nbhkdz.com冰点文库

1.5.3定积分的概念教学设计

时间:2018-07-02


联合体教学设计

河北任丘一中数学组:张海昌

教学课题

选修 2-2 第一章 1.5.3 定积分的概念
一、知识与技能: 1.通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2.借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 , 了 解 定 积 分 的 概 念 , 能 用 定 积 分 法 求 简 单的定积分. 3.理解掌握定积分的几何意义;

课标要求

二、过程与方法: 通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。 三、情感态度与价值观: 通过分割、逼近的观点体会定积分的来历,使学生从本质上理解定积分的几何意义,从 而激发学生学习数学的兴趣。

认知层次 知识点 知识点 1 定积分的概念 和表示 知识点 2 定积分的几何 意义 知识点 3 定积分的求法 和基本性质

识记 ∨

理解

应用

综合



∨ 1. 定 积 分 的 概 念

目标设计

2. 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 3. 定积分的几何意义

情境一:从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现,它们都可以通过“分割、近似代替、 求和、取极限得到解决,且都归结为求一个特定形式和的极限
S ? lim

?x? 0

?

n

f ?? i ? ? ? x ? lim

i ?1

n? ?

?n
i ?1

n

1

f ?? i ?

S ? lim

?t ? 0

? v ?? i ? ? ? t ? lim
i ?1

n

n? ?

? n v ?? ?
i i ?1

n

1

事实上,许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。那能否用一个统一的概念将它们都涵盖呢? 定积分的概念:一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,用分点 a ? x 0 ? x 1 ? x 2 ? .... ? x i ?1 ? x i ? ... ? x n ? b 将区间 [ a , b ] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ? x ( ? x ? b ? a ) ,在每个小区间 ? x i ?1 , x i ? 上取一点
n

? i ? i ? 1, 2 , ? , n ? ,作和 S n ? ? f (? i )? x ? ?
i ?1

n

n

b?a n

f (? i ) 如果 ? x 无限接近于 0 (亦即 n ? ?? )时,上述和式 S n 无限趋近
b

i ?1

于常数 S ,那么称该常数 S 为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的定积分。记为 S ? ? f ( x )dx (其中 a , b 分别叫做
a

积分上限和积分下限, [ a , b ] 为积分区间, f ( x ) 成为被积函数, x 叫做积分变量, f ( x ) dx 叫做被积式) 。
1

联合体教学设计

河北任丘一中数学组:张海昌

问题 1:定积分主要取决于哪些因素?(被积函数与积分上、下限) 问题 2:定积分的大小与积分变量所用字母有无关系?即 ? (三者相等) 问题 3:定积分是不是等于 ? f (? i ) ? x ?(不是,应该是当 n ? ? 时该式子的极限,是一个确定常数)
i ?1 n
b a

f ( x ) dx 与 ? f ( t ) dt 、 ? f ( u ) du 是何关系?
a a

b

b

问题 4:“函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续”是否可以去掉?为什么?(不可以。因为它是定积分存在的保 证。实际上,函数连续是定积分存在的充分不必要条件) 问题 5:被积式 f ( x ) dx 表示的是不是 f ( x ) 和 dx 的乘积,定积分的表示符号能否分割开?(不是。定积 分的表示符号是一个不可分割的整体) 情境二:定积分的几何意义: 从几何上看,如果在区间[a,b]上的函数 f ( x ) 连续且恒有 f ( x ) ? 0 。那么定积分 ? f ( x ) d x 表示由直线
a b

x ? a , x ? b ( a ? b ) y ? 0 和曲线 y ? f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积。 ,

仔细研读定积分的几何意义,回答右面的问题 问题 1:若在区间 [ a , b ] 上,函数 f ( x ) ? 0 时,曲边梯形落在 x 轴的下方,此时

?

b

f ( x )dx 还等于曲边梯形的面积吗?(不等于。应该是其面积的相反数,即 f ( x ) dx ? ? S )

a b

?

o

y a

b x

a

问题 2:当 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上有正有负时,定积分表示的应该是什么? (表示介于 x 轴,函数 f ( x ) 的图像及直线 x ? a , x ? b ( a ? b ) 之间各部分面积的代数和。 (在 x 轴上方的 取正,在 x 轴下方的取负)) 问题 3: ? f ( x ) dx , ? f ( x ) dx 与
a a b b

y

?

b

f ( x ) dx 在几何意义上是否相同?

a

情境三:学生探究: 由定积分的定义及几何意义,你能否总结出求定积分的方法步骤?

A1 a O A2

A3 A4 b x

①分割: n 等分区间 ? a , b ? ;②近似代替:取点 ? i ? ? x i ?1 , x i ? ;③求和: ?
n

n

b?a n

f (? i ) ;

i ?1

④取极限: ? f ( x )dx ? lim ? f ? ? i ?
a n? ? i ?1

b

b?a n
1 3

例 1:利用定积分的定义,计算 ? x dx 的值。(参考公式: 1 ? 2 ? 3 ? ... n ?
3 3 3 3
0

1 4

n ( n ? 1) )
2 2

例 2:说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分的值: (1) ? 2 dx ;(2) ? ( 3 x ? 2 ) dx ;(3) ?
0 1 1 2 1 ?1

1 ? x dx
2

【课堂练习】:利用定积分的定义求由 y ? 0 , y ?

x , x ? 2 围成的平面区域的面积。
2

联合体教学设计

河北任丘一中数学组:张海昌

情境四:再探究:通过对例题的研究,试着自己得出定积分的基本性质 性质 1 : ? kf ( x ) dx ? k ? f ( x ) dx (其中 k 是不为 0 的常数)
a a b b

性质 2: ? [ f 1 ( x ) ? f 2 ( x )]dx ?
a

b

?

b a

f 1 ( x ) dx ?

?

b a

f 2 ( x ) dx

(以上两性质为定积分的线性性质) 性质 3: ? f ( x ) dx ?
a b

?

c

f ( x ) dx ?

a

?

b

f ( x ) dx ( a ? c ? b )(定积分对积分区间的可加性)

c

例 3:利用定积分的性质求下列定积分:
? ? x , x ? [0,2 ) 3 ? ? x ) (2)已知 f ( x ) ? ? 4 ? x , x ? [ 2 ,3 ) ,求 f ( x ) 在 [ 0 , 5 ] 上的定积分。 ?5 x ? ? , x ? [ 3 ,5 ] ?2 2
2

(1) ? ( 9 ? x
?3

3

2

变式练习:求直线 y ? x ? 2 和曲线 y

? x 所围成的平面区域的面积。

思考?如何求奇、偶函数在区间 [ ? a , a ] 上的定积分? 习题设计: 1. 由 y=sinx, x=0,x=
b

?
2

,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 ( )(知识点 1,易)

(知识点 1,易)

2. 定积分 ? f ( x ) dx 的大小
a

A 与 f ( x ) 和积分区间 ?a, b ? 有关,与 ? i 的取法无关 B 与 f ( x ) 有关,与区间 ?a, b ? 及 ? i 的取法无关 C 与 f ( x ) 和 ? i 的取法有关,与积分区间 ?a , b ? 无关 D 与 f ( x ) 、区间 ?a , b ? 和 ? i 的取法都有关 3. 定积分 ? cdx
a b

(c 为常数)的几何意义是 )(知识点 3,中)
?

(知识点 2,易)

4. 下列等式成立的个数是( ① ? f ( t ) dt ?
0 1

?

1

f ( x ) dx

0

② ? 2 sin xdx ?
0

?? sin
2

?

x dx ?

?

?

sin x dx

0

③?

a

?a

x dx ? 2 ? x dx
0

a

④? C、3
2 3 0

2

4 ? x dx ?
2

0

?

2

2 dx

0

A、1

B、2

D、4
2 ?2

5. 计算下列定积分(1) ? x dx (2) ?

4 ? x dx (3) ? (1 ? x ) dx ?
2 0

1

?

2

( x ? 1) dx (知识点 3,难)

1

3


§1.5.3定积分的概念教案.doc

1.5.3 定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分; 理解掌握定

1.5定积分的概念 教学设计 教案.doc

1.5定积分的概念 教学设计 教案 - 教学准备 1. 教学目标 (1)知识与技

1.5.3定积分的概念教学设计.doc

1.5.3定积分的概念教学设计 - 联合体教学设计 河北任丘一中数学组:张海昌

1.5.3定积分的概念_图文.ppt

1.5.3定积分的概念 - 1.5.3 定积分的概念 一、定积分的定义 从求曲边

1.5.3定积分的概念(张用)_图文.ppt

1.5.3定积分的概念(张用) - 1.5.2 定积分的概念 求由连续曲线y=f

(选修2-2) 1.5.3 定积分的概念 教学设计.doc

(选修2-2) 1.5.3 定积分的概念 教学设计_教学案例/设计_教学研究_教

1.5.3定积分的概念(学、教案).doc

§1.5.3 定积分的概念学案教学目标: ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的

高中数学人教版选修2-2教学设计:1.5.3《定积分的概念》....doc

高中数学人教版选修2-2教学设计:1.5.3《定积分的概念》教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版选修2-2教学设计 1.5.3 定积分的概念教学目标: 1. 了解曲...

高中数学1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2_2.doc

高中数学1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2_2 - §1.5.3 定积分的概念教案 一、教学目标 ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,...

新人教A版选修(2-2)1.5.3《定积分的概念》word教案.doc

新人教A版选修(2-2)1.5.3《定积分的概念》word教案 - §1.5.3 定积分的概念教案 教学目标: ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程 ...

1.5.3定积分的概念教学设计.doc

1.5.3定积分的概念教学设计_数学_高中教育_教育专区。定积分的概念教学设计

1.5 定积分的概念 教学设计 教案.doc

1.5 定积分的概念 教学设计 教案 - 教学准备 1. 教学目标 1、通过求曲

1.5.3定积分的概念_图文.ppt

1.5.3定积分的概念 - 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲

1.5.3定积分的概念_图文.ppt

1.5.3定积分的概念 - 1.5.2 定积分的概念 求由连续曲线y=f(x)对

1.5.3定积分的概念_图文.ppt

1.5.3定积分的概念 - 1.5 定积分的概 念(2) 高二数学 选修 2-2 第一章 导数及其应用 1.5.3定积分的概念 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法...

1.5.3定积分的概念_图文.ppt

1.5.3定积分的概念 - 1.5.3 定积分的概念 一、定积分的定义 从求曲边

高中数学1.5.3定积分的概念教案2新人教版选修2-2.doc

宁夏银川贺兰县第四中学 2013-2014 学年高中数学 1.5.3 定积分的 概念教案 2 新人教版选修 2-2 教学目标: 1. 通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程,了解...

1.5.3定积分的概念_图文.ppt

1.5.3定积分的概念 - 复习 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程 的过程可

§1.5.3定积分的概念.doc

§1.5.3 定积分的概念教学目标 1、 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路

1.5.3 定积分的概念_图文.ppt

1.5.3 定积分的概念 - 1.5.3 定积分的概念 课前预习导学 目标导航