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(课程标准卷地区专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(二十)第20讲 分类与整合思想和化归与转化

时间:

专题限时集训(二十)

[第 20 讲

分类与整合思想和化归与转化思想]
(时间:45 分钟)

π 3 5π 1.已知 sin -x= ,则 cos -x=( 3 5 6 A. 3 4 B. 5 5

)

3 4 C.- D.- 5 5 π 2.已知 tanα + =3,则 tanα 的值为( 4 A. C. 1 1 B.- 2 2 1 1 D.- 4 4 ) )

3.若偶函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( 3 A.f- <f(-1)<f(2) 2 3 B.f(-1)<f- <f(2) 2 3 C.f(2)<f(-1)<f- 2 3 D.f(2)<f- <f(-1) 2

4.Sn 是数列{an}的前 n 项和,则“Sn 是关于 n 的二次函数”是“数列{an}为等差数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

π π 5.函数 y=2sinx+ cos -x 图象的一条对称轴方程是( 4 4 π A.x= 8 π C.x= 2 π B.x= 4 D.x=π

)

6.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差小于 1,则 a 的取值范围是( )

A.(0,1)∪(1,+∞) 1 B.0, ∪(2,+∞) 2 1 C. ,1∪(2,+∞) 2 D.(1,+∞) 7.已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则该数列前 2 012 项和等于 ( ) A.1 340 B.1 341 C.1 342 D.1 343 8.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a -3a +3),则使 f(x)>0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(loga2,0) D.(loga2,+∞) π π 5π 3π 9.若 cos +α =2sinα - ,则 sin(α -2π )sin(α -π )-sin +α sin -α 2 2 2 2 =________.
2x

x

)

x≥0, ? ? 10.设 x、y 满足约束条件?y≥x, ? ?4x+3y≤12,

2y-3 则 的最大值为________. x+1

11.如图 20-1,圆台上底半径为 1,下底半径为 4,母线 AB=18,从 AB 的中点 M 拉一 条绳子绕圆台侧面转到点 A,则绳子的最短长度为________.

图 20-1

12.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取 3 次,每次摸 取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率.

13.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交

a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12- x)2 万件.
(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a).

1-a 14.已知函数 f(x)=lnx-ax+ (0<a<1),讨论 f(x)的单调性.

x

专题限时集训(二十) 【基础演练】 1.C [解析] cos?

?5π -x?=cosπ +π -x=-sinπ -x=-3. ? 2 3 3 5 ? 6 ?

π π tanα + -tan 4 4 π π 3-1 1 2.A [解析] 方法 1:tanα =tanα + - = = = . 4 4 π π 1+3 2 1+tanα + ·tan 4 4 π 1+tanα 1 方法 2:由 tanα + =3,得 =3,解得 tanα = . 4 1-tanα 2 3 3.D [解析] 由于函数 f(x)是偶函数,所以 f(2)=f(-2),因为-2<- <-1 且函数 2

f(x)在(-∞,-1]上是增函数,所以 f(-2)<f- <f(-1),即 f(2)<f- <f(-1).
4.D [解析] 若 Sn 是关于 n 的二次函数,则设为 Sn=an +bn+c(a≠0),则当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=2an+b-a,当 n=1,S1=a+b+c,只有当 c=0 时,数列才是等差数列;若 数列为等差数列,则 Sn=na1+
2

3 2

3 2

n n-
2

d n2

= d+a1- n,当 d≠0 为二次函数,当 d=0 时, 2 2

d

为一次函数,所以“Sn 是关于 n 的二次函数”是“数列{an}为等差数列”的既不充分也不必要 条件,选 D. 【提升训练】 5.B π π π π 2 [解析] 因 y=2sinx+ cos -x=2sin x+ =1-cos2x+ =1+sin2x,易知 4 4 4 2

π 直线 x= 是其一条对称轴,选 B. 4 6.B [解析] 当 a>1 时,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为

loga2a=loga2+1,logaa=1,它们的差为 loga2,且 0<loga2<1,即 log2a>1,故 a>2;当 0<a<1 时,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为 logaa=1,loga2a=loga2+1, 1 它们的差为-loga2<1,即 loga2>-1,即 log2a<-1,即 a< . 2 7.C [解析] 因为 a1=1,a2=1,所以根据 an+1=|an-an-1|(n≥2),得 a3=|a2-a1|=0,

a4=1,a5=1,a6=0,…,故数列{an}是周期为 3 的数列.又 2 012=670×3+2,所以该数列
前 2 012 项和等于 670×2+2=1 342.故选 C.

8.C

[解析] 根据对数函数的性质可得不等式 0<a -3a +3<1,换元后转化为一元二次
x
2 2 2

2x

x

不等式求解.令 t=a ,即 0<t -3t+3<1,因为 t -3t+3>0 恒成立,只要解不等式 t -3t +3<1 即可,即解不等式 t -3t+2<0,解得 1<t<2,故 1<a <2,取以 a 为底的对数,根据对 数函数性质得 loga2<x<0.正确选项 C. 3 9.- 5 [解析] 已知条件即 sinα =2cosα ,求解目标即 cos α -sin α .已知条件转化
2 2 2 2 2 2

x

cos α -sin α 1-tan α 3 为 tanα =2,求解目标转化为 2 = ,把已知代入得求解结果是- . 2 2 cos α +sin α 1+tan α 5

x≥0, ? ? 10.5 [解析] 约束条件?y≥x, ? ?4x+3y≤12

对应的平面区域如图所示,

2y-3 表示平面上 x+1

3 2y-3 一定点-1, 与可行域内任一点连线斜率的 2 倍.由图易得当该点为(0,4)时,得 的最 2 x+1 大值为 5.

11.21 [解析] 沿母线 AB 把圆台侧面展开为扇环 AMBB′M′A′,化为平面上的距离求 解.设截得圆台的圆锥的母线长度为 l,则 为

l-18 1 = ,解得 l=24,圆锥展开后扇形的中心角 l 4

2π ×4 π = ,此时在三角形 ASM′(S 为圆锥的顶点)中,AS=24,SM′=15,根据余弦定理 24 3 1 2 2 24 +15 -2×24×15× = 441=21. 2

得 AM′=

12.解:(1)当三次取球都是红球时,有一种结果,即(红,红,红); 当三次取球有两个红球时,有三种结果,即(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红); 当三次取球有一个红球时,有三种结果,即(红,黑,黑),(黑,红,黑),(黑,黑,红); 当三次取球没有红球时,有一种结果,即(黑,黑,黑). 一共有 8 种不同的结果.

(2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为:(红,红,黑), (红,黑,红),(黑、红、红),事件 A 包含的基本事件数为 3,由(1)可知,基本事件总数为 3 8,所以事件 A 的概率 P(A)= . 8 13.解:(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为

L=(x-a-3)(12-x)2(9≤x≤11).
(2)L′(x)=(12-x)(18+2a-3x). 2 令 L′(x)=0 得 x=6+ a 或 x=12(舍). 3 9 2 ①当 3≤a< 时,6+ a<9,此时 L(x)在[9,11]上单调递减, 2 3

L(x)max=L(9)=54-9a.
9 2 ? 2 ? ? a?3 ②当 ≤a≤5 时,9≤6+ a<11,此时 L(x)max=L?6+ a?=4?3- ? . 2 3 ? 3 ? ? 3? 9 所以,当 3≤a< 时,每件售价为 9 元,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=54-9a; 2 9 2 ? a?3 当 ≤a≤5 时,每件售价为 6+ a 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4?3- ? . 2 3 ? 3? 1 a-1 ax -x+1-a 14.证明:f′(x)= -a+ 2 =- ,x∈(0,+∞). 2
2

x

x

x

由 f′(x)=0, 1 2 即 ax -x+1-a=0,解得 x1=1,x2= -1.

a

1 1 1 (1)若 0<a< ,则 x2>x1.当 0<x<1 或者 x> -1 时,f′(x)<0;当 1<x< -1 时,f′(x)>0. 2 a a 1 1 故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1), -1,+∞,单调递增区间是 1, -1.

a

a

1 1 (2)若 a= 时,x1=x2,此时 f′(x)≤0 恒成立,且仅在 x= 处 f′(x)=0,故此时函数 2 2

f(x)在(0,+∞)上单调递减.
1 1 1 (3)若 <a<1,则 0<x2<x1.当 0<x< -1 或者 x>1 时,f′(x)<0;当 -1<x<1 时,f′(x)>0. 2 a a 1 1 故此时函数 f(x)的单调递减区间是 0, -1,(1,+∞),单调递增区间是 -1,1.

a

a

1 1 综上所述:当 0<a< 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,1), -1,+∞,单调递增区间 2 a 1 是 1, -1;

a

1 当 a= 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞); 2 1 1 1 当 <a<1,函数 f(x)的单调递减区间是 0, -1,(1,+∞),单调递增区间是 -1,1. 2 a a


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