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圆锥曲线专题复习试题和答案

时间:2015-08-15


题型一:求曲线轨迹方程
1.如图,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N。求线段 QN 的中点 P 的 轨迹方程。 解:设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1) 则 N( 2x-x1,2y-y1)代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y1=2 ① 又 PQ 垂直于直线 x+y=2,故 x-y+y1-x1=0 ②
2 2

y ? y1 ? 1 ,即 x ? x1

由①②解方程组得 x1 ?

3 1 1 3 x ? y ? 1, y1 ? x ? y ? 1 , 2 2 2 2
2 2

代入双曲线方程即可得 P 点的轨迹方程是 2x -2y -2x+2y-1=0

2.抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB,求抛物线的顶点 O 在直线
2

AB 上的射影 M 的轨迹。 解 1(交轨法) :点 A、B 在抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 上,设 A(
2
2 yB yA , yB ) 所 , y A ) ,B( 4p 4p

2

以 kOA=

4p 4p kOB= ,由 OA 垂直 OB 得 kOA kOB = -1,得 yAyB= -16p2 ,又 AB 方程可求得 yA yB
2 y A ? yB yA ( x ? ) ,即(yA+yB)y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2 代入得 AB 方程 2 2 4p y A yB ? 4p 4p

y ? yA ?

(yA+yB)y--4px+16p2 =0



又 OM 的方程为 y ?

y A ? yB x ? 4P
2



由①②消去得 yA+yB 即得 x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0 ,
2 2 2

即得 ( x ? 2 p)

? y2 ? 4 p2 。

所以点 M 的轨迹方程为 ( x ? 2 p) ? y ? 4 p , 其轨迹是以 (2 p,0) 为圆心, 半径为 2 p 的圆, 除去点(0,0) 。 解 2(几何法) :由解 1 中 AB 方程(yA+yB)y--4px+16p2 =0 可得 AB 过定点(4p,0)而 OM 垂直 AB,所以由圆的几法性质可知:M 点的轨迹是以 (2 p,0) 为圆心,半径为 2 p 的圆。所 以方程为 ( x ? 2 p) ? y ? 4 p ,除去点(0,0) 。
2 2 2

3.过点 M (?2,0) ,作直线 l 交双曲线 x 2 ? y 2 ? 1于 A、B 不同两点,已知 OP ? OA ? OB 。 求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解: (1) 、设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 代入 x 2 ? y 2 ? 1得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ?1 ? 0 , 当 k ? ?1 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

??? ?

??? ? ??? ?

4k 2 4k 2 ? 1 x x ? , 1 2 1? k 2 k 2 ?1

k ?4k 2 4k y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? ? 4k ? 2 1? k 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1? k 设 P ( x, y ) ,由 OP ? OA ? OB ,则 4k 2 4k ( x, y ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ( , ) 2 1? k 1? k 2 ? 4k 2 x ? ? x ? ? ? 1 ? k ,解之得 ? k (k ? 0) y ? y ? 4k 2 ? 1? k ? 4k x 再将 ? k 代入 y ? 得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ……………………(1) 2 1? k y 当 k ? 0 时,满足(1)式; 当斜率不存在是,易知 P(?4, 0) 满足(1)式,故所求轨迹方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,其轨
迹为双曲线; 当 k ? ?1 时,l 与双曲线只有一个交点,不满足题意。

题型二:极值问题
1.(2007 年安徽高考题)设 F 是抛物线 G : x ? 4 y 的焦点.设 A、B 为抛物线 G 上异于原
2

点的两点, 且满足 FA?FB ? 0 , 延长 AF ,BF 分别交抛物线 G 于点 C、 D, 求四边形 ABCD 面积的最小值. ◆解: 设 A( x1,y1 ) , 由题意知, 直线 AC 的斜率 k 存在, 由对称性, 不妨设 k ? 0 . C( x2,y2 ) ;

??? ? ??? ?

1) ,所以直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 .点 A、C 的坐标满足方程组 因直线 AC 过焦点 F (0,

? y ? kx ? 1, ? 2 ? x ? 4 y,
得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,由根与系数的关系知 ?
2

? x1 ? x2 ? 4k, 则有: ? x1 x2 ? ?4.

AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ? k 2 ) .
因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ?

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 .同理可求得 k k
. ∴

? ? 1 ?2 ? 4(1 ? k 2 ) BD ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? k? ? k2 ? ?

S ABCD ?

1 8(1 ? k 2 )2 1 AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ≥ 32 .当 k ? 1 时,等号成立.所以,四 2 2 k k

边形 ABCD 面积的最小值为 32 . x2 2.求椭圆 +y2=1 上的点到直线 y=x+2 3的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭 2 圆上点的坐标. 解 设椭圆的切线方程为 y=x+b, 代入椭圆方程,得 3x2+4bx+2b2-2=0. 由 Δ=(4b)2-4×3×(2b2-2)=0,得 b=± 3. 当 b= 3时,直线 y=x+ 3与 y=x+2 3的距离 d1= 2 3 3 -2=0,解得 x=- ,此时 y= , 3 3 6 2 3 3? 即椭圆上的点?- 到直线 y=x+2 3的距离最小,最小值是 ; 2 ? 3 ,3? 3 6 当 b=- 3时,直线 y=x- 3到直线 y=x+2 3的距离 d2= ,将 b=- 3代入方程 3x2 2 +4bx+2b2-2=0,解得 x= 即椭圆上的点? 2 3 3 ,此时 y=- , 3 3 6 ,将 b= 3代入方程 3x2+4bx+2b2 2

3 6 2 3 3? 到直线 y=x+2 3的距离最大,最大值是 . ,- 2 3? ? 3

题型三:定点定值问题
y2 1.已知双曲线 C:x2- =1,过圆 O:x2+y2=2 上任意一点作圆的切线 l,若 l 交双曲线于 2 A,B 两点,证明:∠AOB 的大小为定值. 证明 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=± 2. 当 x= 2时,代入双曲线方程,得 y=± 2, 即 A( 2, 2),B( 2,- 2),此时∠AOB=90° ,

同理,当 x=- 2时,∠AOB=90° . 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y=kx+b, 则 |b| = 2,即 b2=2(1+k2). 1+k2

由直线方程和双曲线方程消掉 y, 得(2-k2)x2-2kbx-(b2+2)=0, 由直线 l 与双曲线交于 A,B 两点. 故 2-k2≠0.设 A(x1,y1),B(x2,y2). -?b2+2? 2kb 则 x1+x2= , 2,x1x2= 2-k 2-k2 y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2 -k2b2-2k2 2k2b2 2b2-k2b2 2b2-2k2 = + + = , 2-k2 2-k2 2-k2 2-k2 -b2-2 2b2-2k2 b2-2?1+k2? 故 x1x2+y1y2= + = , 2-k2 2-k2 2-k2 由于 b2=2(1+k2), → → 故 x1x2+y1y2=0,即OA· OB=0,∠AOB=90° . 综上可知,若 l 交双曲线于 A,B 两点,则∠AOB 的大小为定值 90° .

2.如图所示,曲线 C1: + =1,曲线 C2:y =4x,过曲线 C1 的右焦点 F2 作一

x2 9

y2 8

2

条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1,C2 依次交于 B,C,D,E 四点.若 G |BE|· |GF2| 为 CD 的中点、H 为 BE 的中点,证明|CD|· |HF |为定值.
2

证明 由题意,知 F1(-1,0),F2(1,0), 设 B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), x2 y2 直线 y=k(x-1),代入 9 + 8 =1, ?y ? 得 8?k+1?2+9y2-72=0,即(8+9k2)y2+16ky-64k2=0, ? ? 16k 64k2 则 y1+y2=- . 2,y1y2=- 8+9k 8+9k2 同理,将 y=k(x-1)代入 y2=4x,得 ky2-4y-4k=0, 4 则 y3+y4=k ,y3y4=-4,

1 |y +y | |BE|· |GF2| |y1-y2| 2 3 4 所以|CD|· = |HF2|=|y3-y4|· 1 | y + y | 2 1 2 = ?y1+y2?2-4y1y2 ?y3+y4?2 · ?y1+y2?2 ?y3+y4?2-4y3y4

?y1-y2?2 ?y3+y4?2 · ?y1+y2?2 ?y3-y4?2



?-16k?2 4×64k2 ?4?2 + ? k? ?8+9k2?2 8+9k2 ? ? · =3 为定值. 2 ?-16k? ?4?2 ? k? +16 ? ? ?8+9k2?2

题型四:存在性、探索性问题
1.(2004 年湖北卷)已知直线 与双曲线 的右支交于不同的 两点 A、B。(1)求实数 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆 经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由。 解析:(1)将直线 的方程 ① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A、B, 设 则 且 ; 代入双曲线 C 的方程 后,整理得



且 解联立不等式组得 k 的取值范围为(-2, )。

(2)假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0),则 FA ⊥FB,

所以 即 又 代入前式整理得 ,





代入,化简得

解得





不合,舍去。

所以

符合题意。

2.已知椭圆的一个焦点 F 对应的准线方程为 y ? ? 1 (0,?2 2 ) ,

2 9 且离心率 e 满足 ,e , 2, 4 3

4 成等比数列. 3
(1)求椭圆的方程; (2)试问是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 恰被直线

1 x ? ? 平分?若存在,求出 l 的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由. 2 2 4 2 4 2 2 e? 2 ,设 p ( x, y ) 是椭圆上任意一点, 解: (1)∵ , e, 成等比数列,∴ e ? ? 3 3 3 3 3

x2 ? ( y ? 2 2)2 2 2 y2 2 2 2 ? , 化简得9 x ? y ? 9 , 即 x ? ? 1 为所求 依椭圆的定义得 9 3 9 y? 2 4
的椭圆方程.

(2)假设 l 存在,因 l 与直线 x ? ?

1 相交,不可能垂直 x 轴,因此可设 l 的方程为: 2

y ? kx ? m .

由?

? y ? kx ? m ?9 x ? y ? 9
2 2

,消去y, 得9 x 2 ? (kx ? m) 2 ? 9整理得 :

(k 2 ? 9) x 2 ? 2kmx? (m 2 ? 9) ? 0 , ①
方程①有两个不等的实数根,∴

? ? 4k 2m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 9) ? 0,即m2 ? k 2 ? 9 ? 0 .
设两个交点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) 恰被直线 x ? ?

② ∴ x1 ? x 2 ?

? 2km ,∵线段 MN k2 ?9
∴m ?

1 x ? x2 2km 1 即? 2 ? ?1, ∵ k ? 0 平分,∴ ? ? 1 2 2 2 k ?9

k2 ?9 ③ 2k

k2 ?9 2 k2 ? 9 2 2 ? 1 ? 0 ,∴ k 2 ? 3 ,解得 ) ? (k ? 9) ? 0 ,∵ k ? 9 ? 0 ,∴ 把③代入②得 ( 2 4k 2k

? ? ? 2? k ? 3 或 k ? ? 3 .∴直线 l 的倾斜角范围为 ( , ) ? ( , ) . 3 2 2 3

题型五:综合
1.已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ?
x2 a
2

20 ,椭圆 C2 的方程为 3

?

y2 b
2

?1

?a ? b ? 0? ,C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 2

恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解:由 e ? 设椭圆方程为
2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 2 a 2
x2 2b
2
y

?

y2 b
2

? 1.

A

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ).由圆心为(2,1).
? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2.
F2 O

C1

F1 B



2 x1

2b 2

?

2 y1

b2

? 1,

2 x2

2b 2
2b 2

?

2 y2

x

b2
?

? 1,
? 0.

两式相减,得

2 2 x1 ? x2

2 2 y1 ? y2

b2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0,

又 x1 ? x 2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得

y1 ? y 2 ? ?1. x1 ? x 2

? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2)..

即 y ? ?x ? 3 将 y ? ? x ? 3代入
x2 2b 2 ? y2 b2 ? 1, 得

3x 2 ? 12x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆 C2 相交.? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0.

由 AB ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

20 . 3

得 2?

24b 2 ? 72 ? 3
b 2 ? 8.

20 . 3

解得

故所有椭圆方程

x2 y2 ? ? 1. 16 8

x2 y 2 x2 y2 F l ( a ? b ? 0) ? ? 1 ? ?1 的右焦点,直线 过点 且与双曲线 a 2 b2 a b2 的两条渐进线 l1 , l2 分别交于点 M , N ,与椭圆交于点 A, B . ? (I)若 ?MON ? ,双曲线的焦距为 4。求椭圆方程。 3 ??? ? 1 ???? ???? ? ???? ? (II)若 OM ? MN ? 0 ( O 为坐标原点) , FA ? AN ,求椭圆的离心率 e 。 3 ? 解: (I)? ?MON ? , M , N 是直线 l 与双曲线两条渐近线的交点, 3 b ? 3 ? ? tan ? , 即 a ? 3b ………………2 分 a 6 3 ? 双曲线的焦距为 4,? a 2 ? b 2 ? 4 ……………………4 分 x2 2 2 解得, a ? 3, b ? 1 ? 椭圆方程为 ? y 2 ? 1 …………5 分 3 (II)解:设椭圆的焦距为 2c ,则点 F 的坐标为 (c,0)
2.已知 F 为椭圆

?OM ? ON ? 0 , ? l ? l1 b a ? 直线 l1 的斜率为 ? ,? 直线 l 的斜率为 , b a a ? 直线 l 的方程为 y ? ( x ? c ) …………………………………………7 分 b

a ? a2 ? y ? ( x ? a ) x ? ? ? a 2 ab b c 由? 解得 ? 即点 N ( , ) b c c ? y? x ? y ? ab a ? c ? 1 1 a 2 ab x, ? y ) 设 A( x, y), 由 FA ? AN , 得 ? x ? c, y ? ? ( 3 3 c c 2 2 2 ? ? 1 a 3c ? a ? x ? c ? ( ? x) ?x ? 3c 2 ? a 2 ab 3 c 4 c A( , ) ……10 分。 即? ? 4c 4c ? y ? 1 ( ab ? y) ? y ? ab 3 c 4c ? ? 2 2 2 2 (3c ? a ) a ? ? 1 ………………………………12 分 ? 点 A 在椭圆上,? 2 2 16a c 16c 2 ? (3c 2 ? a 2 ) 2 ? a 4 ? 16a 2 c 2 ,? (3e 2 ? 1) 2 ? 1 ? 16e 2

9e 4 ? 10e 2 ? 2 ? 0
椭圆的离心率是 e ?

e2 ?

5? 7 9

?e ?

5? 7 3

5? 7 。 3

x2 ? y 2 ? 1 ( a 为正常数)与 C2 : y 2 ? 2( x ? m) 在 x 轴上方只有一个公共点 P 。 2 a (Ⅰ)求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; 1 (Ⅱ) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A ,当 0 ? a ? 时,试求 ?OAP 的面积的最 2 大值(用 a 表示) 。
3.设曲线 C1 :

? x2 2 ? 2 ? y ?1 解: (Ⅰ)由 ? a ? x 2 ? 2a 2 x ? (2m ? 1)a 2 ? 0 , ? y 2 ? 2( x ? m) ?
①若 ? ? 0 ? m ?

……①

设 f ( x) ? x2 ? 2a2 x ? (2m ? 1)a2 ,则问题(Ⅰ)转化为方程①在区间 ( ? a , a ) 上有唯一解:

a2 ? 1 ,此时 xP ? ?a 2 ,当且仅当 ?a ? ?a 2 ? a ,即 0 ? a ? 1 适合; 2 ②若 f (a) f (?a) ? 0 ,则 ?a ? m ? a ; ③若 f (?a) ? 0 ? m ? a , 此时 xP ? a ? 2a2 , 当且仅当 ?a ? a ? 2a 2 ? a , 即 0 ? a ? 1 时适合;
若 f (a) ? 0 ? m ? ?a ,此时 xP ? ?a ? 2a 2 ,但 ?a ? 2a 2 ? ?a ,从而 m ? ?a 。

a2 ? 1 或 ?a ? m ? a ;当 a ? 1 时, ?a ? m ? a 。 2 1 1 (Ⅱ) ?OAP 的面积是 S ? ayP 。因为 0 ? a ? ,所以有两种情形: 2 2
综上所述,当 0 ? a ? 1 时, m ? ①当 ?a ? m ? a 时, 0 ? ?a2 ? a a2 ? 2m ? 1 ? a ,由唯一性得 xP ? ?a2 ? a a2 ? 2m ? 1 。显 然,当 m ? a 时, xP 取得最小值 a ? 2a 2 ,从而 yP ? 1 ?
2 xP 取得最大值 2 a ? a2 ,所以有 2

Smax ? a a ? a2 ;

a2 ? 1 1 时, xP ? ?a 2 , yP ? 1 ? a2 ,此时 S ? a 1 ? a2 。因此,有 2 2 1 1 1 1 当 a a ? a2 ? a 1 ? a2 ,即 0 ? a ? 时, Smax ? a 1 ? a2 ;当 a a ? a2 ? a 1 ? a2 , 2 3 2 2 1 1 即 ? a ? 时, Smax ? a a ? a2 。 3 2
②当 m ?


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