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高三第一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合问题

时间:2015-12-16


专题 直线与圆锥曲线的综合问题

考点对接

普宁二中 高二理科数学备课组

1.直线与圆锥曲线的位置关系 思考 1:如何判断直线与圆锥曲线的位置关系?
研讨:(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元 二次方程,若 Δ>0,则直线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与 椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离.

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(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方 程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线 与双曲线相切;当 Δ<0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.

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(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方 程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.

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2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 思考 2:直线与圆锥曲线相交时如何求弦长?

研讨:有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理,“设 而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用, 以简化运算.

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(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k |x2-x1|或|P1P2|=
2

1 1+k2|y2-y1|,

其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用韦达定理,即作如下变形: |x2-x1|= ?x1+x2?2-4x1x2, |y2-y1|= ?y1+y2?2-4y1y2. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点 间距离公式).

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2.直线与圆锥曲线问题解法:

⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构 设直线 l: Ax 造一元二次方程求解. ?A l: Ax + By C=0, 圆锥曲线: f(x,y)=0,由? 设直线 设直线 l: Ax+By +C = 0+ , 圆锥曲线: ?f ?Ax ?Ax+By + By +C = 0+ ,C=0,22 2 + bx+ c= 0. ? 0,由? ax 得 ? bx c ? 0. f(x y)= ax? )= 0, ,由 得 ax f(x = 0, ,y)=0, ? ?f(x,y) 【注意事项】 ①联立的关于“x”还是关于“y” 的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗?
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+ bx +c=0. +c = 0. 利用韦达定理 .

2.直线与圆锥曲线问题解法: 若问题涉及弦的中点及直线斜率问题(即中点弦问 题),可考虑“点差法”(即把两点坐标代入圆锥曲线 方程,然后两式作差),同时常与根和系数的关系综合 应用. (2) 设而不求(代点作差法): 步骤如下:

①设点A(x1,y1)、B(x2, y2),代入曲线方程;
②作差得 k AB ③解决问题.
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y1 ? y2 ? ? ?? x1 ? x2

典例对接
类型一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】 (2012· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程.

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[思路点拨] (1)由椭圆性质及 a,b,c 之间的关系解之. (2)设出直线方程,与椭圆方程联立得到一元二次方程,再由 Δ=0 求出参数即可.
[尝试解答] (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0), x2 y2 所以 c=1.将点 P(0,1)代入椭圆方程a2+b2=1, 1 得b2=1,即 b=1. 所以 a2=b2+c2=2. x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 2 +y =1.
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(2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 x ? ? +y2=1, l 的方程为 y=kx+m,由? 2 消去 y 并整理得 ? ?y=kx+m (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)· (2m2-2)=0. 整理得 2k2-m2+1=0.①
2 ? ?y =4x, 由? ? ?y=kx+m 2

消去 y 并整理,得

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k2x2+(2km-4)x+m2=0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1.② 2 2 ? ? ?k= , ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ? ?m= 2 ?m=- 2. 2 2 所以直线 l 的方程为 y= 2 x+ 2或 y=- 2 x- 2.

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[规律方法] 对于消元后的一元方程 ax2+bx+c=0, 必须讨论二次项系数和判别式 Δ 当二次项系数 a≠0 时, Δ>0?直线与圆锥曲线相交; Δ=0?直线与圆锥曲线相切; Δ<0?直线与圆锥曲线相离. 值得注意的是,直线与圆锥曲线相切,它们有一个交点,但 直线与圆锥曲线有一个交点并不一定是直线与圆锥曲线相切.

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【变式1】已知直线 y=kx+1与双曲线 2x2-y2=1有交点,

求k的取值范围.
【变式2】已知直线 y=kx+1与双曲线 2x2-y2=1有且仅有 一个交点,求k的取值范围. 【变式3】已知直线 y=kx+1与双曲线 2x2-y2=1的右支交

于不同的两点A , B,求k的取值范围.

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类型二

圆锥曲线中的弦长问题

x2 y2 【例 2】 (2012· 北京)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个 2 顶点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不 同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.
[思路点拨] (1)由 a,b,c 的关系求出椭圆方程. (2)由弦长公式、“设而不求”方法求解.
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? ?a=2, ?c 2 (1)由题意得? = , ?a 2 2 2 2 ? ? a =b +c ,

解得 b= 2, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

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k?x-1?, ? ?y= (2)由?x2 y2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. + =1, ? ?4 2 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 2k2-4 4k2 x1+x2= ,x1x2= , 1+2k2 1+2k2 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = . 2 1+2k

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|k| 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 2, 1+k 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k2 1 S=2|MN|· d= . 1+2k2 |k| 4+6k2 10 4 2 由 = ,化简得 7 k - 2 k -5=0,解得 k=± 1. 3 1+2k2

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[规律方法] 在涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标时, 一般不 是求出这两个点的坐标,而是设出这两个点的坐标,根据直线 方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况,利用根与系数的 关系进行整体代入,这种设而不求的思想是解析几何中处理直 线和圆锥曲线相交问题的最基本的方法.

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y2 2 【变式】 已知F1,F2是椭圆 ? x ? 1的两个焦点, 2 AB是过焦点F1的一条动弦,求?ABF2面积的最大值。

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