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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 空间向量与立体几何 复习与小结参考教案1

时间:2015-01-17


空间向量与立体几何复习与小结
一、教学目标: 1、掌握空间向量的概念、运算及其应用; 2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。 二、重难点分析:

教案

本课的主要内容有:空间向量及其运算和空间向量的应用两部分. 1、空间向量及其运算: 重点:向量的线性运算和数量积运算及其应用。 难点:空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定 理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系. (1)空间向量的线性运算:重点:空间向量的运算和运算律;难点:应用向量 解决立体几何中的问题.平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研 究的是空间内的平移,空间任意两个向量都是共面向量,因此空间向量加法、减 法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。 (2)空间向量基本定理:重点:空间向量共线和共面的条件,空间向量分解定 理。 难点:对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。 (3)两个向量的数量积:重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点: 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。由于空间 任意两个向量都可转化为共面向量,所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、 两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等,都与平面向量 相同。 (4)空间向量的直角坐标运算:重点:向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、 空间向量平行和垂直的条件。难点:向量坐标的确定、公式的应用。 2、空间向量的应用 重点:直线的方向向量与直线的向量方程;平面的法向量与平面的向量表示; 直线与平面的夹角;二面角及其度量;距离,难点:利用平面的法向量求直线与 平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。 (1)直线的方向向量与直线的向量方程:重点:直线的方向向量,平行关系的 论证,用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。难点:直线的方向

-1-

向量,平面 α 的共面向量的选取及其表示。 (2)直线与平面的夹角: 重点:斜线和平面所成的角(或夹角)的求法。 难点:斜线与平面所成的角的求解,公式 cos? ? cos?1 ? cos?2 的灵活运用。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、知识梳理 (一) 、基本概念 1、共线向量定理:对于空间任意两个向量( b ? 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数

? ,使 a ? ? b .
推论: 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 那么对于任一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? ta ,其中向量 a 叫做 直线 l 的方向向量. 在 l 上取 AB ? a ,则 OP ? OA ?tAB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB .O 是空间任一点,A、 B、C 三点共线的充要条件是 OA ? xOB ? yOC ,其中 x + y = 1.特别地,当 t ?
1 P 为 AB 的中点, OP ? (OA ? OB) 称为线段 AB 的中点公式. 2 1 时, 2

2、共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 p 与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对 x、y,使 p ? xa ? yb 。 推论:空间一点位于平面 MBA 内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y) ,使

MA ? xMB ? yMC .
对于空间任一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? yMB .对于空间任一定点 O,P、 M、A、B 四点共面的充分必要条件是 OP ? xOM ? yOA ? zOB ,其中 x ? y ? z ? 1 。

b、 c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,存在唯一的有序实数 3、如果三个向量 a、 b、 c }叫做空间的一个基底, a、 b、 c 都叫做 组(x,y,z) ,使 p ? xa ? yb ? zc ,其中{ a、
基向量。

-2-

推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有 序实数组 x、y、z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。 4、空间向量的数量积: a ? b ? a ? b cos ? a, b ? 空间向量的数量积的性质:① a ? e ? a cos ? a, e ? ③ a ? a?a ? a
2 2

② a ? b ? a ?b ? 0

④ cos ? a, b ??

a ?b a?b

空间向量的数量积的运算律:① (? a) ? b ? ?(a ? b) (结合律) 换律) ③ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) 5、向量的直角坐标运算:设 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) ,则
2 2 a ? a ? a ? a12 ? a2 ? a3

② a ?b ? b? a (交

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R)
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 (? ? R )

设 A( x1, y1, z1 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )
AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

cos ? a ? b ??

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 a ? a2 ? a3 ? b12 ? b22 ? b32 2 1

(二)基本方法 1、平面法向量的求法:设 n 是平面 ? 的一个法向量,其坐标为 ( x, y, z ) ,利用 n 与平面 ? 内的两个不共线向量 a, b 垂直,其数量积为 0 列出两个关于 x、y、z 的三 元一次方程组,取这个方程组的一组非零解即得平面 ? 的一个法向量 n 。

-3-

2、线面角的求法:设 n 是平面 ? 的一个法向量, AB 是平面 ? 的斜线 l 的一个方 向向量,则直线 l 与平面 ? 所成角为 aec arc sin
AB ? n AB ? n

3、二面角的求法:① AB、CD 分别是二面角 ? ? l ? ? 的两个面内与棱 l 垂直的直 线,则二面角的大小为 ? AB, CD ? ; ② 设 n1 , n2 分 别 是 二 面 角 ? ? l ? ? 的 两 个 面 的 法 向 量 , 则
? n1 , n2 ?? arccos n1 ? n2 n1 ? n2

,这就是二面角 ? ? l ? ? (或其补角)的大小。

4、点、面距离的求法 设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的斜线段,则点 B 到平面 ? 的距离

d?

AB ? n n



(三) 、基本练习 1、 在平行六面体 ABCD— A ' B' C' D ' 中, 设 AC' ? xAB ? 2yBC ? 3zCC' , 则 x+y+z= ( A.
11 6

A )

B.

5 6

C.

2 3

D.

7 6

2、如图,长方体 ABCD— A1B1C1D1 中,AC 与 BD 的交点为 M,设 A1B1 ? a, A1D1 ? b,
A1A ? c ,则下列向量中与 B1M 相等的向量是(

A



-4-

A. ? a ? b ? c C.
1 1 a? b?c 2 2

1 2

1 2

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2

B.

3、 在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中, M 是棱 DD1 的中点, 点 O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1B1 上任意一点,则异面直线 OP 与 AM 所成角的大小为( A.
? 4

C



B.

? 3

C.

? 2

D. 与 P 点位置无关

4、如图,正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点,则异面直 线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为( B )

A.

3 3

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 6

5、如图,在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的 点,A1M=AN=
2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( 3

B )

A. 相交

B. 平行

C. 垂直

D. 不能确定

6、已知矩形 ABCD,PA⊥面 ABCD,M、N 分别是 AB,PC 的中点,平面 PDC 和面 ABCD 所成的角为 ? ,则当 ? ? ____45°______时,MN 是 AB 和 PC 的公垂线段。 7、将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,给出下列四个结论:

-5-

①AC⊥BD; ②AB、 CD 所成角为 60°; ③△ADC 为等边三角形; ④AB 与平面 BCD 所成角为 60°。 其中真命题是_______①②③ _____(请将你认为是真命题的序号都填上) 。 (四)作业布置:课本复习题(二)A 组中 1、3、4、6 五、教后反思:

-6-


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