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数列复习课PPT课件

时间:2018-06-30



目 标:



1、知识目标:理解数列的概念、通项公式、数列 和函数之间的关系;理解数列的递推公式,明确 递推公式与通项公式的异同;理解数列前n项和Sn 与通项an之间的关系。 2、能力目标:会用通项公式写出数列的任意 一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写 出它的一个通项公式;会根据数列的递推公式写 出数列的前几项;能根据数列的前n项和公式写出 通项公式;培养学生观察、归纳、推理的能力。 3 、德育目标:培养学生联系、类比的能力。

集合元素的性质

函数的概念

确定性
互异性

函数就是特 殊的映射

无序性

看下面一组实例:
(1) 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 (有限) (2) 正整数1,2,34,…的倒数1,1/2,1/3,1/4… (无限) (3) 21/2的精确到1,0.1,0.01,0.001…的不足近似 值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,… (无限) (4)?1的正整数次幂:?1,1,?1,1,… (无限) (5) 无穷多个1数排成一列数:1,1,1,… (无限)

共同特点
1、都是一列数; 2、有一定的次序。

特殊函数 数列

定义 通项公式 递推公式 图象表示 项数

有穷数列
无穷数列

分类

递增数列

项的大小

递减数列
摆动数列

常数列

通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要公式。下 面列表阐明它们的异同:

不同点
通项公式 给出n的值,可求出数列中的 第n项 由前项(或前几项)的值,通 过一次(或多次)运算,逐步 地求出第n项an.

相同点

可确定一个数 列,求出数列 中的任意一项。

递推公式

数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这 个数列的第一项(或首项),第2项,……,第n项……。 数列中的数是按一定次序排列的。因此,如果组成两个数 列的数相同而排列次序不同,那它们就是不同的数列。例如: 4,5,6,7,8,9,10

与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列。

在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同。因此, 同一个数在数列中可以重复出现。 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,a4,a5,……,an,…… 上面的数列可简记作{an}。例如,把数列1,2,4,8,……, 2n,……简记作{2n}。

数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示 项的位置序号。我们还应注意到这里{an}与an是不同的:{an}表 示数列a1,a2,a3,a4,a5,……,an,……,而an只表示这个数列 的第n项;这里{an}是数列的简记符号,并不表示一个集合。

关于定义的理解,再强调以下几点:

1、{an}与an是不同的概念,{an}表示数列a1,a2,a3,a4,a5,……, an,……,而an只表示数列{an}的第几项。 2、数列的项与它的项数是不同的概念。数列的项是指这个数列 中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项 数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于 f(n)中的n. 3、次序对于数列来讲是十分重要的,有几个相同的数,由于它 们的排列次序不同,构成的数列就不是一个相同的数列,显然 数列与数集有本质的区别。如:2,3,4,5,6这5个数按不同 的次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}不论 按怎样的次序排列都是同一个集合。

如果数列{an}的第n项an与之间的关系可用一个公式来表 示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
例如:数列4,5,6,7,8,9,10的通项公式 an=n+3(n≤7),这里n≤7,表示n取不大于7的正整数 (因为数列中只有7项)

1 1 1 1 1 数列1, , , , ? ……的通项公式是an= 2 3 4 5 n 所有
正整数,此数列有无穷多项。

,这里n取

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点:
1、数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子 集{1,2,……,n}为定义域的函数的表达式; 2、如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3…… 去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列 的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项,如果是 的话,是第几项; 3、如所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所 有的数列都有通项公式。 4、有的数列的通项公式,在形式上不一定是唯一的; 5、有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成 规律,那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。

数列的图象
对于数列4,5,6,7,8,9,10,每一项的序号与这一 项有下面的对应关系: 序号: 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10

这就是说,上面可以看成是一个序号集合到另 一个数的集合的映射。因此,从映射、函数的观点 看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或 它的有限子集{1,2,3,……,n})的函数,当自 变量从小到大依次取值时,对应的一列函数值。这 里的函数是一种特殊的函数:它的自变量只能取正 整数。

数列是一种特殊的函数,数列是可以用图象直观的表示的。 数列用图象来表示,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐 标,描点画图来表示一个数列,在画图时,为方便起见,在平面 直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同。如下图,表示 数列4,5,6,7,8,9,10的图象。 an 从图上看,数列可用一群 孤立的点表示;从数列的图象 9 表示可以直观地看出数列的变 8 化情况。 7 把数列与函数比较,数列 6 是特殊的函数。特殊在定义域 5 4 是正整数集或由以1为首的有 3 限个连续正整数组成的集合, 2 其图象是无限个或有限个孤立 1 的点。 O 1 2 3 4 5 6 7 n

10

根据数列的项数可以对数列进行分类:项数有 限的数列叫有穷数列,项数无限的数列叫无穷数列。

在写数列时,对于有穷数列,要把末列(有穷数 列的最后一项叫末项)写出,例如数列1,3,5,7, 9,……,2n-1,表示有穷数列。如果把数列写成1,3, 5,7,9,……或1,3,5,7,9,……2n-1,……它 就表示无穷数列(无穷数列没有末项)。

补充说明:按照项与项之间的大小关系,数列的增减性,
可以分为以下几类:
1、一个数列,如果从第2项起,每一项都不小于它前面 的一项(即an+1≥an),这样的数列叫做递增数列。 2、一个数列,如果从第2项起,每一项都不大于它前面 的一项(即an+1≤an),这样的数列叫做递减数列。 3、一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项,这样的数列叫做摆动数列。 4、一个数列,如果它的每一项都相等,这个数叫做常数 列。

如果已知数列{an}的第1项,(或前几项),且任一项 an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式 来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种重要形式。

想一想:任何一个数列都能写出其通项公式或递推公
式吗?虽然有些数列可以写出其通项公式或递推公式,但并 不是任何数列都能写出通项公式或递推公式。请试举几例。

典型例题解析与规律、方法、技巧总结
例1 写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数。 (1)-3,0,3,6,9; (2) 3, 5, 9, 17, 33; 解:每一项都可以视为2 解:后一项均等于前一项 加上3,那么第n项就是第 的多少次幂加上1的形式, 一项加上(n-1)个3,即 即

an= -3+(n-1) ×3=3n-6

an=2n+1

小结:(1)数列的通项公式在数列中占有极其重要的地
位,它是数列的核心。 (2)对于给出数列的前几项求数列的一个通项公 式这类问题,常归纳为数列的各项中的有关元素与项数的 相依变化规律而求之。

例2

写出数列的一个通项公式,使得它的前几项是下列各数。

1 1 1 (1)-1, , , ; 2 3 5
解:任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数 列可以看作是自然数列的倒数,正负相间用(-1)的多 少次幂进行调整,其通项公式为
1 (?1) n an=(-1)n· ( )= n n

(2)0.9,0.99,0.999,0.9999; 公式为an=110 n

1 1 解:原数列可变形为(1- ),(1- 2 10 1 10

1 1 ),(1- 3 ),(1- 4 ),故通项 10 10

小结:用观察归纳法写出数列的一个通项公
式,体现了由特殊到一般的思维规律。观察、分 析问题的特点是最重要的,观察要有目的,要能 观察出特点,观察出项与项之间的关系、规律。 这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的项 数之间的联系,利用我们熟知的一些基本数列 (如自然数列、奇偶数列、自然数列的前n项数 列、自然数的平方数列、简单的指数数 列,……),建立合理的联想、转换而达到问题 的解决。

还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式,比如下 面这些数列均属于基本数列,它们的通项公式必须要记住。 1、数列-1,1,-1,1,……的通项公式是:an=(-1)n 2、数列 1,2,3,4,…… 的通项公式是:an=n

3、数列 1,3,5,7,…… 的通项公式是:an=2n-1 4、数列 2,4,6,8,…… 的通项公式是:an=2n 5、数列 1,2,4,8,…… 的通项公式是:an=2n-1 6、数列1,4,9,16,…… 的通项公式是:an=n2
1 1 1 1 7、数列1, 2 , 3 , 4 , …… 的通项公式是:an= n

(其中n∈N*)

例3、设a1=2,an+1=2an+3,则通项an可能是( A、5-3n B、3· 2n-1-1 C、5-3n2

D



D、5· 2n-1-3

分析:问题已给出递推公式,由此公式写出数列的前几项, 然后检验这几项与选择项中哪个式子相符合,可作出判断。
解:由递推公式,可算得a1=2, a2=7;

而由选择项中的通项,分别算得
A、a1=2, a2=-1;

B、a1=2, a2=5; C、a1=2, a2=-7; D、a1=2, a2=7;

例4、求数列{-2n2+9n+3}中的最大项。 分析:由通项公式可以看出:an与n构成二次函数关系, 求二次函数的最值可采用配方法,此时要注意其中自变量n 为正整数。 解:由已知an= -2n2+9n+3=

9 2 105 ? 2( n ? ) ? 4 8

由于n为正整数,故当n取2时an取到最大值为13。 所以数列{-2n2+9n+3}中的最大项为a2=13

小结:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,在用
函数的有关知识解决数列问题时,要注意到函数的定义域为 正整数集这一约束条件。

例5、已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. ( 1 ) 数列中有多少项是负数?

(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值。

分析:数列的通项an与n之间构成二次函数关系,可结合 二次函数知识去进行探求,同时要注意n的取值范围。
解:(1)由n2-5n+4<0,解得:1 <n <4,∵n∈N*, ∴n=2,3∴数列有两项是负数。

5 5 2 9 ) ? , 可知对称轴方程为 n ? ? 2.5 (2) ∵ an 2 2 4 又因为n∈N*,故n=2或3时, an有最小值,其最小值为 22-5×2+4=-2
=n2-5n+4=(n ?

数列的通项公式是反映数列内 在规律的重要表示形式,如何归纳出 通项公式以及通项公式的简单灵活 运用,是本节的重点问题,它对提高 猜想能力、活跃思维都起重要作用。


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