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空间向量的应用(练习)_图文

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空间向量的应用
命题角度 1 求异面直线所成的角 1.<典型例题Ⅰ)如图 11-1,四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点。b5E2RGbCAP <1)证明:面 PAD⊥面 PCD; <2)求 AC 与 PB 所成的角; <3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角 A-CM-B 的余弦值。 2.<典型例题)如图 11-2,在直四棱术 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=2,DC=2 ,AA1= ,AD⊥DC,AC⊥BD,垂足为

E。p1EanqFDPw <1)求证 BD⊥A1C; <2)求二面角 A1-BD-C1 的大小; <3)求异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小。 命题角度 2 求直线与平面所成的角 1 . < 典 型 例 题 ) 如 图 在 三 棱 锥 P — ABC 中 , AB ⊥ BC , AB=BC=KPA ,点 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点, OP ⊥底面 ABC。DXDiTa9E3d <1)当 k= 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; <2)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? 1. .(2>当 k=1 时 O 在平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心。

2.<典型例题Ⅱ)如图 11-7,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底 面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点。RTCrpUDGiT <1)求证 EF⊥平面 PAB; <2)设 AB= <2) . BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的正弦值。

命题角度 3 求二面角的大小 1.<典型例题)在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是 正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD,如图 11-12。5PCzVD7HxA <1)证明:AB⊥平面 VAD; <2)求二面角 A-VD-B 的大小。 .

1/8

2.<典型例题)如图 11-14,已知三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点,△ABC、△PEF 都是正三 角形,PF⊥AB。jLBHrnAILg <1)证明:PC⊥平面 PAB; <2)求二面角 P-AB-C 的平面角的余弦值; 考场思维训练 1. 在 三 棱 锥 P-OAC 中 , OP 、 OA 、 OC 两 两 互 相垂 直 , 且 OP=OA=1,OC=2,B 为 OC 的中点。 <1)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值;( <2)求点 C 到平面 PAB 的距离; ( <3)求二面角 C-PA-B 的余弦值。( >. >. >.

2 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=2,点 M、N 分别在棱 PD、PC 上,且 PC⊥平面 AMN。xHAQX74J0X <1)求证:AM⊥PD; <2)求二面角 P-AM-N 的余弦值;< ) )

<3)求直线 CD 与平面 AMN 所成角的余弦值。<

命题角度 4 求距离 1.<典型例题)如图 11-18,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上 的点且 BF⊥平面 ACE。LDAYtRyKfE <1)求证:AE⊥平面 BCE; <2)求二面角 B-AC-E 的余弦值; <3)求点 D 到平面 ACE 的距离。 答案:<2) .(3> d= 4 的正三

2.<典型例题)如图 11-19,在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC= 的中点 Zzz6ZB2Ltk <1)证明:AC⊥SB; <2)求二面角 N-CM-B 的大小。 <3)求点 B 到平面 CMN 的距离。 答案:<2.) 。<3)d= ,M、N 分别为 AB、SB

空间向量的应用

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答案
命题角度 1 求异面直线所成的角 1.<典型例题Ⅰ)如图 11-1,四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点。dvzfvkwMI1 <1)证明:面 PAD⊥面 PCD; <2)求 AC 与 PB 所成的角; <3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角 A-CM-B 的大小。 <1)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD,又 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,又 CD 平面 PCD,∴平面图 PAD⊥平 面 PCD。rqyn14ZNXI <2)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD,PA⊥AB,又 AD⊥AB,∴可以建立如图所示空间坐标系,则由已知 A<0,0,0)、C<1,1,0)、B<0,2,0)、P<0,0,1)∴ 与 PB 成角为θ ,则 cosθ = =<1,1,0), =<0,2,-1),设 .EmxvxOtOco

,∴AC 与 PB 所成的角为 arccos

(3>∵M 为 PB 的中点,∴M<0,1, ),∴ 的法向量,则 n1⊥ ,n1⊥

=<0,1, ),

=<1,1,0)设 n1=(x,y,z>为平面 AMC

,∴y= z=0,x+y=0,令 x=1,得 y=-1,z=2,∴n1=(1,-1,2>为平面 AMC 的一个

法向量,同理可求得 n2=(1,1,2>为平面 BMC 的一个法向量,∴n1、n2 的夹角为 arccos ,而从图中可看 出 A-MC-B 为钝角,∴二面角 A-CM-B 的大小为 。SixE2yXPq5 ,AA1= ,AD⊥DC,

2.<典型例题)如图 11-2,在直四棱术 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2,DC=2

AC⊥BD,垂足为 E。6ewMyirQFL <1)求证 BD⊥A1C; <2)求二面角 A1-BD-C1 的大小; <3)求异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小。 (1> ∵ABCD—A1B1C1D1 为直四棱柱。∴AA1⊥底面 ABCD,∴A1C 在底面 ABCD 上的射影为 AC,又由已知 AC⊥依三垂线定理可得 BD⊥A1C。kavU42VRUs <2)如图,以 D 为坐标原点,DA、DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系。 连接 A1E1、C1E1、AG1。与<1)同理可证,BD⊥A1E1,BD⊥C1E1,∴∠A1EC1 为二面角 A1-BD-C1 的平面角。
y6v3ALoS89



A1<2



0





C1<0



2







E<







3/8

即 EA1⊥EC1。∴二面角 A1-BD-C1 的大小为 90°。 <3 )在平面 ABCD 中,过 A 作 BF ⊥ AD ,交 DA 的延长线于 F ,由 AD=2 , CD=2 DAE=60°,∴AE=1,在 Rt△AEBM2ub6vSTnP 中,AB=2,AE=1,∠BAE=60°,在 Rt△AFB 中 AB=2,∠BAF=60°,∴BF= 坐标为<3, ,0)由 0YujCfmUCw , ) 、 B<3 , , 0 ) , 得 ,AF=1,DF=2+1=3,∴B 的 ,得 AC=4 , ∠

D<0 , 0 , 0 ) 、 A<2 , 0 , 0 ) 、 C1<0 , 2

∴cos<



)=

,∴异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos



命题角度 2 求直线与平面所成的角 1.<典型例题)如图在三棱锥 P—ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=KPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP ⊥底面 ABC。eUts8ZQVRd <1)当 k= 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; <2)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? (1>由错解和错因知,设 PA 与平面 PBC 所成的角为θ ,则 cosθ = ∴θ =arcsin (2>设 P(0,0,b>,则 .∴PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin =(a,0,-b>, . >,由已知 OG ,

=(0,a,-b>,设 G 为△PBC 的重心,则由穗主坐标公式得 G(

⊥平面 PBC, ∴sQsAEJkW5T ,得 a=b,即 PO=a,在 Rt△POA 中,PA= a,又 AB= a,∴R=1,∴当 k=1 时 O 在平面 PBC

内的射影为△PBC 的重 GMsIasNXkA 心。 2.<典型例题Ⅱ)如图 11-7,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、 F 分别为 CD、PB 的中点。TIrRGchYzg <1)求证 EF⊥平面 PAB; <2)设 AB= BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。 ,在 Rt△BCE 中,BE= 又由已知

<1)连接 PE、BE、CF、FD。在 Rt△PED 中,PE= AD=BC=PD,7EqZcWLZNX

4/8

CD=ED,∴PE=BE,又 F 为 PB 中点,∴EF⊥PB ,又在 Rt△PBC 中,CF= PB,在 Rt△PDB 中,DF= PB, ∴CF=DF,∴EF⊥CD,lzq7IGf02E 又 AB∥CD,∴EF⊥AB,∴EF⊥平面 PAB; <2)由已知 PD⊥CD,PD⊥AD,又 AD⊥CD,所以建立如图 11-8 所示的空间直角坐标系,设 BC=a,则 AB= 0 ) 、 C< F< BC= a,得 D<0,0,zvpgeqJ1hk a,a,0 ) 、 P<0 , 0 , a ) , 由 中 点 坐 标 公 式 得 E< ),

a,0,0 ) 、 A<0 , a,0 ) B< )∴NrpoJac3v1

设 n=<x,y,z)为平面 AEF 的一个法向量,由 n⊥

,得

为平面 AEF 的一个法向量,设 AC 与平面 AEF 所成 的角为θ ,则 sinθ = ∴AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin .

命题角度 3 求二面角的大小 1.<典型例题)在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD,如图 11-12。1nowfTG4KI <1)证明:AB⊥平面 VAD; <2)求二面角 A-VD-B 的大小。 <1)∵平面 VAD⊥平面 ABCD,AB⊥AD, ∴根据两面垂直的性质和 AB⊥平面 VAD。 <2)过 V 作 VO⊥AD 于 O,由平面 VAD⊥平面 ABCD,得 VO⊥底面 ABCD,∴可以建立如 衅 11-13 所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为 1,则 A< ,0,0)、B< ,1, 0)、C<- ,1,0)、D<- ,0,0)、V(0,0, >由<1)知 =<0,1,0)为平面 VAD 的一个法向量,

<-1 , -1 , 0 ) , 设 n=(x,y,z> 为 平 面 VDB 的 一 个 法 向 量 , 由 n ⊥ 得,x+y=0,令 x=1,得 y=-1,z=。∴cos< ,n>= .
fjnFLDa5Zo

又由图形知二面角 A-VD-B 为锐二面角,∴二面角 A-VB-B 的大小为 arccos

2.<典型例题)如图 11-14,已知三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点,△ABC、△PEF 都是 正三角形,PF⊥AB。tfnNhnE6e5 <1)证明:PC⊥平面 PAB; <2)求二面角 P-AB-C 的平面角的余弦值; <3)若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的球面上,求△ABC 的边长。

5/8

∵ F 为 AB 中点, PF⊥ AB,∴PA=PB ,又△ PEF 为正三角形,∴ PE=PF ,在△ PAE 与△ PAF 中, PE=PF, AE=AF,∴△PAE≌△PAF,∴∠PEA=∠PEF=90°,又 E 为 AC 中点,∴PA=PC,∴PA=PB=PC,∴P 在底面 ABC 上的射影为正△ABC 的中心,建立如图 11-14 所示的空间坐标系,设底面△ABC 的边长为 2a,则 PA=PB=PC= ∴P<0,0, <1) <2)由<1)知 法向量,cos< =< >= a,∴PO= a),C<
HbmVN777sL

0,0),A< 由

0),C<

0,0),B<

0)。

知 PC⊥PA,同理 PC⊥BP,∴PC⊥平面 PAB。 =<0,0, )为平面 ABC 的一个 。V7l4jRB8Hs ) 2 , 得 PA=2 ,∴

)为平面 PAB 的一个法向量,

又由图形知 P-AB-C 的平面角的余弦值为 ,又 PA 、 PB 、 PC 两 两互相 垂直 ,∴ PA2+BP2+PC2=<2
83lcPA59W9

<3 ) 由已 知球 半径 为 AB=2 1

,即正三角形的边长为 2

如图,在三棱锥 P-OAC 中,OP、OA、OC 两两互相垂直,且 OP=OA=1,OC=2,B 为 OC 的中点。

mZkklkzaaP

<1)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值; 答案:解:以 OA、OC、OP,所在直线为,x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则 O(0,0,0>、 P(0,0,1>、C(0,2,0>、B(0,1,0>.AVktR43bpw (1> . <2)求点 C 到平面 PAB 的距离; 答案: =(1,0,-1>, =(-1,1,0>,设 n1=(x,y,z>为平面 PAB 的一个法向量,则 x-z=0,x-y=0, =(0,2,-1>, =(-1,1,0>,cos< , > ,∴PC 与 AB 所成角的余弦值为

令 x=1 得 n1=(1,1,1>为平面 PAB 的一个法向量.ORjBnOwcEd =(0,-1,0>,∴d=

∴C 到平面 PAB 的距离为



<3)求二面角 C-PA-B 的大小<用反余弦表示)。 答案: =(-1,2,0>, =(1,0,-1>,设 n2=(x,y,z>为平面 PAC 的一个法向量,由 2y-x=0,x,又由图形知 C-PA-B 为锐

z=0,令 x=1,得 n2=(1, ,1>为平面 PAC 的一个法向量.∴cos∠n1,n2>=

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二面角. ∴C-PA-B 的大小为

.2MiJTy0dTT

2 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=2,点 M、N 分别在棱 PD、PC 上,且 PC⊥平面 AMN。gIiSpiue7A <1)求证:AM⊥PD; 答案:解读:(1>由已知 PC⊥平面 AMN,得 PC⊥AM,又可得 CD⊥平面 PAD,∴CD⊥AM,∴AMA⊥平面 PCD,uEh0U1Yfmh ∴AM⊥PD. <2)求二面角 P-AM-N 的大小; 答案:以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则由已知 A(0,0,0>,P(0,0,2>C(2, 2,0>,可以算得 N 分 法向量, 的比为 ,∴N( , , >、M(0,1,1>、 , > =(2,2,-2>为平面 AMN 的一个 .IAg9qLsgBX

=(2,0, 0>为平面 PAM 的一个法向量,且 cos∠ .

∴P——AM——N 的大小为 arc cos

<3)求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小。 答案: =(-2,0,0>,sinθ = . .

∴CD 与平面 AMN 所成角为 arcsin

命题角度 4 求距离 1.<典型例题)如图 11-18,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上 的点且 BF⊥平面 ACE。WwghWvVhPE <1)求证:AE⊥平面 BCE; <2)求二面角 B-AC-E 的大小; <3)求点 D 到平面 ACE 的距离。 <1)∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥AE,又 D-AB-E 为直二面角,CB⊥AB,∴CB⊥平面 AEB,∴CB⊥AEasfpsfpi4k ,∴AE⊥平面 BCE。 <2)以 A 为坐标原点,AB、AD 分别为 y 轴、z 轴建立如衅 11-18 所示的空间坐标系,则由∠AEB=90°, AE=EB,得∠EAB=45°,AE= ,得 E<1,1,0),在 Rt△BCE 中,F 分 的比为 2,∴F< ), >= ,

为平面 ACE 的一个法向量,平面 ABC 的一人法向量为 x 轴,取 n=(1,0,0>,∴cos(n, 又由图知 B-AC-E 为锐二面角。∴B-AC-E 的大小为 arccos (3> <0,2,-2),∴D 到平面 ACE 的距离 d= .ooeyYZTjj1

2.<典型例题)如图 11-19,在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三

7/8

角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=

,M、N 分别为 AB、SB 的中点 BkeGuInkxI

<1)证明:AC⊥SB; <2)求二面角 N-CM-B 的大小。 <3)求点 B 到平面 CMN 的距离。 取 AC 中点 O,连续 OS、OB,∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥OB,又平面 SAC⊥平面 ABC,SO⊥AC,∴SO⊥平面 ABC,∴SO⊥BO。以 OA、OB、OC 分别 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如下图。PgdO0sRlMo <1)A<2,0,0)、B<0,2 , 0 )、 N<0 , , ,0)、C<-2,0,0)、S<0 ,0,2 )∴ =<-4 , 0 , 0 ), =<0 , 2 )、M<1, , -2 )∵

∴AC⊥SB。3cdXwckm15 <2)由<1)得 可得 n=< 设 n=<x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则 )为平面 CMN 的一个法向量,又 =<0,0,2 )为平面 ABC 的

一个法向量,∴ cos<n, =

>

又由图知二面角 N-CM-B 的大小为锐角,∴二面角 N-CM-B 的大小为 arccos 。 为平面 CMN 的一个法向量。

<3)由<1)、<2)得 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=

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