中,正确结论的序号是
① 有 3.918% 的把握认为"这种血清能起到预防感冒的作用";



.



有 5% 的把握认为"这种血清能起到预防感冒的作用";

③ 有 95% 的把握认为"这种血清能起到预防感冒的作用"; ④

有 99% 的把握认为"这种血清能起到预防感冒的作用".

9.观测两个变量得如下数据:

x

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

y

若从散点图分析, y 与 x 线性相关, 则回归直线方程为 ▲ . (第 10 题)

10.如图所示,一游泳者沿与河岸 AB 成 60° 角的方向向河里直线游了 10 米,然后任意选 择一个方向继续直线游下去,则他再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB 的概率是 ▲ .

11.曲线 y = e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线为 l,则切线 l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 ▲ .

12.已知 ABC 的顶点 A , C 分别是双曲线 B 在双曲线的左支上,若

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左,右焦点,顶点 a 2 b2
▲ .

sin A sin C 4 = ,则双曲线的离心率为 sin B 5

13 . 已 知 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0, 3] 上 图 象 如 图 所 示 , 记

k1 = f ′(1) , k2 = f ′(2) , k3 = f (2) f (1) ,则 k1 , k2 , k3 之
间的大小关系为 ▲ . (请用 > 连接) 14. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) = 2 , f (x ) 且 的导数 f ′( x ) 在 R 上恒有 f ′( x ) < 2 ,则不等式 f (2 x ) < 4 x 的解 集为 ▲ . (第 13 题)

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 二,解答题: 本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题: ( 15.(本小题满分 14 分) 从某校参加 2008 年全国高中数学联赛预赛的 450 名同学中,随机 抽取若干名同学,将他们的成绩制成频率分布表,下面给出了此表中部分数据. (1)根据表中已知数据,你认为在①,②,③处的数值分别为 ▲ , ▲ , ▲ . (2)补全在区间 [70,140] 上的频率分布直方图; (3)若成绩不低于 110 分的同学能参加决赛,那么可以估计该校大约有多少学生能参加决 赛?

分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140] 合计

频数

频率 0.08 ③ 0.36

频率 组距

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
分数

16

0.32 0.08

2

② 0.02



70 80

90 100 110 120 130 140

16. (本小题满分 14 分)已知命题 p : 方程

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 命题 q : 2m 9 m

y2 x2 6 = 1 的离心率 e ∈ ( , 2) ,若命题 p ,q 中有且只有一个为真命题,求实 双曲线 5 m 2 数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 15 分) (1)已知 b ∈ {0,1, 2,3}, c ∈ {0,1, 2} ,求方程 x + 2bx + c = 0 有实根的概率;
2

(2)已知 b ∈ [0,3], c ∈ [0, 2] ,求方程 x + 2bx + c = 0 有实根的概率.
2 2

18.(本小题满分 15 分) 设点 P (m, n) 是以 y 轴为对称轴,原点为顶点,焦点为(0,1)的抛物线 C 上的任意一点,过 点 P 作抛物线的切线交抛物线的准线于点 A( s, t ) . (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)若 m ∈ [1,4],求 s 的取值范围.

19.(本小题满分 16 分)一束光线从点 F1 ( 1, 0) 出发,经直线 l: 2 x y + 3 = 0 上一点 P 反射 后,恰好穿过点 F2 (1, 0) . (1)求 P 点的坐标; (2)求以 F1 , F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程; (3) 设点 Q 是椭圆 C 上除长轴两端点外的任意一点, 试问在 x 轴上是否存在两定点 A , , B 使得直线 QA , QB 的斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点

A , B 的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分)设函数 f ( x ) =

(1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 2 x ln x ( x > 0) ,其中 a 为非零常数. 2a

(2)若 a > 0 ,过点 P ( a , 0) 作函数 y = f ( x) 的导函数 y = f ′( x ) 的图象的切线,问这 样的切线可作几条?并加以证明. (3)当 x ∈ [1,2] 时,不等式 f ( x ) > 2 恒成立,求 a 的取值范围.

2008 学年度第一学期期末联考 泰州市 2008~2009 学年度第一学期期末联考

高二数学参考答案(文科)
一,填空题 填空题 1. x ∈ R, x + 1 < 0 ; 2. 1 ;3. 85 ;
2

x2 y 2 4. + = 1 ; 11; 6. 5. 210; 7. 16; 8. ③; 4 3 1 e2 5 9.y = 0.95 x + 2.6 ; 10. ; 11. ; 12. ; 4 6 2 1 1 13. 1 > k3 > k2 ; 14. x x > k (结果为 x > 2 2
不扣分).二,解答题 15. 二 (本小题满分 14 分)

解:(1)50;0.04;0.10. ………… 6 分

(2)如图.

……………… 10 分

(3)在随机抽取的 50 名同学中有 7 名出线, 450 × 答:在参加的 450 名中大概有 63 名同学出线. ………………… 14 分 16. (本小题满分 14 分) 解: p 真,则有 9 m > 2m > 0 ,即 0 < m < 3 .

7 = 63 . 50

………… 13 分

------------------4 分 ----------------9 分

b m 3 5 = 1 + ∈ , 2 ,即 < m < 5 . 2 a 5 2 2 若 p , q 中有且只有一个为真命题,则 p , q 一真一假. 5 5 ①若 p 真, q 假,则 0 < m < 3 ,且 m ≥ 5或m ≤ ,即 0 < m ≤ ; 2 2 5 ②若 p 假, q 真,则 m ≥ 3或m ≤ 0 ,且 < m < 5 ,即 3≤ m < 5 . 2 5 故所求范围为: 0 < m ≤ 或 3≤ m < 5 . 2
q 真,则有 m > 0, 且e 2 = 1 +
2

----------------11 分 ----------------13 分 -----------------14 分

17. (本小题满分 15 分) 解: (1)设方程 x + 2bx + c = 0 有实根为事件 A .
2

数对 (b, c ) 共有 4 × 3 = 12 对. 若方程有实根,则 = (2b) 4c ≥ 0 ,即 b ≥ c .
2 2

------------------2 分 -----------------4 分

则使方程有实根的数对 (b, c ) 有 (0, 0), (1, 0), , 0), (2,1), (2, 2), (3, 0)(3,1), (3, 2) 共 9 (1,1) (2, 对. ------------------6 分 所以方程有实根的概率 P ( A) =
2

9 3 = . 12 4

------------------8 分

(2)设方程 x + 2bx + c = 0 有实根为事件 B .

D = {(b, c) 0 ≤ b ≤ 3, 0 ≤ c ≤ 2} ,所以 S D = 3 × 2 = 6 .

------------------10 分

方程有实根对应区域为 d = (b, c) b ≥ c
2

{

2

},S

d

1 = 6 2 2 = 4 . -------------------12 分 2
------------------15 分

所以方程有实根的概率 P ( B ) = 18. (本小题满分 15 分) 解:(1)

Sd 2 = . SD 3

p = 1 ∴ x 2 = 4 y ………………4 分 2 1 (2)过 P ( m, n) 的切线斜率 k = y ′ |x = m = m . 2 1 ∴切线方程为 y n = m( x m) . 2
准线方程为 y = 1 . …………………8 分

∴ 1

1 2 1 1 m 2 m = ms m 2 .∴ s = . ………………………………12 分 4 2 2 2 m 3 3 s 在 [1, 4] 单调递增,∴ smin = , smax = . 2 2 3 3 ∴ s 的取值范围是- ≤ s ≤ . ………………………………15 分 2 2
19. (本小题满分 16 分) 解: (1)设 F1 关于 l 的对称点为 F ( m, n) ,则

n 1 m 1 n = 且 2 + 3 = 0 ,解得 m +1 2 2 2

x + 7 y 1 = 0 9 2 9 2 m = ,n = , F ( , ) , 即 故直线 F2 F 的方程为 x + 7 y 1 = 0 . 由 , 5 5 5 5 2 x y + 3 = 0
解得 P (

4 1 , ). 3 3

------------------------5 分

(2)因为 PF1 = PF ,根据椭圆定义,得 2a = PF1 + PF2 = PF + PF2 = FF2

9 2 = ( 1) 2 + ( 0) 2 = 2 2 ,所以 a = 2 .又 c = 1 ,所以 b = 1 .所以椭圆 C 的方程 5 5


x2 + y2 = 1. 2

------------------------10 分

(3) 假设存在两定点为 A( s, 0), B (t , 0) , 使得对于椭圆上任意一点 Q ( x, y )(除长轴两端点) 都有 kQA kQB = k ( k 为定值) ,即

y y x2 = k ,将 y 2 = 1 代入并整理得 xs xt 2

1 (k + ) x 2 k ( s + t ) x + kst 1 = 0 …(*) .由题意, (*)式对任意 x ∈ ( 2 , 2 ) 恒成 2

1 k + 2 = 0 立,所以 k ( s + t ) = 0 ,解之得 kst 1 = 0

1 1 k = 2 k = 2 s = 2 或 s = 2 . t = 2 t = 2
1 . 2
---------------16 分

所以有且只有两定点 ( 2, 0), ( 2, 0) ,使得 kQA kQB 为定值 (注:若猜出 A , B 点为长轴两端点并求出定值,给 3 分) 20. (本小题满分 16 分)

1 x2 1 = . ------------------------2 分 x x 因为 x > 0 ,令 f ′( x ) > 0 得 x > 1 ;令 f ′( x ) < 0 得 0 < x < 1 .所以函数的增区间为 (1, +∞) , ------------------------5 分 减区间为 (0,1) . 1 1 1 1 (2)因为 f ′( x ) = x ,设 g ( x ) = f ′( x ) ( x > 0) ,则 g ′( x ) = + 2 .----------6 分 a x a x 1 1 设 切 点 为 Q ( x0 , y0 ) , 则 切 线 的 斜 率 为 k = g ′( x0 ) = + 2 , 切 线 方 程 为 a x0 1 1 1 1 1 1 y y0 = ( + 2 )( x x0 ) 即 y ( x0 ) = ( + 2 )( x x0 ) ,由点 P ( a , 0) 在切线 a x0 a x0 a x0 1 1 1 1 2 上知 ( x0 ) = ( + 2 )( a x0 ) ,化简得 x0 2 ax0 + a = 0 ,即 x0 = a . a x0 a x0 2 所以仅可作一条切线,方程是 y = ( x a ) . ------------------------9 分 a 1 1 x2 a (3) f ′( x ) = x = ,x >0. a x ax f ( x) > 2 在 [1, 2] 上恒成立 f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值 f ( x) min > 2 .--------------11 分 ①当 a < 0 时, f ′( x ) < 0,f ( x) 在 (0, ∞) 上单调递减, f ( x ) 在 [1,2] 上最小值为 + 2 f (2) = ln 2 < 0 ,不符合题意,故舍去; ------------------------12 分 a ②当 a > 0 时,令 f ′( x ) = 0 得 x = a . 1 当 0 < a ≤ 1 时,即 0 < a ≤ 1 时,函数在 [1,2] 上递增, f ( x ) 的最小值为 f (1) = >2; 2a 1 解得 0 < a < . ------------------------13 分 4 2 当 a ≥ 2 时,即 a ≥ 4 时,函数在 [1,2] 上递减, f ( x ) 的最小值为 f (2) = ln 2 > 2 ,无 a
解: (1) f ′( x ) = x 解; 当1 < ------------14 分

a < 2 时,即 1 < a < 4 时,函数在 [1, a ] 上递减,在 [ a , 2] 上递增,所以 f ( x) 的最 1 1 小值为 f ( a ) = ln a > 2 ,无解. ------------------------15 分 2 2 1 综上,所求 a 的取值范围为 0, . ------------------------16 分 4


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