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1.3.1函数的单调性(2)

时间:2017-09-22


§1.3.1 函数的基本性质 ----函数的单调性(2)

主备人:姜峰

议课时间:9.12
授课时间:9.19-9.23

1.增函数与减函数
2.单调性、单调区间

3.利用单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤 4.常见函数的单调性

一次函数y=kx+b(k≠0)
y o

当k<0时,在(-∞,+∞) 上是减函数
x

在(-∞,+∞) 当 k>0 时 , y 上是增函数
o x

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b ? ? y 当a<0时, ? , ? 在? 2 a ? ?

y

当a>0时,

? b ? ? , ?? 在? ? ? 2a ?

o

x

上是增函数 ? b ? ? , ?? ? 在? ? 2a ? 上是减函数

o

x

上是增函数 b ? ? ? , 在? ? 2 a ? ? 上是减函数

? 1、定义在R上的函数对任意两个不相等实数总有 f (a ) ? f (b) ? 0 a ?b 成立,则必有( ) A、函数是先增加后减少 B、函数是先减少后增加 C、在R上是增函数 D、在R上是减函数

课前复习:

c

? 2.函数y=x 2 -6x+10在区间(2,4)上是( ) A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.选递增再递减.

c

一、利用单调性比较函数值的大小 例1、已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,则
3 ) ≥ f (a 2 ? a ? 1) 2 3 f ( f ( ) 与 f (a ? a ? 1) 的大小关系为___________. 4 4

二、利用函数单调性解不等式 例2.函数f(x)是定义在(0,+?)上的递减函数, 且f(x)< f(2x-3),求x的取值范围. 解: ∵函数f(x) 在(0,+?)上为减函数,

即 3 ? x ? 3. 2

? x ? 0, ? ? ? 2 x ? 3 ? 0, ? x ? 2 x ? 3. ?

? x ? 0, ? 解之, 得 ? x ? 3 , 2 ? ? x ? 3.
3 ? x ? 3} 2

∴x的取值范围是 { x

三、利用函数单调性求参数的取值范围 例3、设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间[2,+?)上是增 函数,求实数a的取值范围. {a a ? ?1}

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 例4:f ( x) ? ? 是定义在(??, ??)上是减函数, x ?1 ??ax, 求a的取值范围

当堂训练
1, 设函数y ? f ( x)是R上的减函数, a ? R, 则 ( 2 B , f ( a ) ? f ( a) A. f (a) ? f (2a)

D)

C , f ( a ? a) ? f ( a )
2

D, f (a 2 ? 1) ? f (a)

2、已知f(x)是R上的增函数, 若a+b>0, 求证 :f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b). 证明:由a+b>0,得a>-b, b>-a.

又因为f(x)是R上的增函数, ∴ f(a) > f(-b), ① f(b)>f(-a), ②
①+②得f(a)+f(b) >f(-a)+f(-b).

3、已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数, 且f(a+1) > f(3-a),求实数a 的取值范围. {a a ? 1}
4、函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,若
5 f(a-2) > f(3-a),求实数a 的取值范围. {a 2 ? a ? 2}

5,已知函数y ? 4 x ? 3ax ? 5在(- ?, 2?上递减,
2

16 {a a ? } 求a的取值范围。 3

6、已知函数f(x)=4x2-kx-8,在[5, 20]上具有单调性, 求实数k的取值范围.(课本P44第九题) {k k ? 40或k ? 160}

作业:名师面对面第12课时,随 堂练习1--4题


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