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6圆、垂径定理、圆心角定理

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圆 知识梳理: 一、圆的定义: 1、动态定义:从圆的形成过程,我们可以得出: 在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋 转一周,?另一个端点所形成的___ ___叫做圆.固定 的端点 O 叫做______,线段 OA 叫做_______. 以点 O 为圆心的圆, 记作“______”, 读作“______”. 知识归纳 1: 确定圆的两个要素:一是______,二是_______; (______确定圆的位置,_____确 定圆的大小) 2、静态定义: (1)圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于_______(半径 r) ; (2)到定点的距离等于定长的点都在______________. 因此,我们可以得到圆的新定义: 圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是____________________的点组成的图形. 知识归纳 2:圆可看做是到_________的距离等于_________的点的集合。 二、圆的有关概念 _ B 1、弦: 。圆中最长的弦是 。 2、 弧: 。 图中 是劣弧, 记作: ; O _ _________________是半圆; ________是优弧, 记作: 。 3、等圆: 。 A _ C _ ( 1 )以 O 为圆心的圆可以画 _________ 个圆,这些圆叫 _______________。 (2)以 2 cm 为半径的圆可以画________个圆,这些圆是 ________________。 4、等弧: 。 ★ 知识归纳 3 (1)同圆或等圆的半径 。 (2)等弧只能存在于 中。 对点练习: 训练点一:圆及有关概念 1、下列说法正确的有( ) (1)经过圆心的每一条直径都是圆的对称轴(2)弧可分为优弧和劣弧 (3)长度相等的两条弧是等弧(4)直径是弦 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 2、下列说法正确的是 ①直径是弦 ②弦是直径③半径是弦④半圆是弧,但弧不一定是半圆 ⑤半径相等的两个半圆是等弧 ⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等 3、如图,在⊙O 中,半径有______,直径有______,弦有______,劣弧有______,

优弧有______.

3题 4题 5题 训练点二:圆及有关概念的应用 4、若∠A=40°,则∠ABO=______,∠C=______,∠ABC=______. 5、如图,已知 CD 为⊙O 的直径,过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA,若∠D 的度数 是 50°,则∠C 的度数是( ) A.50° B.40° C.30° D.25° 6、如图,点 A、D、G、M 在半圆上,四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形, 设 BC=a,EF=b,HN=c,则 a、b、c 三者间的大小关系为______.

6题 7题 7、如图,已知在⊙O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分别在⊙O 及半 径 OM、OP 上,并且∠POM=45°,则 AB 的长为______. 8、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,若以点 C 为圆心,CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D,求 AC 的长。

9、如图,点 A,B,C 是⊙O 上的三点,BO 平分∠ABC 求证:BA=BC

垂直于弦的直径 知识梳理: 一、圆是轴对称图形, 是圆的对称轴,有 二、垂径定理及其推论: 1、垂径定理; 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 符号语言:∵ AB 是⊙ O 的直径 AB ? CD ∴ 2、推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并平分弦所对的两条弧 符号语言:∵ AB 是⊙ O 的直径 又∵ CE ? DE 条。

例 5:已知⊙O 的直径是 50 cm,⊙O 的两条平行弦 AB=40 cm ,CD=48cm, 求弦 AB 与 CD 之间的距离。

∴ AB ? CD 其它推论: (知二推三) (1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 (一共可以得到 9 个结论) 典型例题: 例 1:如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,则下列结论正确的是( ) A.DE=BE B. = C. △BOC 是等边三角形 D. 四边形 ODBC 是菱形

? ? ? ,? AD ? BD AC ? BC

例 6:已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D. (1)求证:AC=BD; (2)若大圆的半径 R=10,小圆的半径 r=8,且圆 O 到 直线 AB 的距离为 6,求 AC 的长.

巩固提高 1、如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不成立的是( )

? ? DB ? C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD A.CM=DM B. CB

例1图 例3图 例4图 例 2:判断正误 1、平分弦的直径垂直于弦( ) 2、过弦中点的直线平分弦所对的两条弧( ) 3、平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) 4、分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对的两条弧分别三等分( 例 3:如图,OE⊥AB 于 E,若⊙O 的半径为 10cm,OE=6cm,则 AB= 例 4:如图,CD 是⊙O 的直径,弦 AB⊥CD 于 E,CE=1,AB=10, 求直径 CD 的长。

) cm。

1 题图 2 题图 3 题图 2、绍兴是著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m,桥拱半径 OC 为 5m,则水面宽 AB 为( ) A.4m B.5m C.6m D.8m 3、如图,将半径为 4cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的 长为( ) A.4 3 cm B.2 3 cm C. 3 cm D. 2

4、在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽 AB=160cm,则油的最大深度为 ( )A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm

11、⊙O 半径为 10,弦 AB=12,CD=16,且 AB∥CD.求 AB 与 CD 之间的距离.

4 题图 5 题图 6 题图 5、为了测量一铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得有关数据如图所示(单 位:cm) ,则该铁球的直径为( )A.12cm B.8cm C.6cm D.10cm 6、如图,⊙O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上一动点,那么 OP 长的取值范 围是______. 7、在半径为 13 的⊙O 中,弦 AB∥CD,弦 AB 和 CD 的距离为 7,若 AB=24,则 CD 的长为____________。 8、如图,矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的⊙O 交于点 G,B,F,E,已知 GB=8cm, AG=1cm,DE=2cm,则 EF=______cm.

12、如图,⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°, 求弦 CD 长。

13、 (拓展)某地有一座圆弧形拱桥圆心为 O,桥下水面宽度为 7.2m,过 O 作 OC⊥ AB 于 D,交圆弧于 C,CD=2.4m,现有一艘宽 3m,船舱顶部为方形并高出水面 AB2m 的货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥? 8 题图 9 题图 9、如图,在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为(1,4) 、 (5,4) 、 (1, -2) ,则△ABC 外接圆的圆心坐标是_____ 10、 (选作)如图,AB、CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦,AB=8,CD=6,MN 是直 径,AB⊥MN 于点 E,CD⊥MN 于点 F,P 为 EF 上的任意一点,则 PA+PC 的最小 值为_________。

圆心角定理 自主学习: 一、圆心角:顶点在_______的角叫做圆心角。 二、弧、弦、圆心角、弦心距的关系 如图填空: (1)如果∠AOB=∠COD,那么_______、_______、_______ (2)如果 AB=CD,那么_______、_______、_______

考题体验:

? ,∠AOB=60°, 1、如图,已知 BD 是⊙O 的直径,点 A、C 在⊙O 上, ? AB ? BC 则∠BDC 的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.40°

? ,那么_______、_______、_______ (3)如果 ? AB ? CD (4)如果 OE=OF,那么_______、_______、_______ 思考: 由一组量相等推出其他各组量都相等的前提条件是什么?
归纳: 课堂研习; 1、下列四个命题:①顶点在圆心的角是圆心角;②两个圆心角相等, 它们所对的弦 也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④等弧所对的圆心角相等.其中正确 的有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

1 题图

2 题图

3 题图

? ,∠AOD=80°,则∠ABC 等于 2、如图,已知在⊙O 中,BC 是直径, ? AB ? DC
( )A.40°B.65°C.100°D.105° 3、如图,MN 是半径为 1 的⊙O 的直径,点 A 在⊙O 上,∠AMN=30°,B 为 AN 弧的中点,P 是直径 MN 上一动点,则 PA+PB 的最小值为( ) A. 2 B.1 C .2 D.2 2 4、如图,AB 是⊙O 的弦,半径 OE、OF 分别交 AB 与点 C、D,且 OC=OD,

? 关系是( 2、 在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则 ? AB 、CD
? A、 ? AB ? 2CD ? B、 ? AB ? 2CD ? C、 ? AB ? 2CD

) (弦 AB 和 CD 呢)

? 求证: ? AE ? BF

D 不能确定 )度

? ,∠A=30 度,则∠B=( 3、在⊙O 中, ? AB ? AC A 150 B 75 C 60 D 15

5、如图所示,已知 AB 为⊙O 的直径,M、N 是直径 AB 上两点,且 AM=BN, 3 题图 4 题图 5 题图

? CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为 M、N.求证: ? AC ? BD (提示:连接 OC、OD)

? ? CD ? ? DE ? ,∠COD=35°,则∠AOE 的度数 4、如图,AB 是⊙o 的直径, BC
是( )A.65°B.70°C.75°D.85° 5、AB 是⊙O 的直径,若 OD∥AC,弧 CD 与弧 BD 的大小有什么关系?为什么?


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