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2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《等比数列》

时间:2013-11-23


2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

第五届全国高中青年数学 教师优秀课大赛

教学设计



题: 等比数列 (第一课时)

《等比数列》教学设计

2.4.1 等比数列
教学目标︰
1、通过实例,理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型,使学生认识到这一类型数列也是现实世界 中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系,归纳等比数列的定义的 过程。 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比, 探索等比数列的通项公式, 通过与指数函 数的图象类比,探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。

教学重点:理解等比数列的概念,认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一,
探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点:等比数列与其对应函数的关系。 教学过程:
一、 创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义, 今天我们就来学习另外一种特殊的数列,首先看实例 1。 ? 实例分析 1:在《数学 3》(必修)中,我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构 成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单 位是“位(bit)”,每一位只能存储一个“0”或一个“1”,所以 1 个位可以存储 0、1 两种 不同的信息.如果有 2 个位,就可以存储 00、01、10、11 四种不同的信息.我们记 n 个位共能储存的不同信息 a n 种,写出{

a n }的前 5 项。

【老师】 首先请一位同学读题, 最后一句话说的是什么含义呢?老师引导学生分析本题的含 义,并画出树状图形象的表示。 【学生】通过观察,分析,理解题意,从而得到{ ?

a n }的前 5 项为 2,4,8,16,32。



实例分析 2:公元前 5 至前 3 世纪,中国战国时, 《庄子》一书中有“一尺之棰, 日取其半,万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗?

【学生】思考、讨论,用现代语言叙述。
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《等比数列》教学设计

【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到的数列是什么样的 呢? 【学生】发现等比关系,写出一个无穷等比数列:1,

1 1 1 1 , , , ,…。 ②? 2 4 8 16

【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的,速度大的惊人,那么让我们看一个这样的 实例。 ? 实例分析 3:一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通过邮件进行传播。如 果把病毒制造者发送病毒称为第一轮, 邮件接收者发送病毒称为第二轮, 依此类推。 假设每一轮每一台计算机都感染 20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒 每一轮感染的计算机数构成的数列是什么? 【学生】合作讨论,得出什么为第一轮,第二轮。从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构 成的数列是 1,20,20 ,20 ,?。③ 【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②③,说说它们有什么 共同特点?? 引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系。我们可以发现:? 数列①从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列②从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 数列③从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于____; 也就是说这个数列有一个共同的特点:从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。 我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题,等比数列。 【设计意图】 目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子, 观察所给各个数列的共同 特点,进一步归纳出等比数列的定义。 二、探究新课 1、等比数列的定义 探究 1:类比等差数列的定义,大家能否给等比数列下个定义? 【设计意图】学会类比的思想。 【学生】独立思考,类比等差数列的定义。给等比数列下定义。 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示。 【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢?如果我们第 n 项用 a n 表示,那么它 的前一项该怎么表示,那么比怎么表示?这里的 n 的取值范围呢?
2 3

-3-

《等比数列》教学设计

【学生】讨论,交流。

a ? q (n ? 2) 或 a ? q(n ? 1) a a
n
n ?1

n ?1

n

【老师】请同学们打开课本,看看课本上是怎样给等比数列下定义的,和刚才那位同学下的 定义一样吗?有什么不同? 【学生】阅读课本,仔细对比,找出不同。学生发现课本中有 q≠0 这个条件. 思考:等比数列的定义中,可否去掉“q≠0”的条件?为什么?能否将“ 件改写成“ an ? an ?1q ”?为什么? 【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。 【学生】讨论,辨析,得到结论,不能去掉“q≠0”的条件,因为如果 q=0,则分子为 0,而每 一个分子都可能出现在分母中,则分母为 0 无意义; 项都不能为 0. 感悟:等比数列中 q≠0, a n ? 0 . 【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢? 【学生 1】常数列。 【老师】是吗?有不同意见吗? 【学生 2】非零的常数列既是等差又是等比数列。 练习 1:判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比 q。 (1) 1,2, 8,32,128,? 。 (2) -1,-5,-25,-125,…。 (3) 2,2,2,2,? 。 ---不 是 -- 是 q =5
an ?表达式说明在等比数列中的任意 q an ?1

an ”的条 ?q an ?1

--- 是 q =1 --- 是 q = - 0.5

(4) 1,-0.5,0.25,-0.125,? 。 (5) 1, 2,1, 2,1, 2?。

--- 不是

【老师】思考:公比 q 的取值范围是什么呢? 【学生】正数、负数,但是不能为零。 练习 2:求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。 (1)1, ____ , 9 (2)-1,____ ,-4 (3)-12,____ ,-3 (4)1, _____ ,1

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《等比数列》教学设计

【学生 1】根据等比数列的定义,得出插入 3 后,构成等比数列。 【学生 2】补充插入-3 后,也能构成等比数列。学生思考,得到两个都符合题意.。 下面三个小题可根据(1) ,顺利得到答案。 【老师】在学习等差数列的定义后,我们也做过这样的题目,在两数中间插入一个数,使三 数成等差数列,那么我们把中间这个数称为等差中项。类比等差中项的概念,我们把刚才插 入的那个数称为等比中项。 2、等比中项 探究 2:前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义,你能仿照等差中项,给出等比中项 的定义吗?等差中项与等比中项有何差异? 【老师】类比等差中项的概念,大家给等比中项下个定义吧。 【学生】如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的 等比中项。学生思考得结论:任何两个数都有等差中项,有且只有一个,而只有同号的两个 数才有等比中项,而且有两个,且互为相反数。 3、等比数列的通项公式 我们继续来研究一下情境中的这三个数列。 探究 3:试着写出上面三个数列的通项公式,并猜想等比数列的通项公式。 【设计意图】体现由特殊到一般的思想,先写出具体实例的通项公式,使学生经历观察, 归纳,猜想的过程。



a ?2
n

n

1 ②a ? 2
n
n ?1

n ?1



a ? 20
n

n ?1

【学生】通过观察,看出这三个数列的通项公式,并寻找这三个公式中共性的地方,把①改 写成 a n ? 2 ? 2

1 ,② a n ? 1 ? 2

n ?1

,③ a n ? 1 ? 20

n ?1

,观察,发现都有 n-1 次幂的形式,

而且乘号前面的数字 2,1,1 都是首项 a1 ,乘号后面的数字 2, , 20 都是各项的公比,所以 猜想等比数列的通项公式是 an=a1qn-1。 【老师】这位同学猜想的很好,那我们就来推导一下等比数列的通项公式,看看和这位同学 猜想的一致吗? 探究 4: 类比等差数列通项公式的推导过程,请你写出首项为 a1,公比是 q 的等比数列的 通项公式。

1 2

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《等比数列》教学设计

【老师】我们在学习等差数列的通项公式时,用过哪些方法? 【学生 1】回忆了用不完全归纳法证明通项公式的方法,类比等差数列的推导过程,设等比 数列{an}首项为 a1,公比为 q,根据等比数列的定义,我们有: a2=a1q, a3=a2q=a1q2,? 即 an=a1qn-1.? 【老师】请同学们想一想,你还有其它方法吗? 【学生 2】根据等比数列的定义,我们还可以写出?

a a 2 a3 a 4 ? ? ? ... ? n ? q ,? a1 a2 a3 an?1
进而有

an ? q n ?1 ,即 an=a1qn-1.? a1

【学生 3】an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1.?亦得?an=a1qn-1。 【老师】等比数列的通项公式:an=a1qn-1 (n∈N﹡,q≠0) 我们知道了等比数列的通项公式后,下面我们做课本 52 页练习,来看一下它有哪些应用。 学生做练习,老师巡视,予以指导。 探究 5:在课本 50 页的平面直角坐标系中, (1)画出通项公式为 an=2 n-1 的数列的图象。 (2)再在坐标系中画出函数 y=2x-1 的图象,观察它们之间的关系。 (3)若将底数换为

1 呢?你有怎样的结论? 2
n ?1

【设计意图】等比数列 ?an ? 的通项公式还可以写成 an ? a1q
x

?

a1 n a .q ? cq n (其中c ? 1 ) ,当 q 为不 q q

等于 1 的正数时, y ? q 是一个指数函数, y ? cq x 是一个的非零常数与一个指数函数的积。 因此从图像上看,表示数列 ?cqn ? 的点都在函数 y ? cq x 的图像上。 【学生】观察、动手作图,发现规律,总结规律,数列是特殊的函数,等比数列是其对应函 数图象上孤立的点。 【老师】通过几何画板演示动画。 三、归纳小结 提炼精华 本节课主要学习了:

一个定义: a n ? q(n ? N * 且n ? 2)
a n ?1
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《等比数列》教学设计

一个公式: an=a1qn-1 (n∈N﹡,q≠0) , 两种思想:方程思想 、函数的思想。 三种方法:不完全归纳法、迭代法、叠乘法(此条不板书) 。
【老师】通过本节课的学习,你有哪些收获? 【学生 1】在本节课中,我学习了等比数列的定义,等比中项的公式,学会了等比数列的推 导的三种方法,最后学习了等比数列和函数之间的关系。 【学生 2】在本节课中我还学习了类比的思想。 【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。 【设计意图】让学生自己小结,不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这样可帮助 学生自行构建知识体系,理清知识脉络,养成良好的学习习惯。 四、作业 1.在等比数列?a n ? 中,

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求a7 ;

( 2)若a2 ? 18, a4 ? 8, 求a1与q;
2.根据右图的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列 吗?
开始 A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A

n>5? 结束

3、课本 p53 习题 2.4 1、2、7、8 五、目标检测设计
3 , ?1, 3,... 3

1:求下列等比数列的第 4 项和第 5 项; (1)4,-8,16,... 2:求下列各组数的等比中项; (1)4,9;

(2)

(2) 4 ? 3,4 ? 3;

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《等比数列》教学设计

3:已知等比数列的公比是 q,第 项为 ,试求其第 n 项。

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