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2016高考数学人教A版(理)复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I 第3讲 函数的奇偶性与周期性

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第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)等于( A.3 ). B.1 C.-1 D.-3 【详细分析】由 f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1, f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3. 答案 D ). 2. 已知定义在 R 上的奇函数, f(x)满足 f(x+2)=-f(x), 则 f(6)的值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 【详细分析】 (构造法)构造函数 f(x)=sin =-sin π ?π x+2? ? x, 则有 f(x+2)=sin? 2 ? ? 2 ? ? π π x=-f(x), 所以 f(x)=sin x 是一个满足条件的函数, 所以 f(6) 2 2 =sin 3π=0,故选 B. 答案 B 3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 下列不等式一定成立的是 2π? ? 2π? ? A.f?cos 3 ?>f?sin 3 ? ? ? ? ? ? C.f?sin ? π? ? π? cos ? ? < f 6? ? 6? ? B.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(cos 2)>f(sin 2) ( ). 【详细分析】当 x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],由 f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x +4-4|=2-|x|, 2π 显然当 x∈[-1,0]时,f(x)为增函数;当 x∈[0,1]时,f(x)为减函数,cos 3 =- 2π? ? 2π? 1 2π 3 1 ? 1? ?1? ? 3? ? ?- ? ? ? ? ? ?cos 3 ?>f?sin 3 ?. 2,sin 3 = 2 >2,又 f? 2?=f?2?>f? 2 ?,所以 f? ? ? ? 答案 A 1 -x ?1-2 ,x≥0, 4.已知函数 f(x)=? x 则该函数是 ?2 -1,x<0, ( ). A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增 B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减 【详细分析】当 x>0 时,f(-x)=2-x-1=-f(x);当 x<0 时,f(-x)=1-2-(- x) =1-2x=-f(x). 当 x=0 时, f(0)=0, 故 f(x)为奇函数, 且 f(x)=1-2-x 在[0, +∞)上为增函数, f(x)=2x-1 在(-∞, 0)上为增函数, 又 x≥0 时 1-2-x≥0, x<0 时 2x-1<0,故 f(x)为 R 上的增函数. 答案 C 5.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的周期函数,当 x∈[0,1)时,f(x)=4x -1,则 f(-5.5)的值为( A.2 解析 答案 B.-1 ) C.- 1 2 D.1 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1. D ( ). ?1,x为有理数, 6.设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数 【详细分析】 显然 D(x)不单调, 且 D(x)的值域为{0,1}, 因此选项 A、 D 正确. 若 x 是无理数,-x,x+1 是无理数;若 x 是有理数,-x,x+1 也是有理数.∴ D(-x)=D(x),D(x+1)=D(x).则 D(x)是偶函数,D(x)为周期函数,B 正确, C 错误. 答案 C 二、填空题 7.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 【详细分析】由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1 -|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0. 答案 0 8.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 2 【详细分析】因为 y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,所以当 x=-1 时,y=-2,即 f(-1)+(-1)2=-2,得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2 =-1. 答案 -1 9.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如 图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________. 【详细分析】由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标 原点对称,由 y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所 示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) ?x+1? ?的所有 10. 设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? ?x+4? x 之和为________. 解析 ?x+1? ?, ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f? ?x+4? ??x+1?? ??, ∴f(|2x|)=f?? ??x+4?? 又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ?x+1? ?, ∴|2x|=? ?x+4? 即 2x= x+1 x+1 或 2x=- , x+4 x+4 整理得 2x2+7x-1=0 或 2x2+9x+1=0, 3 设方程 2x2+7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x2+9x+1=0 的两根为 x3,x4. 7 ? 9? 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +?- ?=-8. 2 ? 2? 答案 -8 三、解答题 11.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f(xy) =yf(x)+xf(y). (1)求

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