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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:7.4 曲线与方程(共31张PPT)

时间:2013-11-29


§7.4

曲线与方程

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.曲线与方程的关系 (1)“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集 合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如 下的关系:

这个方程的解 ①曲线上的点的坐标都是_____________________. 曲线上的点 ②以这个方程的解为坐标的点都是________________.
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程

的曲线.
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(2)用直接法求曲线方程的五个步骤 ①建立适当的直角坐标系,设M(x,y)为曲线上的任意一点; ②写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}; 坐标 ③用______表示条件P(M),列出方程F(x,y)=0;

④化方程F(x,y)=0为最简形式;
⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 2.曲线的交点 求曲线的交点问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的 实数解 ________的问题.

目录

思考探究

1.怎样才能使曲线上的点集与方程的解集之间建立一一
对应关系? 提示:视曲线为点集:曲线上的点应满足的条件转化为动点 坐标(x,y)所满足的方程,这样就可保证曲线上的点的坐标都 是方程的解,以方程的解为坐标的点都在曲线上,两者之间

就一一对应.

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2.求曲线方程与求轨迹有何不同?
提示:若是求轨迹则不仅要求出方程,而且还需说明和讨论

所求轨迹是什么样的图形,在何处,即图形的形状、位置、
大小都需说明、讨论清楚.

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课前热身
1. (教材改编)“ x2+y2=5”是“点 P(x0,0)在圆 x2+y2=25” y 0 0 上的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

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2.(2013· 青岛模拟)动点P(x,y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴 的距离多一个单位长度,则动点P的轨迹方程为( A.x2-6x-10y+24=0 B.x2-6x-6y+24=0 C.x2-6x-10y+24=0或x2-6x-6y=0 D.x2-8x-8y+24=0
解析:选 A.点 P 到定点 A 的距离比 P 到 x 轴的距离多 1 个单 位长度, 等价于 P 到直线 y+1=0 的距离与 P 到 A 的距离相等, 从而有: ?x-3? 2+?y-4? 2=|y+1|. 化简得动点 P 的轨迹方程为:x2-6x-10y+24=0.

)

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3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2,则点P的轨迹所围成

图形的面积是(
A.2 C.8 答案:C

)
B.4 D.不存在

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4.曲线x2-ay2=1经过点P(2,-3),则a的值为________.
1 答案: 3

5.曲线 y= 1-x2与曲线 y=|x|的交点个数是________.

答案:2

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 曲线与方程的关系

判断曲线与方程的对应关系有两种方法: 等价转化和特值讨 论,它们依据的是曲线的纯粹性和完备性.因此,处理“曲 线与方程”的概念题, 可采用等价转化法, 也可采用特值法.

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例1

如果命题“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C

上”不正确.那么,以下正确的命题是(

)

A.曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0 B.坐标满足方程F(x,y)=0的点有些在C上,有些不在C上 C.坐标满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,并且其坐标满足方程F(x,y)=0 【思路分析】 从定义入手,结合定义中的两个条件判断.

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【解析】

“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上”

不正确,就是说“坐标满足方程F(x,y)=0的点不都在曲线C 上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然F(x0, y0)=0,但(x0,y0)?C,即一定有不在曲线C上的点,其坐标满

足F(x,y)=0,因此只有D正确.
【答案】 D 判断方程是否是曲线的方程,曲线是否是方

【领悟归纳】

程的曲线,必须检验两个条件,二者缺一不可.

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考点2

求曲线方程

用直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法等把题意
中的曲线用含x或y的方程表示.

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例2 已知 A、B、D 三点不在同一条直线上,且 A(-2,0),
→ → 1 → → B(2,0),|AD |=2,AE= (AB+AD ),求 E 点的轨迹. 2
→ → → → 【思路分析】 AD 用AE和AB表示,利用|AD |=2 建立 x,y 的关系.

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【解】

→ 1 → → → → → 由AE= (AB+AD )可得,AD =2AE-AB, 2

→ → 设 E(x,y),∴AE=(x+2,y),AB=(4,0), → ∴AD =2(x+2,y)-(4,0)=(2x,2y), → 又∵|AD |=2,∴(2x)2+(2y)2=4,即 x2+y2=1, 又∵A、B、D 三点不共线, → → ∴AB与AD 不平行,∴y≠0, ∴E 点的轨迹方程为 x2+y2=1(y≠0),表示圆心在(0,0),半径 为 1 的圆除去(± 1,0).

【误区警示】
认为是整个圆.

本题易忽略A、B、D三点不共线的条件,而

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跟踪训练
→ 1 → → 在本例中,若AE= (AB-AD ),其余条件不变,E 点的轨迹会 2 有什么变化? → 1 → → → → → 解:由AE= (AB-AD ),得-AD =2AE-AB, 2
→ 而-AD =-(2x,2y), → ∵|AD |=2,∴x2+y2=1 且 y≠0. ∴E 点的轨迹没有变化.

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考点3

求曲线的交点

(1)求两条曲线的交点坐标,只需解两条曲线的方程组成的 方程组. (2)如果两曲线的位置是由交点的个数决定的,那么位置关系

可由方程组的实数解的情况来决定.

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a 例3 过点 M(1,2)的直线与曲线 y= 有两个不同的交点, 且这 x 两个交点的纵坐标之和为 a,求 a 的取值范围.

a 【思路分析】 引入斜率参数 k,建立直线方程后与曲线 y= x 联立方程,根据判别式求 a 的取值范围.

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a 【解】 ∵过 M(1,2)的直线与曲线 y= 有两个不同的交点,∴ x 直线的斜率 k 存在且不为零. 设过点 M(1,2)的直线方程为 y-2=k(x-1)(k≠0),

?y=k?x-1?+2 ? 由方程组? a ?y=x ?
消去 x,得 y2-(2-k)y-ka=0 (*). 当且仅当(*)方程有两个不同的实根时,方程组有两组不同的实 数解,即直线与曲线有两个不同的交点.

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设两交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),
?y1+y2=2-k ? 则有? 且 Δ=(2-k)2+4ka>0. ?y1·2=-ka ? y

∵y1+y2=a=2-k, ∴k=2-a, 代入(2-k)2+4ka>0 得 a2+4a(2 8 -a)>0,解得 0<a< . 3 8 ∵k≠0,∴a≠2,∴a 的取值范围是(0,2)∪(2, ). 3

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【思维总结】

此类问题的常规解法是将两曲线有公共点的

问题转化为方程组有解的判定问题;而求解参数的取值范围, 需要建立含参数的不等式,常利用判别式来确定.

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方法感悟
方法技巧
1.求曲线方程要针对不同的条件,选择合适的方法. 2.两曲线的交点坐标就是两曲线的方程所构成的方程组的公 共解.于是求曲线交点坐标的问题就转化为解二元方程组的 问题.确定两曲线交点个数的问题,就转化为讨论方程组的 解的组数问题.充分体现了数形结合与方程的思想. 3.直线与二次曲线的交点个数一般通过联立两个方程得到关 于x或y的一元二次方程,根据其判别式来判断,即当Δ>0时,

有两个交点;当Δ<0时,无交点;当Δ=0时,有一个交点(这
时称直线与二次曲线相切).
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失误防范 1.求出轨迹方程后,要注意检查验证,防止增根或失根. 2.求曲线交点时要注意分类讨论. 3.直线与曲线只有一个交点时,不一定是相切关系.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
曲线与方程是解析几何的精髓,一般考题是:①求动点的轨 迹方程.②研究曲线间的位置关系,特别是直线与圆锥曲线 的位置关系.命题形式以解答题的形式出现较多,简单的位 置关系以填空题、选择题较多,难度中档偏上. 2011年的高考中,广东卷,考查判断动点轨迹问题,湖南卷以 抛物线作为考查曲线,考查了求轨迹方程,求曲线的交点及 综合基本不等式求最值,陕西卷考查求轨迹方程问题.其它 各省市试题具体的圆锥曲线考查曲线与方程问题.
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2012年高考中,辽宁卷考查了求两动直线交点的轨迹方程和
定值问题. 预测2014年高考对曲线方程与圆锥曲线定义试题有所回升, 出现在解答题中的第一问,复习时应给予重视.

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规范解答 例 (本题满分 13 分)(2011· 高考湖南卷)已知平面内一动点 P
到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨 → → 迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD · 的 EB 最小值.

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【解】 (1)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有 ?x-1? 2+y2- |x|=1, 化简得 y2=2x+2|x|.(2 分) 当 x≥0 时,y2=4x; 当 x<0 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0). (4 分)

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(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方 程为 y=k(x-1).
?y=k?x-1? ? 由? 2 ,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.?(6 分) ? ?y =4x

设 A(x1,y1,),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 4 于是 x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为- .(8 分) k 设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1.

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→ → → → → → 故AD · =(AF+FD )· +FB) EB (EF → → → → → → → → =AF· +AF· +FD · +FD · EF FB EF FB → → → → =|AF|· |+|FD |· | |FB |EF =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 4 =1+(2+ 2)+1+1+(2+4k2)+1 k 2 1 ?k2+ 12 ?≥8+4×2 =8+4? k ·2=16. k? k 1 → → 2 当且仅当 k = 2,即 k=± 时,AC· 取最小值 16. (13 分) 1 EB k

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【名师点评】

本题主要考查了求轨迹方程的方法,直线与曲

线的位置关系,圆的方程的知识,以及推理运算能力.难度中 档偏上.考查了平面解析几何的重要知识和思想方法,求轨迹 方程作为本题的第一问较简单,但很关键,只有(1)正确,(2) 才有可能正确,(2)中是解决直线与曲线的常规方法:方程组思 想及向量法,入手明确,但化简运算量较大.

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