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高考数学常用公式及结论200条

时间:2012-03-02


高考数学常用公式及结论 200 条(一)
湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系

x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A .
2.德摩根公式

CU ( A I B) = CU A U CU B; CU ( A U B) = CU A I CU B .
3.包含关系

A I B = A ? A U B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A I CU B = Φ ? CU A U B = R
4.容斥原理

card ( A U B ) = cardA + cardB ? card ( A I B ) card ( A U B U C ) = cardA + cardB + cardC ? card ( A I B ) ? card ( A I B ) ? card ( B I C ) ? card (C I A) + card ( A I B I C ) .

{a1 , a2 ,L , an } 的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n –1 个;非空子集有 2 n –1 n 个;非空的真子集有 2 –2 个.
5.集合 6.二次函数的解析式的三种形式
2 (1)一般式 f ( x) = ax + bx + c( a ≠ 0) ; 2 (2)顶点式 f ( x) = a ( x ? h) + k ( a ≠ 0) ;

(3)零点式

f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )(a ≠ 0) .

7.解连不等式 N < f ( x ) < M 常有以下转化形式

N < f ( x ) < M ? [ f ( x ) ? M ][ f ( x ) ? N ] < 0 f ( x) ? N M +N M ?N >0 | f ( x) ? |< ? ? M ? f ( x) 2 2 1 1 > ? f ( x) ? N M ? N .
8.方程 f ( x ) = 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) < 0 不等价,前者是后
2 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 有且只有一个实根在

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) < 0 ,或 f (k1 ) = 0 且
k1 + k 2 b <? < k2 2 2a .
9.闭区间上的二次函数的最值

k1 < ?

b k1 + k 2 < 2a 2 ,或 f (k 2 ) = 0 且

二次函数 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值只能在 间的两端点处取得,具体如下:
2

x=?

b 2a 处及区

x=?
(1)当 a>0 时, 若

b b ∈ [ p, q ] f ( x ) min = f ( ? ), f ( x ) max = max { f ( p ), f ( q )} 2a 2a , 则 ;

x=?

b ? [ p, q ] f ( x) = { f ( p), f (q)} f ( x) = { f ( p), f (q)} max max min min 2a , , .

x=?
(2) 当 a<0 时 , 若

b ∈ [ p, q ] f ( x) min = min { f ( p), f (q)} 2a , 则 , 若

x=?

b ? [ p, q ] f ( x) max = max { f ( p), f (q)} f ( x) min = min { f ( p), f (q)} 2a ,则 , .

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f ( m) f ( n) < 0 ,则方程 f ( x ) = 0 在区间 ( m, n ) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) = x2 + px + q ,则

? p 2 ? 4q ≥ 0 ? ? p ?? > m (1)方程 f ( x ) = 0 在区间 (m,+∞ ) 内有根的充要条件为 f ( m ) = 0 或 ? 2 ; ? f ( m) > 0 ? f ( n) > 0 ? ? 2 ? p ? 4q ≥ 0 ? ?m < ? p < n ? 2 (2)方程 f ( x ) = 0 在区间 ( m, n ) 内有根的充要条件为 f ( m) f ( n) < 0 或 ?

? f ( m) = 0 ? f ( n ) = 0 ? ? 或 ?af ( n) > 0 或 ?af ( m) > 0 ; ? p 2 ? 4q ≥ 0 ? ? p ?? < m (3)方程 f ( x ) = 0 在区间 ( ?∞, n ) 内有根的充要条件为 f ( m ) < 0 或 ? 2 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 ( ?∞,+∞ ) 的子区间 L (形如 [α , β ] , (? ∞, β ],[α ,+∞) 不同)上含参数

f ( x, t ) min ≥ 0( x ? L) . 的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是
(2)在给定区间 ( ?∞,+∞ ) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是

f ( x, t )man ≤ 0( x ? L) .

(3) f ( x) = ax + bx + c > 0 恒成立的充要条件是 12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 n 个 至多有( n ? 1 )个
4 2

?a ≥ 0 ? ?b ≥ 0 ?c > 0 ?

?a < 0 ? 2 b ? 4ac < 0 . 或?

小于

不小于

至多有 n 个

至少有( n + 1 )个

对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立

存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 15.充要条件 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

(1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x )在[a, b] ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] > 0 ? x1 ? x2 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ? f ( x )在[a, b ] ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] < 0 ? x1 ? x2 上是减函数.
(2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数;如果

f ′( x ) < 0 ,则 f (x ) 为减函数.
17.如果函数 f (x ) 和 g (x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y = f (u ) 和 u = g (x ) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数

y = f [ g ( x)] 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 y = f (x ) 是偶函数, f ( x + a ) = f ( ? x ? a ) ;若函数 y = f ( x + a ) 是偶函 则 数,则 f ( x + a ) = f ( ? x + a ) . 20.对于函数 y = f (x ) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b ? x ) 恒成立,则函数 f (x ) 的对称轴是

a+b a+b x= y = f ( x + a ) 与 y = f (b ? x ) 的图象关于直线 2 ;两个函数 2 对称. 函数 a ( ,0 ) 对称; 若 21. 若 f ( x) = ? f ( ? x + a ) , 则 函 数 y = f (x ) 的 图 象 关 于 点 2 x=

f ( x ) = ? f ( x + a ) ,则函数 y = f (x ) 为周期为 2a 的周期函数.
22.多项式函数

P ( x ) = an x n + an ?1 x n ?1 + L + a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y = f ( x ) 的图象的对称性 (1)函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = a 对称 ? f ( a + x ) = f (a ? x )

? f (2a ? x) = f ( x ) .
(2)函数 y = f ( x ) 的图象关于直线

x=

a+b 2 对称 ? f ( a + mx ) = f (b ? mx )

? f ( a + b ? mx ) = f ( mx ) .
24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y = f ( x ) 与函数 y = f ( ? x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y = f ( mx ? a ) 与函数 y = f (b ? mx ) 的图象关于直线 (3)函数 y = f (x ) 和 y = f
?1

x=

a+b 2m 对称.

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x ? a ) + b 的图 象;若将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图 象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a ) = b ? f ?1 (b) = a .
27. 若 函 数 y = f ( kx + b ) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为

y=

1 ?1 [ f ( x ) ? b] k ,并不是

y =[f

?1

(kx + b) ,而函数 y = [ f

?1

(kx + b) 是

y=

1 [ f ( x) ? b] k 的反函数.

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) = cx , f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), f (1) = c .
x (2)指数函数 f ( x) = a , f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 .

f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ≠ 1) . α ' (4)幂函数 f ( x) = x , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f (1) = α . (5)余弦函数 f ( x ) = cos x ,正弦函数 g ( x ) = sin x , f ( x ? y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,
(3)对数函数

f (0) = 1, lim
x →0

g ( x) =1 x .

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x ) = f ( x + a ) ,则 f (x ) 的周期 T=a; (2) f ( x) = f ( x + a ) = 0 ,

f ( x + a) =


1 ( f ( x ) ≠ 0) f ( x) ,

f (x + a) = ?


1 f (x) ( f (x) ≠ 0) ,
,则 f (x ) 的周期 T=2a;

1 + 或2

f ( x ) ? f 2 ( x ) = f ( x + a ), ( f ( x ) ∈ [ 0,1])

f ( x) = 1 ?
(3)

1 ( f ( x ) ≠ 0) f ( x + a) ,则 f (x ) 的周期 T=3a;

f ( x1 + x2 ) =
(4)

f ( x1 ) + f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) 且 f (a ) = 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 ? x2 |< 2a ) , 则

f (x ) 的周期 T=4a;
(5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a)

= f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x ) 的周期 T=5a;
(6) f ( x + a ) = f ( x ) ? f ( x + a ) ,则 f (x ) 的周期 T=6a. 30.分数指数幂

a =
(1)

m n

1
n

a

?

m n

a ( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ). (2) 31.根式的性质
n n (1) ( a ) = a .

=

a m ( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ). 1
m n
?

?

(2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

? a, a ≥ 0 a n =| a |= ? ??a, a < 0 . 当 n 为偶数时,
n

32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s = a r + s ( a > 0, r , s ∈ Q ) .
r r r

r s rs (2) ( a ) = a ( a > 0, r , s ∈ Q ) .

(3) ( ab) = a b ( a > 0, b > 0, r ∈ Q ) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

log a N = b ? a b = N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
34.对数的换底公式

log m N log m a ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). n log a m b n = log a b m 推论 ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). log a N =
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1)

log a ( MN ) = log a M + log a N ;

M = log a M ? log a N N (2) ; n log a M = n log a M ( n ∈ R ) . (3) log a
f ( x ) = log m ( ax 2 + bx + c )( a ≠ 0) ,记 ? = b 2 ? 4ac .若 f (x ) 的定义域为 R ,则 a > 0 ,且 ? < 0 ;若 f (x ) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 ? ≥ 0 .对于 a = 0 的情形,需要
36.设函数 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 a ,则函数 y = log ax (bx) 若a > 0,b > 0, x > 0 , 1 1 (0, ) ( , +∞) y = log (bx) ax a 和 a 上 为增函数. (1)当 a > b 时,在 1 1 (0, ) ( , +∞) y = log (bx) ax a 和 a (2)当 a < b 时,在 上 为减函数. x≠
推论:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则 (1)

log m + p ( n + p ) < log m n

.

log a m log a n < log a 2

(2) 38. 平均增长率的问题 如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总产 值 y ,有

m+n 2 .

y = N (1 + p ) x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n =1 ? s1 , an = ? ? sn ? sn?1 , n ≥ 2 ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn = a1 + a2 + L + an ).
40.等差数列的通项公式

an = a1 + ( n ? 1) d = dn + a1 ? d ( n ∈ N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2 d 1 = n 2 + (a1 ? d )n 2 2 . sn =
41.等比数列的通项公式

an = a1q n ?1 =

a1 n ? q (n ∈ N * ) q ;

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ≠1 ? sn = ? 1 ? q ?na , q = 1 ? 1



? a1 ? an q ,q ≠1 ? sn = ? 1 ? q ?na , q = 1 ? 1

42.等比差数列

{an }: an+1 = qan + d , a1 = b(q ≠ 0) 的通项公式为

.

?b + (n ? 1)d , q = 1 ? an = ? bq n + (d ? b)q n ?1 ? d ,q ≠1 ? q ?1 ? ;
其前 n 项和公式为

? nb + n(n ? 1)d , (q = 1) ? sn = ? d 1? qn d n, (q ≠ 1) (b ? ) + ? 1? q q ?1 1 ? q ? .
43.分期付款(按揭贷款)

x=

每次还款 44.常见三角不等式

ab(1 + b)n (1 + b)n ? 1 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ).

x ∈ (0, ) 2 ,则 sin x < x < tan x . (1)若 x ∈ (0, ) 2 ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . (2) 若 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 .
45.同角三角函数的基本关系式

π

π

sin θ sin θ + cos θ = 1 , tan θ = cosθ , tan θ ? cotθ = 1 .
2 2

46.正弦、余弦的诱导公式 (n 为偶数)
n ? nπ ?(?1) 2 sin α , sin( + α ) = ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s α , ?

(n 为奇数)

(n 为偶数)

(n 为奇数) 47.和角与差

n ? nπ ?( ?1) 2 co s α , co s( +α) = ? n +1 2 ?( ?1) 2 sin α , ?

角公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ;

tan α ± tan β 1 m tan α tan β . sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β (平方正弦公式); cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β . tan(α ± β ) =
2 2 a sin α + b cos α = a + b sin(α + ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

tan ? =
定,

b a ).

48.二倍角公式

sin 2α = sin α cos α .
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α . 2 tan α tan 2α = 1 ? tan 2 α .
49. 三倍角公式

sin 3θ = 3sin θ ? 4 sin 3 θ = 4sin θ sin( ? θ ) sin( + θ ) 3 3 . cos 3θ = 4 cos3 θ ? 3cos θ = 4 cos θ cos( ? θ ) cos( + θ ) 3 3

π

π

π

π

.

tan 3θ =

3 tan θ ? tan θ π π = tan θ tan( ? θ ) tan( + θ ) 2 1 ? 3 tan θ 3 3 .
3

50.三角函数的周期公式 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,

2π π x ≠ kπ + , k ∈ Z ω ;函数 y = tan(ω x + ? ) , 2 ω>0)的周期 (A,ω, ? 为常数,且 A π T= ω. ≠0,ω>0)的周期
T=
51.正弦定理

a b c = = = 2R sin A sin B sin C .
52.余弦定理

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha = bhb = chc h 、h 、h 2 2 2 ( a b c 分别表示 a、b、c 边上的高). (1) 1 1 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2 (2) . uuu uuu 2 uuu uuu 2 r r r r 1 S ?OAB = (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) 2 (3) .
S=
54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B )

?

C π A+ B = ? 2 2 2 ? 2C = 2π ? 2( A + B ) .

55. 简单的三角方程的通解

sin x = a ? x = kπ + (?1)k arcsin a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) .
co s x = a ? x = 2kπ ± arccos a ( k ∈ Z ,| a |≤ 1) .

tan x = a ? x = kπ + arctan a ( k ∈ Z , a ∈ R ) .
特别地,有

sin α = sin β ? α = kπ + (?1)k β (k ∈ Z ) .
co s α = cos β ? α = 2kπ ± β ( k ∈ Z ) . tan α = tan β ? α = kπ + β ( k ∈ Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arcsin a, 2kπ + π ? arcsin a ), k ∈ Z . sin x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? π ? arcsin a, 2kπ + arcsin a ), k ∈ Z . cos x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? arccos a, 2kπ + arccos a ), k ∈ Z . cos x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arccos a, 2kπ + 2π ? arccos a ), k ∈ Z .

tan x > a ( a ∈ R ) ? x ∈ ( kπ + arctan a, kπ + ), k ∈ Z 2 . tan x < a ( a ∈ R ) ? x ∈ ( kπ ?

π

π
2

, kπ + arctan a ), k ∈ Z
.

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; a a (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; a a a; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b a (交换律); b= b· (2)( λ a) b= λ (a·b)= λ a·b= a· λ b); ·b= ( b b (3)(a+b) c= a ·c +b c. +b) ·c= c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 e a=λ 只有一对实数λ1、λ2,使得 a= 1e1+λ2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 基底. e 基底 60.向量平行的坐标表示
1 2 2 1 设 a= 1 1 ,b= 2 2 ,且 b ≠ 0,则 a b(b ≠ 0) . b 53. a 与 b 的数量积(或内积) b b a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算

(x , y )

(x , y )

? x y ?x y =0

(1)设 a= (2)设 a=

( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . b

( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . b uuu uuu uuu r r r ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (3)设 A
(4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a= (λ x, λ y ) .

(5)设 a= 1 1 ,b= b 63.两向量的夹角公式 公式

(x , y )

( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 + y1 y2 ) . b=

cos θ =

x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 ? x2 + y2 (a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). b 2 1

64.平面两点间的距离公式

uuu r uuu uuu r r d A, B | AB |= AB ? AB =

= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2
65.向量的平行与垂直 设 a=

(A

( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 .

A||b ? b=λa b a

b=0 a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b= b= 66.线段的定比分公式

uuu r uuur P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP2 的分点, λ 是实数,且 PP = λ PP2 ,则 1 1 设 1
x + λ x2 ? x= 1 ? ? 1+ λ uuur uuur ? uuu OP + λ OP r y1 + λ y2 ?y = 2 OP = 1 ? 1+ λ ? ? 1+ λ 1 uuu uuur r uuur OP = tOP + (1 ? t )OP2 ( t = 1 + λ ). ? 1
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为

A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y 2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐

G(

标是 68.点的平移公式

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ) 3 3 .

uuur ' ' ' F ' 上的对应点为 P ( x , y ) , PP ' 的坐 注:图形 F 上的任意一点 P(x, y)在平移后图形 且 ( h, k ) . 标为
69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ( x + h, y + k ) .
'
' ' (2) 函数 y = f ( x ) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式

? x' = x + h ? x = x' ? h ? ? ?? ? ' uuur uuu uuur r ' ?y = y + k ? y = y ? k ? OP ' = OP + PP ' . ? ?

为 y = f ( x ? h) + k .
' ' (3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y = f ( x ) ,则 C 的函数

解析式为 y = f ( x + h ) ? k .
' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y ) = 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为

f ( x ? h, y ? k ) = 0 .
(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

uuu 2 uuu 2 uuur 2 r r O 为 ?ABC 的外心 ? OA = OB = OC . (1) uuu uuu uuur r r r O 为 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 . (2)

设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B , C 所对边长分别为 a , b, c ,则

uuu uuu uuu uuur uuur uuu r r r r O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA . (3) uuu r uuu r uuur r (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . uuu r uuu r uuur (5) O 为 ?ABC 的 ∠A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC .
71.常用不等式:
2 2 (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

+ (2) a, b ∈ R ?

a+b ≥ ab 2 (当且仅当 a=b 时取“=”号). 3 3 3 (3) a + b + c ≥ 3abc ( a > 0, b > 0, c > 0).
(4)柯西不等式

(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2 , a, b, c, d ∈ R.

a ? b ≤ a+b ≤ a + b
(5) 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 .

2 p; (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值
1 2 s (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 4 . 2 2 推广 已知 x, y ∈ R ,则有 ( x + y ) = ( x ? y ) + 2 xy
(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x + y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x + y | 最小. (2)若和 | x + y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大.
2 2 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax + bx + c > 0(或 < 0) ( a ≠ 0, ? = b ? 4ac > 0) , 如 果 a 与

ax 2 + bx + c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 + bx + c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 < x < x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) < 0( x1 < x2 ) ; x < x1 , 或x > x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
74.含有绝对值的不等式

x < a ? x2 < a ? ?a < x < a
2

当 a> 0 时,有

.
2

x >a? x >a ? x>a
2

或x < ?a .


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