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陕西省西安市西北工业大学附属中学2015届高三数学下学期四模考试试题 文

时间:2015-04-15

2015 年高考综合练习数学(文科)试卷
(时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填 写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符 合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.已知全集 U ? R ,集合

M ? {x x 2 ? x ? 0}

,则

? UM ?

(

)
y A

A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1} D. {x | x ? 0或x ? 1} 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB ,则复数 z1 ? z2 所对应的 点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若一个几何体的三视图,其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形, 尺寸如图所示,则该几何体的体积为 ( )

O B

x

第 2 题图

2 3 A. 3

3 3 B. 2

C. 3 )

D. 2 3

4.下列命题正确的个数有(

第 3 题图

(1)命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的必要不充分条件
2 2 (2)命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ?x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的 直 线 都 可 以 用 方 程 ( 3 ) 经 过 两 个 不 同 的 点 P

( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 来表示

(4)在数列 数列

?a n ?中,

a1 ? 1 , S n 是其前 n 项和,且满足

S n ?1 ?

1 Sn ? 2 ?a ? 2 ,则 n 是等比

(5)若函数 f ( x) ? x ? ax - bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则 a ? 4,b ? 11
3 2 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 5.如图,执行程序框图后,输出的结果为 (

D.4 个 )

-1-

A.8 6.已知

B.10

C.12

D.32 ( )
第 5 题图

?an ? 是等差数列, S n 为其前 n 项和,若 S13 ? S2000 ,则 S2013 ?
B. 2014 C. 1007 D. 0

A. -2014

7.已知向量 a ? (?2,?1), b ? (?,1), ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是(

)

1 (? ,2) ? (2,?? ) 2 A.

B.

? 2, ?? ?

? 1 ? ? ? , ?? ? ? C. ? 2

1? ? ? ??, ? ? 2? D. ?

8.把函数

y ? sin x ? x ? R ?

?
的图象上所有的点向左平移 6 个单位长度,再把所得图象上所有 )

点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到图象的函数表达式为(

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? , x ? R 3? ? A.
?? ?1 y ? sin ? x ? ? , x ? R 6? ?2 C.

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? , x ? R 3? ? B.
?? ?1 y ? sin ? x ? ? , x ? R 6? ?2 D.

?y ? 0 ?x ? y ? 1 ? ? ?x ? 2 y ? 4 ? x ? my ? n ? 0 m, n ? Z 9.若不等式 ? ( )所表示的平面区域是面积为 1 的直角三角形,则实
数 n 的一个值为 A.2 ( ) B.-1 C.-2 D.1

10.已知 a 、 b 、 c 是三条不同的直线,? 、 ? 是两个不同的平面,下列条件中,能推导出 a ⊥ ? 的是 ( ) B. a ? b, b ∥ ? D. a ∥ b , b ? ?

A. a ? b, a ? c 其中 b ? ? , c ? ? C. ? ? ? , a ∥ ?

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 F b 11.已知双曲线 a 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 1 作圆 x ? y ? a 的切线分别交
双曲线的左、右两支于点 B 、 C ,且 | BC |?| CF2 | ,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?3 x B. y ? ?2 2 x C. y ? ?( 3 ? 1) x D. y ? ?( 3 ? 1) x )

? x2 ? 2, x ? [0,1) f ( x) ? ? 2 f ( x ) ?2 ? x , x ?[?1,0) ,且 f ( x ? 2) ? f ( x ) , R 12. 已知定义在 上的函数 满足:

-2-

g ( x) ?

2x ? 5 x ? 2 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?5,1] 上的所有实根之和为(
B.-8 C.-6 D.-5



A.-7

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a , b, c ,若 a = 1, 2cosC + c = 2b,则 Δ ABC 的周长的最大值是__________. 14.设 a ? R ,函数

f ( x) ? e x ?

a ' ' e x 的导函数是 f ( x) ,且 f ( x) 是奇函数。若曲线 y ? f ( x)

3 的一条切线的斜率是 2 ,则切点的横坐标为
15. 已知 ? ? N ? ,函数

.

f ( x) ? sin(?x ?

?

( , ) 4 在 6 3 上单调递减,则 ? ? _______.

)

? ?

16. 定义函数 y ? f ( x), x ? I ,若存在常数 M ,对于任意 x1 ? I ,存在唯一的 x2 ? I ,使得

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?M 2 , 则 称 函 数 f ( x) 在 I 上 的 “ 均 值 ” 为 M , 已 知

f ( x) ? log2 x, x ? [1,2 2014 ] ,则函数 f ( x) ? log2 x 在 [1,2 2014 ] 上的“均值”为_______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 3 后成等比数列,

?a n ?满足: an?1 ? an (n ? N* ) , a1 ? 1 ,该数列的前三项分别加上 1,1,

an ? 2log 2 bn ? ?1.

(Ⅰ)分别求数列 (Ⅱ)求证:数列

?a n ?, ?bn ? 的通项公式;
?an ? bn ?的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人, 他们的健 康状况如下表: 健康指数 2 1 0 -1

-3-

60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数

120 9

133 18

34 14

13 9

其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生活能 够自理”,-1 代表“生活不能自理”。 (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机 地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, ABCD 是边长为 2 的正方形,DEFB是一平行四边形, 且 DE ? 平 面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点。 (Ⅰ)求证:平面 AEF//平面 BDGH;

y C A

(Ⅱ)求

VE ? BFH

T

O

M

N

第 19 题图 x

20. (本小题满分 12 分) 如图,圆 C 与 y 轴相切于点

T ? 0, 2 ?

,与 x 轴正半轴相交于两点

B

MN ? 3 M , N (点 M 在点 N 的左侧) ,且 .
(Ⅰ)求圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 M 任作一条直线与椭圆

?:

x2 y 2 ? ?1 4 8 相交于两点

A、B ,连接 AN、BN ,求证: ?ANM ? ?BNM .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3 .
2

第 20 题图

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 若对 ?x ? (0, ??) 有

2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值

范围. 请考生从 22、23、24 题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22. (本题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴

-4-

? 2? (1, ) (3 , ) 3 、 3 ,曲线 C 的参数方程为 建立极坐标系 . 已知点 A 、 B 的极坐标分别为
? x ? r cos ? , (? ? ? y ? r sin ? 为参数) .
(Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,求 r 的值. 23.(本题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立 (Ⅰ)求 m 的取值范围;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数

f ? m? ? m ?

1 (m ? 2)2 的最小值.

24.(本题满分 10 分) 选修 4—1:几何问题选讲 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,垂足为 M,E 是 CD 延 长线上的一点,且 AB=10,CD=8,3DE=4OM,过 F 点作⊙O 的切线 EF,BF 交 CD 于 G (Ⅰ)求 EG 的长; (Ⅱ)连接 FD,判断 FD 与 AB 是否平行,为什么?

第 24 题图

-5-

2015 年高考综合练习数学(文科)数学试题 参考答案及评分参考 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.B 2.A 3. D 4. B 5.B; 6.D 7. A 8.D 9. C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13. 3 14. ln 2 15. 2 或 3 16.1007 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)设 d、为等差数列 由

10.D

11. C ;12.A.

?a n ?的公差,且 d ? 0

a1 ? 1, a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d , 分别加上 1,1,3 成等比数列,
2

得 (2 ? d ) ? 2(4 ? 2d ),

d ? 0 ,所以 d ? 2 ,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,
又因为 所

an ? ?1 ? 2log2 bn ,


l

2

bn ? ?n

o



g

bn ?

1 2n

.?????

............................ 6 分

(Ⅱ)

Tn ?

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ??? , 2 2 2 2n ①

1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2 ②

①—②,得

1 1 1 1 1 1 T n ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 2nn? . ?1 2 2 2 2 2 2 ?????.

............... 10 分

1 2n ?1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 ?Tn ? 1 ? 1 2n 2n ? 2 2n 2n 1? 2 ???................. 12 分 1?
18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ) 80 岁以下的老龄人的人数为 120+133+34+13=300 ,生活能够自理的人数有 120+133+34=287,故随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率;

P 1 ?

287 ..............................6分 300

( Ⅱ ) 健 康 指 数 大 于 0 的 人 数 有 120+133+9+18=280 , 健 康 指 数 不 大 于 0 的 人 数 有

-6-

34+13+14+9=70, 按照分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,则健康指数大于 0 的有 4 位,记作 A,B, C , D , 健 康 指 数 不 大 于 0 的 有 1 位 , 记 作 E , ....................................................... ................................... 8 分 随机访问其中 3 位的所有情况有: (A,B,C) , (A,B,D) , (A,B, E) , (B,C,D) , (B,C,E) , (C,D,E) , (A,C,D) , ( A, C, E ) , (B,D,E) , (A,D,E) , 共 10 种, .................................................... ...................................... 10 分 其中恰有 1 位健康指数不大于 0 的情况有: (A,B,E) , (B,C,E) , (C,D,E) , (A,C,E) , (B,D,E) , (A,D,E) ,共 6 种情况,则被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄

人的健康指数不大于 0 的概率为

P2 ?

6 3 ? ............................................12分 10 5

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ) 证明:证明:在△CEF 中,∵G、H 分别是 CE、CF 的中点,∴GH∥EF, 又∵GH? 平面 AEF,EF? 平面 AEF,∴GH∥平面 AEF, 设 AC∩BD=O,连接 OH,在△ACF 中,∵OA=OC,CH=HF, ∴OH∥AF, 又∵OH?平面 AEF,AF? 平面 AEF, ∴OH∥平面 AEF. 又∵OH∩GH=H,OH、GH? 平面 BDGH, ∴平面 BDGH∥平面 AEF ............. ............................. 6分 (Ⅱ)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD . 又因为 DE ? 平面 ABCD ,则平面 BDEF ? 平面 ABCD , 平面 BDEF 平面 ABCD ? BD ,且 AC ? 平面 ABCD ,
第 19 题图

所以 AC ? 平面 BDEF . 得

AC ? 平面 BDEF

.....................

8分

则 H 到平面 BDEF 的距离为 CO 的一半

1 S?BEF ? ? 3 ? 2 2 ? 3 2 2 又因为 AO ? 2 ,三角形 BEF 的面积 ,


y

T



C A

1 2 VE ? BHF ? VH ? BEF ? ? ?3 2 ?1 O 3 2 ...............................................
B

M

N

x

-7-

... 12 分 20. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ( r ? 0 ) ,依题意,圆 心坐标为 (r , 2) . ∵ ..............1 分

MN ? 3
?3? 25 r 2 ? ? ? ? 22 r2 ? ?2? 4 ............................3 分 ,解得 5? 25 2 ? ? x ? ? ? ? y ? 2? ? 2? 4 ...............5 分 圆 C 的方程为 ?
2 2 2

第 20 题图





5? 25 2 ? ? x ? ? ? ? y ? 2? ? y?0 2 4 ,解得 x ? 1 ,或 x ? 4 , ? (Ⅱ)把 代入方程 ?

即点

M ?1,0 ?



N ? 4,0 ?



6分 7分 .

(1)当 AB ? x 轴时,由椭圆对称性可知 ?ANM ? ?BNM . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为

y ? k ? x ? 1?

? y ? k ? x ? 1? ? 2 k 2 ? 2 x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 2x ? y2 ? 8 联立方程 ? ,消去 y 得, .

?

?

8分

设直线 AB 交椭圆 ? 于

A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ?

两点,则

x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 8 x ? x ? 1 2 k2 ? 2 , k2 ? 2 .


9分



y1 ? k ? x1 ? 2? , y2 ? k ? x2 ? 2?
k AN ? k BN ?


?

k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? y1 y2 ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4

k ? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? k ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ?

? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?



10 分
2 ? k 2 ? 8? k ?2
2



? x1 ? 1?? x2 ? 4 ? ? ? x2 ? 1?? x1 ? 4 ? ? 2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 ?
11 分

?

10k 2 ?8? 0 k2 ? 2 ,



k AN ? kBN ? 0 , ?ANM ? ?BNM .
-8-

综上所述, ?ANM ? ?BNM . 12 分 21. (本小题满分 12 分)

? ? 【解析】 (Ⅰ)导函数 f ( x) ? 1 ? ln x ,令 f ( x) ? 1 ? ln x ? 0 ,得
0? x?


x?

1 e ,....2 分

1 e 时, f ?( x) ? 1 ? ln x ? 0 , f ( x) 单调递减;



x?

1 e 时, f ?( x) ? 1 ? ln x ? 0 , f ( x) 单调递增, x?
1 1 1 f( )?? e. e 处取得极小值,且极小值为 e

f ( x) 在

.............6 分

(Ⅱ)对 ?x ? (0, ??) 有 2 f ( x) ? g ( x) 恒成

2 ln x ? x ?
立,等价于

3 ?a x 恒成立. h( x) ? 2 ln x ? x ?


3 x





h?( x) ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ?1? 2 ? x x x2 ,......8 分 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ?1? 2 ? ? 0 ,得 x ? 1或x ? ?3 (舍去). x x x2
h( x) ? 2 ln x ? x ? 3 x 单调递减;

h?( x) ?


? 当 0 ? x ? 1 时, h ( x) ? 0 , ? 当 x ? 1 时, h ( x) ? 0 ,

h( x) ? 2 ln x ? x ?

3 x 单调递增...............10 分

h( x) ? 2 ln x ? x ?
所以

3 x 在 x ? 1 处取得最小值,且最小值为 f (1) ? 4 ,

因而 a ? 4 ...........................................12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

? 2? (1, ) (3 , ) 3 、 3 , 【解析】 (Ⅰ)∵点 A 、 B 的极坐标分别为
-9-

1 3 3 3 3 ( , ) (? , ) 2 , 3分 ∴点 A 、 B 的直角坐标分别为 2 2 、 2
∴直线 AB 的直角坐标方程为 2 3x ? 4 y ? 3 3 ? 0 . 5 分

? x ? r c o?s , (?为参数) ? y ? r s i ? n ? C ( Ⅱ ) 由 曲 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 为
x 2 ? y 2 ? r 2 ?????????????????????????????8 分

∵直线 AB 和曲线 C 只有一个交点,

r?
∴半径

? 3 21 14 (2 3)2 ? 42 .

3 3

10 分

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 【解析】 (Ⅰ)∵关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立

? m ? ( 2 ? x ? x ? 1)max 1 分
根 据 柯
2

西




2







(

?x

2

? x

?1
x?

) ? x

( ?

x2

1

?

2

2

?

x 1?2

?1 x

所以 2 ? x ? x ? 1 ? 6 ,当且仅当 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 2 ? 0 ,则
f ? m? ? 3
3

1 2 时等号成立,故 m ? 6 . 5 分
1 1 1 1 ? (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2 2 (m ? 2) 2 2 (m ? 2) 2

f ? m? ? m ?



1 1 1 3 (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2? 3 2?2 2 2 2 (m ? 2) 2

8分

1 1 (m ? 2) ? (m ? 2)2 ,即 m ? 3 2 ? 2 ? 6 时取等号, 当且仅当 2 f ? m? ? m ? 1 33 2?2 (m ? 2)2 的最小值为 2 .

9分

所以函数

10 分

24. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何问题选讲 【解析】 (Ⅰ)连接 AF,OF,,则 A,F,G,M 共园,因为 EF⊥OF, ∵∠FGE=∠BAF 又∠EFG=∠BAF , ∴∠EFG=∠FGE ,有 EF=EG????????.3 分

4 由 AB=10,CD=8 知 OM=3 ∴ED= 3 OM=4
EF 2 ? ED ? EC ? 48
∴EF=EG= 4 3 ??????????.5 分
- 10 -

(Ⅱ)连接 AD, ∠BAD=∠BFD 及(Ⅰ)知 GM=EM-EG= 8 ? 4 3

MG MD 4 1 ? 4?2 3 ? ? ? ∴tan∠MBG= MB , tan∠BAD= MA 8 2 tan∠MBG
∴∠BAD≠∠MBG,∠MBF≠∠BFD ∴ FD 与 AB 不平行 ??????????????????????10 分

- 11 -


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