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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则(一试)(定稿)

时间:2019-01-24

2015年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一 试
一、填空题(本题满分64分,每小题8分) 1.随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子.在3颗骰子所示数字中最 小值是3的概率是 . 解:所有骰子所示点数至少是3的概率为()3,所有骰子中所示点数至少 是4的概率为()3. 所以3颗骰子所示数字中最小值恰为3的概率是()3-()3=. 2.关于x的方程x2―2ax+a2―4a=0有模为3的虚数根,则实数a的值是 . 解:由题(x-a)2=4a<0,所以x=a―2i,又|x|2= a2―4a=9,即有a―2 =±,因为a<0,所以a=2―. 3.已知正项数列{an}的首项为1,且对于一切正整数n都有an(nan-an+ 1)=(n+1)a,则数列的通项公式an=   . 解:根据an(nan-an+1)=(n+1)a,写出a2,a3,a4,可归纳出an=. 也可以变形为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan)]=0, 由an+1+an≠0,得(n+1)an+1=nan=…=a1=1,所以an=. 4.设以F1(-1,0)、F2(1,0) 为焦点的椭圆的离心率为e,以F1为顶点、F2 为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P.若=e,则e的值为 解:在抛物线中,p=4,准线x=-3,|PF2| 是P到准线的距离. 椭圆中,=e,|PF2|也是P到左准线的距离,则抛物线准线与椭圆的 准线重合, 所以=3.因为c=1,故e=. .

5.设实数a,b满足0≤a,b≤8,且b2=16+a2,则b-a的最大值与最小 值之和是 . 解:由题设可知,b2=16+a2,则b-a==. 记f(a)=,则函数f(a)单调递减. 由0≤a,b≤8,得16+a2≤64,解得0≤a≤4. 所以b-a的最小值为f(4)=8-4,b-a的最大值为f(0)=4, 从而b-a的最大值与最小值之和为12-4. 6.函数f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是 .

解:[f(x)]2=(2cosx+sin2x)2=4cos2x(1+sinx)2=(3-3sinx)(1+sinx)3 ≤×[]4=, 当且仅当3-3sinx=1+sinx,即sinx=时,等号成立. 从而当sinx=,cosx=,f(x)取得最大值为, 当sinx=,cosx=-,f(x)取得最小值为-. 所以函数f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是[-,]. 7.正四棱锥P-ABCD外接于一个半径为1的球面,若球心到四棱锥各个 面的距离相等,则此四棱锥的底面面积为 . 解:设四棱锥的底面边长为a,则球心到底面的距离为. 由=,解得:a2=4-4,即四棱锥的底面面积为4-4. 8.已知△ABC的外心为O,内心为I,∠B=45°.若OI∥BC,则cosC的 值是 . 解:设△ABC的外接圆半径 和内切圆半径分别为R和r. 记BC的中点为M,D是由I向BC所作垂线的垂足. 由OI∥BC,知OM=ID=r.由∠BOC=2∠A,BC=BD+DC= 2BM, 得+=2rtanA,即=.

所以cosA=4sinsinsin=-2sin(cos-cos) =-2(sin)2+2 coscos=cosA-1+(cosB+cosC). 从而cosB+cosC=1.所以cosC=1-. 二、解答题(本题满分16分) 设等比数列a1,a2,…,ak和b1,b2,…,bk,记cn=an-bn,n= 1,2,…,k. (1)写出一组a1,a2,a3和b1,b2,b3,使得c1,c2,c3是公差不为0的等 差数列; (2)当k≥4时,求证:{cn}不可能为公差不为0的等差数列. 解:(1)a1=4,a2=8,a3=16;b1=1,b2=3,b3=9,则c1=3,c2= 5,c3=7. ………………………… 6分 (2)设an=apn,bn=bqn,则cn=apn-bqn. 假设{cn}是公差非0的等差数列, 则由2cn+1=cn+cn+2得apn(p-1)2=bqn(q-1)2. ………………………… 10分 当k≥4时,n可取1,2, 所以有ap(p-1)2=bq(q-1)2,ap2(p-1)2=bq2(q-1)2. 解得p=q.于是 当p=q≠1时,则a=b,从而c1=c2=…=ck=0. 当p=q=1时,则c1=c2=…=ck=a-b. 又数列{cn}是公差不为0的等差数列,矛盾. 故命题成立. ………………………… 16分 三、解答题(本题满分20分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1的右焦点为F,过点F 的直线l与椭圆C交于A、B两点.试问在x轴上是否存在定点P,使得当 直线l绕点F旋转时,都有·为定值.

解:由题意知,点F的坐标为(3,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2). 当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为:y=k(x-3). 由得(2+3k2)x2-18k2x+27k2-54=0, 所以x1+x2=,x1x2=. ………………………… 5分 假设在x轴上存在定点P(t,0),使得·为定值,
·

=(x1-t,y1)·(x2-t,y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2 =x1x2-t(x1+x2)+t2+k(x1-3)×k(x2-3) =(1+k2) x1x2-(3k2+t) (x1+x2)+t2+9k2

=(1+k2)×-(3k2+t) ×+t2+9k2 =-+t2. ………………………… 10分 当直线l绕点F旋转,即k变化时,要使得·为定值, 即为定值,则=,解得t=4. 此时·=-11. ………………………… 15分 当直线l与x轴垂直时,A(3,2),B(3,-2), 此时·=(3-4,2)·(3-4,-2)=-11. 综上所述,在x轴上存在定点P(4,0),使得·为定值. ………………………… 20分 四、解答题(本题满分20分) 设多项式f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a、b、c是实数.若对于任意 的非负实数x,y, 有f(x+y)≥f(x)+f(y).求a、b、c所满足的条件. 解:由f(x+y)≥f(x)+f(y),得 3x2y+3xy2-c≥-2axy,x,y≥0. (*)…………………… 5分 取x=y=0代入(*),得c≤0. 不妨设x>0,y>0,3x2y+3xy2+(-c)≥3=-3xy, 等号成立,当且仅当 x0=y0=-. ………………………………

10分 因此 -3x0y0≥-2ax0y0,从而a≥. ……………………………… 15分 当a≥,c≤0时,x,y≥0,3x2y+3xy2-c≥-2axy,即f(x+y)≥f(x) +f(y). 综上所述,a、b、c满足的条件是a≥,c≤0,b∈R. ……………………………… 20分


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