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2013-2014苏州中学高二数学期末复习综合练习4(文科)

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2013-2014 苏州中学高二数学期末复习综合练习四(文科)
一、填空题
1、抛物线 x2 ? 2 y 的焦点坐标是 2、命题“ ?x ? R , x ? ? 2 ”的否定是 3、 “两条直线不相交”是“ 两条直线是异面直线”的 条件. .
1 x

. .

x2 y 2 4、若双曲线 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离为 4,则点 P 到左焦点的距离是 9 16
5. P 为椭圆 面积是

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 是其两个焦点,若 ?F1 PF2 ? 30 ? ,则 ?F1 PF2 的 5 4


6. 已知双曲线过点 (3, ? 2) ,且与椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 有相同焦点,则双曲线的标准方程 为 .. 7、以正方形 ABCD 的两个顶点 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为



8、设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个 球放入 5 个盒子内.只有一个盒子空着,共有 种不同的投放方法。

x2 9、以双曲线 ? y 2 ? 1 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为 3
2



10 、 一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 n ,则算过关,那么,连过前二关的概率是 。

11、已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a= 4 a a 2
x2 y2 ? ? 1, 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 9 ? k k ?1



12 、 已 知 椭 圆 的 方 程

.

13、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线 a 2 b2

的两条渐近线的交点分别为 B, C ,若 AB ? 14 、 已 知 命 题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3
x

??? ?

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是 2



在 x ? ?? ?,0? 上 有 意 义 , 命 题 q : 函 数

2 y?lg( ax ? x? a ) 的定义域为 R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围




第 1 页

二、解答题 15 已知命题 p :任意 x ? R , x2 ? 1 ? a ,命题 q :函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] 上
单调递减. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 和 q 均为真命题,求实数 a 的取值范围.

16、如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F , E 点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点。 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA 。 A

S
G

F
C

B

第 2 页

17、已知椭圆的焦点为 F1(-6,0) ,F2(6,0) ,且该椭圆过点 P(5,2). (1)求椭圆的标准方程 (2)若椭圆上的点 M(x0,y0)满足 MF1⊥MF2,求

y0 的值。

18、 (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C 与椭圆 x ? 5 y ? 5 有共同的焦点,且一条渐近线方程为 y ?
2 2

3x

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设双曲线 C 的焦点分别为 F1、F2 ,过焦点 F1 作实轴的垂线与双曲线 C 相交于 A、B 两点,求△ ABF2 的面积.

第 3 页

19、已 知圆 O:x ? y ? 4 ,若焦点在 x 轴上的椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1 过点 P(0, ? 1) ,且其长 a 2 b2

轴长等于圆 O 的直径. (1)求椭圆的方程; (2)过点 P 作两条互相垂直的直线 l1 与 l 2 , l1 与圆 O 交于 A 、 B 两点, l 2 交椭圆于另一 点C , (Ⅰ)设直线 l1 的斜率为 k ,求弦 AB 长; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值 .

20. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E :

2 x2 y 2 ,左焦 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

点为 F ,过原点的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, ?FMN 面积的最大值为 1 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 P, A, B 是椭圆 E 上异于顶点的三点, Q(m, n) 是单位圆 x ? y ? 1 上任一点, ??? ? ??? ? ??? ? 使 OP ? mOA ? nOB . ①求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; ②求 OA ? OB 的值.
2 2

2

2

第 4 页

2013-2014 苏州中学高二数学期末复习综合练习四(文科)

参考答案
一、填空题

1 x y 1 ? ? 1; 1、 (0, ) ;2、 ?x ? R , x ? ? 2 ;3、充分不必要;4、 9 ;5、2;6、 x 2 3 2
7、 e ?

2

2

10 2 ;8、1;9、 y ? 8 x ;10、 7 ;11、1;12、 (1,5) ? (5,9) ;13、 5 10

14、 (??, ] ? (1,??) 二、解答题 解: (1)当 p 为真命题时有 x ? a ? 1 ,
2

1 2

所以 a ? 1 ? 0 , 即实数 a 的取值范围 (??,1] . (2)当 q 为真命题时有 a ? ?1 , 结合(1)取交集有实数 a 的取值范围 [?1,1] .

17、解:(1)依题意,设所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 a2 b2
2 2

因为点 P(5,2)在椭圆上,所以 2a=PF1+PF2= 11 +2 +

12+22=6
2

5
2

所以

a=3

5 ,从而 b =a -c =9

2

2

2

x y 故所求椭圆的标准方程是 + =1 45 9

(2)显然,当 MF1 或 MF2 与 x 轴垂直时,不合题意,故 x ? ?6 。 由 MF1⊥MF 得,

y0 y0 2 2 + =-1 即:xo =36-y0 ,代入椭圆方程得: x0+6 x0-6

yo2=

9 4

3 故 y0=± 2
?b ? 1 x2 ? y 2 ? 1. ,所以椭圆 C 的方程为 4 ?a ? 2

18、解: (1)由题意得, ?

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ) ,由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k ,则直 线 l1 的方程为 y ? kx ? 1 ,

第 5 页

又圆 O: x ? y ? 4 ,故点 O 到直线 l1 的距离 d ?
2 2

1 k 2 ?1



所以 AB ? 2 4 ? d ? 2
2

4k 2 ? 3 . k 2 ?1

(3)因为 l2 ? l1 ,故直线 l 2 的方程为 x ? ky ? k ? 0 , 由?

? x ? ky ? k ? 0 ?x ? 4 y ? 4
2 2

消去 y ,整理得 (4 ? k ) x ? 8kx ? 0 ,
2 2

8 k 2 ?1 8k 故 x0 ? ? ,所以 PC ? , 4 ? k2 4 ? k2
设 ?ABC 的面积为 S,则 S ?

1 8 4k 2 ? 3 AB ? PC ? , 2 4 ? k2
? 2 32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3 ? 16 13 , 13

所以 S ?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

当且仅当 k ? ?

10 时取等号. 2

19、解: (1)设双曲线为

x2 y2 b ? 2 ? 1 ,则渐近线为 y ? ? x 2 a b a

?b ? ? 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

? a 2 ? 1, b 2 ? 3

? 双曲线为 x 2 ?

y2 ? 1 ………8 分 3

(2)? AB ? 6, F1 F2 ? 4 ? S? ABF2 ? 12 20、解:(1)由椭圆的离心率为

……… 16 分

2 c 2 ,得 ? ①,又 ?FMN 面积 2 a 2

1 S ? ? c ? yM ? yN ? c yM ? cb ,所以 cb ? 1 ②,由①②及 a 2 ? b2 ? c 2 可解得: 2
a 2 ? 2, b2 ? c2 ? 1 ,故椭圆 E 的方程是
x2 ? y2 ? 1 . 2

??????????4 分

(2) ①设 P( x, y) ,A(x1,y1),B(x2,y2),则

x12 x2 2 ? y12 ? 1 ③, 2 ? y2 ? 1 ④, 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ? x ? mx1 ? nx2 , 又 m2 ? n 2 ? 1 ⑤,因 OP ? mOA ? nOB ,故 ? 因 P 在椭圆上,故 ? y ? my1 ? ny2 .
第 6 页

(mx1 ? nx2 )2 ? (my1 ? ny2 )2 ? 1 . 2

????????????????8 分

整理得 (

x12 x2 xx 2 ? y12 )m2 ? ( 2 ? y2 )n2 ? 2( 1 2 ? y1 y2 )mn ? 1 . 2 2 2

将③④⑤代入上式,并注意点 Q(m, n) 的任意性,得: 所以, kOA kOB ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 2

y1 y2 1 ? ? 为定值. ??????????????????12 分 x1 x2 2
2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 2 , ) ? ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 ) ? y12 y2 2 2 2

② ( y1 y2 )2 ? (?
2 故 y12 ? y2 ?1.

??????????????????14 分

又(

x12 x2 2 2 2 2 2 2 =3. ? 2 .所以 OA ? OB = x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 2 ,故 x12 ? x2 2 2

??????????????????16 分 备用题 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 , 则 ?p 为 3.已知 a ? R, 则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的
2

. ?x ? R, sin ? ? 1 充分不必要 条件. 条件. (填写“充分

4、 “x ?

ab ”是“ a,x,b 成等比数列”的 既不充分也不必要

不必要”、“必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一). 4..若 a ? b ,则 2 ? 2 ”的否命题为
a b

.若 a ? b ,则 2 ? 2
a

b

8. (本题满分 14 分) 已知直线 l 的方程为 x ? ?2 , 且直线 l 与 x 轴交于点 M , 圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于

A, B 两点.
(1)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (2)过 M 点作直线 l1 与圆相切于点 N ,设(2)中椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,求三 角形 ?NF1 F2 面积.

a2 x2 y 2 ? 2. ,半焦距为 c ,则 ? ? 1( a ? b ? 0) c a 2 b2 ?椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,根据椭圆与圆的对称性,
解: (1)设椭圆方程为 则 a ? 1 或 b ? 1. ???????????????2 分 ????4 分

1 3 4 y2 当 a ? 1 时, c ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? ,?所求椭圆方程为 x 2 ? ? 1; 3 2 4
当 b ? 1时, b2 ? c2 ? 2c,?c ? 1,? a 2 ? b2 ? c2 ? 2. 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
第 7 页

??????????????6 分

(2)设切点为 N,则由题意得,在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON ? 1 ,则 ?NMO ? 30? , N 点的坐标为 (?
2

1 3 , ) ,?????? 8 分 2 2

l

y N M A O

l2

若椭圆为

x ? y 2 ? 1. 其焦点 F1,F2, 2

B

x

分别为点 A,B 故 S ?NF1F2 ?

1 3 3 , ? 2? ? 2 2 2

????????????11 分 若椭圆为 x 2 ? 此时 S ?NF1F2 ?

1 1 4 y2 ? 1 ,其焦点为 F1 (? ,0), F2 ( ,0) , 3 2 2
???????14 分

1 3 3 ? 1? ? . 2 2 4

第 8 页


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